Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 55
Текст из файла (страница 55)
~) В таком виде уравнения гааоной динамики рассматривались К. П. Отавюковнчем [1955!. В плоском случае (т = 0) системы (1), (3) имеют коэффициенты, зависящие только от неизвестных функций, и допускают преобразования подобия и сдвига по независимым переменным х, С В цилиндрическом и сферическом случаях возможно только преобразование подобия по х, Л Переходя к логарифмическим масштабам по к, 1 и безразмерным скоростям гл. з. одцоме ная газовая динамика 328 Переходя к переменным и, р, р, получаем представления и = — (у($)= где 5 = е = $ах''Г", са = е '. (1 1) Решения вида (10) называется авгомодельныли а).
Ясно, что показатели аь аз определены с точностью до мно- жителя, так что существенным параметром является только их а, отношение — = — й. а, Система уравнений для (/($), )г($), Р(й), соответствующая системе (3), имеет вид агу с а!и», с а) (а~У+а) — + — а, = — с! — (т'з — 2 —, де у ие у ' б) (а'(У+аз) — е+а' е = (у+1) Е' ажй аи в) (а Ю + а,) — „+ уа „= — (( + 1) у + 2] (т' — ! + 2.
Н!и Р Нl (12) Линейная комбинация уравнений (12б), (12в) приводит к интегралу (так называемому интегралу адиабатичности) !и Р— и !и Я+(у — и) !и ( — — Е/)+](у+!)(у — н)+2] — =!п Сь (13) г! 9 (т+ !) у+ 2+ й И вЂ” 2! Ы+ !т+ !) который позволяет при любых й, ! свести число уравнений (12) к двум. Покажем, что при некоторых А, ! система (12) допускает еще один интеграл.
Уравнения (1) имеют в качестве закона сохранения соот- ношение —,[рх'( —, ~ + — ~т]]+ — „~рхеи( У, ~ + — и')~=0, (14) выРажающее закон сохранения энергии. Ему соответствует авто- модельное уравнение — + !у+ 3+ й(! — 3)]  — Ц вЂ” ь= О, (15) '! Впервые автомоделызые решеиня одномерной газовой дииамиии вак решения, инварнантные относительно иеиоторых групп преобразований, были рассмотрены К.
Бехертом 1!94!). % з хссхлитичяскив решения одномсрноп гхзовон динамики з22 где (16) Прн условии й=— х+3 2 — ! (17) При наличии интеграла энергии система (12) сводится к одному уравнению. Мы дадим краткий обзор некоторых задач, приводяших к автомодельным решениям. В основном эти решения описывают течения, примыкаюшие к области покоя через ударную волну или слабый разрыв. При этом характерным обстоятельством является равенство нулю давления в области покоя, Тогда ударная волна может рассматриваться как бесконечно сильная, условия Гюгонио приобретают однородный вид, что и позволяет искать решение в автомодельном виде.
Как известно (см. ч 4, п. 7) условия Гюгонио на сильной ударной волне имеют вид — — и = — В, Р= — роВ, р т+! 2 2 (19) ро т ! т+! т+! с!х где 0 = — есть скорость ударной волны. ас Будем предполагать, что траектория ударной волны есть я-линия (т. е, линия, уравнение которой есть я = сопя(). Тогда из (11) следует ах ар х ! х 0 — = — — — = — —. =ш,сас' (20) Условия Гюгонио (19) для безразмерных величин (С, )г, Р принимают вид ((р=„~, с, ла=~~ !с-', Рй)= +, ~,с' (21) Отсюда следует, что ! = О. После этих предварительных замечаний рассмотрим ряд автомодельвых решений.
1. Сходя шаяся ударная волн а. Задача была поставлена и решена Г. Гудерлеем (1942) н независимо К. П. Станюковичем для случая у = 7~5 и детально исследована для всех у группой советских математиков (см. К. В. Брушлинский, Я. М. Каждан [1963) ). Задача может быть сформулирована увавнение (15) допускает интеграл (ннтеграл энергии) Л вЂ” й 5В) = сопя!. (18) ГЛ К ОДНОМГРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА следующим образом.
В покоящемся газе с параметрами ри, рр, и, = О движется, ускоряясь к центру х = О, сферическая (ч = 2) ударная волна. В момент 1 = О она входит с бесконечной скоростью в центр, который является особой точкой системы уравнений (1) (рис. 2.81). Аналитический характер особенности решения в точке х = О, 1= О весьма сложен. Существует предположение, что рею шение в окрестности центра представляется аналитическими функциями от дробно-степенного аргут мента '= =зих"7 ' и носит, следоващ=а Р тельно, автомодельный характер.
Для удобства постановки краевых ссу = условий положим в (11) Рис. 2.8!. а,=1, а, = — а. (22) Так как ударная волна является бесконечно сильной, то справедливы условия (19), (21). Подберем Ви так, чтобы на ударной волне $ = 1. Тогда условия (21) принимают вид (7(1)= +, —, )с(1)= т 1, Р(1)= + —,. (23) Константа С, в интеграле (13) определяется из условий (23). Используя интеграл (13) и вводя новые переменные А С' У'уР у= 1 — й(7, 1 — ю УП вЂ” АЦ' (24) систему (12) можно свести к двум уравнениям: йиь ИУ Ч(У Х) Ы,—; а) (25) б) где Из условий (23) находим у (1) = — '', г (1) =- — ' = у+1' у+1 (27) Р(у, г) = (3 — у) г — (2у — 1) у'+ + (2у — 3+ (й — 1) (у — 2)! у — у (й — 1), (28) у(у, г)=(1 — у)(у — Зг) — (1 — й) ( — г+ 1 — у) .
2 э хнхлитичвскив явшкння одномьянои гхзовоп динамики 88! Прн ! = 0 решение и(х, !), Р(х, !), р(х, !) должно быть ограниченным. Отсюда следует (/(0)=0, Р(0)=0, (28) что в переменных у, г означает у (0) = 1, г (0) = О. (29) Таким образом, мы свели задачу отыскания автомодельного решения к краевой задаче (27), (29) для системы (25). Деля уравнение (25б) на (25а), находим "и и я ык Мы пришли к эквивалентной формулировке: найти решение уравнения (30), проходящее через точки М, ~, — х!, гт — ! 22 ~у+ ! ' т+ ! х' М,(1, 0) в плоскости у, г.
Поставленная задача является переопределенной и разрешима только при некоторых значениях й. Нетрудно убедиться, что характеристика — =и — с, и'х и'! (31) входящая в центр, является $-линией и изображается в плоскости у, г прямой (рис. 2.32) у у — а=О. (32) Точки М!, Мз лежат по разные сто- Рис. 2.82. роны от прямой г — у = О, и, следовательно, искомая интегральная кривая у = у($), г = г(я) должна пересечь эту прямую в некоторой точке М, соответствующей некоторому значению параметра $н.
Если при прохождении кривой у($), г(2) через точку М: (у = УЯм), г = у($н)) функции р(у, г), д(у, г) не меняют знака, то правые части уравнений (25) меняют знак и функции у(В), г(К) становятся неоднозначнымн, что невозможно. Отсюда следует, что в точке М: (у($м), г(эм)) величины Р(у, г), Ч(у,г) также обращаются в нуль, и она является особой точкой. Условия у — г = О, р = 0 приводят к уравнению уз — ~1 — т (1 — й)1У вЂ”: = О. 2т .! 2 (ЗЗ) Таким образом, имеются две особые точки Жь Л!з на прямой У вЂ” г = О. Положение этих точек, а также характер особенно- 332 ГЛ. 5 ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА 7 стей зависят от двух параметров у, й. В случаеу = — (исследо- ван Гудерлеем) точка Ф, является седлом и существует един- ственная интегральная кривая, соединяющая точки Мн М5.
При этом она проходит через точку Аг~ (см. рнс. 2.82). Мы отсылаем читателя за детальным анализом к обзору К. В, Брушлннского, Я. М. Каждана 11963]. Укажем только, что имеются области параметров у, й, для которых задача однозначно разрешима. 2. Аналогичным образом исследуется задача о схлопы. ванин сфер и ч е ской полости. Масса изоэнтропического газа истекает в вакуум, так что граница газа с вакуумом дви- жется с ускорением к центру и в момент 5 = 0 входит с беско- нечной скоростью в центр х = О, Для безразмерных инвариаитов г=й(и+ — с), з=й(и — с) (34) получаем систему уравнений й5 — = ггг р (5, г) 5(З Ч(г, 5)" (35) где р(г, з)= — )55 — 2( + 1)55 — ( — 1) гз+ г5,1 4 2 2 (36) д(г, з)= — ( (+1)г — ( ( — 1)з. Граница с вакуумом есть $-линия.
24 подбирается так, чтобы ~=1. Тогда краевые условия для системы (35) имеют вид г (1) = з (!) = 1, (37) г (0) = з (0) = О. (38) В плоскости г, з вновь приходим к краевой задаче. Найти интегральную кривую уравнения Н5 Р(г, 5)Ч(г, 5) 5(г Р(5, г)4(5, г\ проходящую через точки М~(1,!), Мх(0, 0). Аналогично доказывается, что искомая интегральная кривая должна проходить через особые точки уравнения (39). Детальный анализ показывает отсутствие единственного аналитического решения, 3, Задача о точечном взрыве решена Л, И, Седовым 11946) и Д.
И. Тейлором (см., например, Р. Курант, К. Фридрихе [1950] ). В точке х = 0 в момент 5 = 0 мгновенно выделяется конечное 51оличество энергии Е, которая переходит в энергию движуще- $9. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕННЯ ОДНОМЕРНОИ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ ЗЗЗ гося газа, отделенного от покоящейся среды ударной волной. Так как при малых 1 концентрация энергии и давление велики, то давлением ро покоящегося газа можно пренебречь, что делает возможным автомодельное приближенна Для удобства поста! новки краевых условий положим в (11) а,=1, а = — — и А подберем $о так, чтобы на ударной волне было $ = 1, Тогда течение, возникающее в результате точечного взрыва, описывается тем решением системы (12), которое удовлетворяет условиям (23) и, кроме того, условию симметрии !ни 3(/(') — О, З-АО, (40) которое означает, что и(О,г) = О.
Покажем, что кроме интеграла адиабатичности (!3) имеет место также интеграл энергии. В силу предположения ро = 0 поток энергии через ударную волну равен нулю, и энергия движущегося газа тождественно равна Е: А Е = ~ р (е + —,„) х«а!х. о (41) Переходя к величинам Р, Е, 1!', получаем соотношение «'+з ! Е= „'о !' А ~( — Р+ — ИЗ)е ««е.
Ео (42) Учитывая, что 1= 0, интеграл (13) запишем так: 1п Р— (у — 1) ! и )З + !п ( — — У) + (т + 3) О = 1п С !. (44) Константа С! в (44) определяется из условий на ударной волне: + Вт+! ' Уравнение (43) преобразуем к виду 1иР— !пав+ 1и (у«У — — ) — 1и( — — У) — 2!и(1=!и ! 2, (46) 11 ! у — 1 (45) Отсюда следует, что й= —. А это при условии 1= 0 Я+3 2 необходимо и достаточно для существования интеграла энергии. Из условий на ударной волне следует, что константа интегрирования в (18) равна О, и интеграл энергии принимает вид Р + ! Е(У') = ! Р+ ! Д«(1'. (43) ГЛ ! Од!!ОМВРНЛЯ ГАЗОВЛЧ ДИНАМИКА ззл Дифференцируя (44), (46) по 9 и исключая из уравнений (44), (46), (126) величины —, —, приходим к уравнению и 1п Р Л )п (т лв лв для (7! И (2- Ь(Л) (уи — а) (47) Ю у(1+у) 0' — 2а(у+1) и+2а' ' где Ь = (у + 3) — (2 — у) (у + 1) > О.
(48) Интегрируя (47), находим Сэ = (7 ' (а, — У) ' (У вЂ” аа) ", (49) где 2 а а! = —, аз= —, ь' аЛЬ' + 2 (у + 1)(у — аЬ) (у — !) а Ь (2у — аЬ) " йз 2у — аЬ (50) Заметим, что величины а„а„а, — а,, 3, положительны при любых у, у, величина 3! положительна для всех у ) 1 и всех у. Постоянная С в (49) определяется из условий на ударной волне ($= 1) и равна С=( + а) (а! — + а) ( + а — а,) . (51) Если после этого воспользоваться интегралом энергии (43) и интегралом (44), (45), то получим следующие выражения для й!, Р: ! (у+ ! )у+! (а (!)г (!л Р= У Я(л 2 ~и-а ' Р= ~4а' (52) (53) Из формулы (49) следует, что при $-+0 У-~!Ль откуда следует, что условие симметрии (40) выполняется. Детальный анализ формул этого решения показывает, что У достигает значения !хл при $-!-О, для у(7 при у = 2 и для всех у при у=0,1, Для у )?, у = 2 точечный взрыв сопровождается образова.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
