Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 50
Текст из файла (страница 50)
А. Христианович, О. С. Рыжов 11958) )). 9 7. Взаимодействие сильных разрывов Опираясь на анализ задачи о распаде произвольного разрыва, в этом параграфе мы рассмотрим несколько задач о взаимодействии сильных разрывов, каковыми являются ударные волны и контактные границы. При соединении сильных разрывов возникают кусочно-постоянные течения, параметры которых можно принять за начальные данные для решения задачи о распаде произвольного разрыва. Поэтому задача о взаимодействии сильных разрывов сводится к задаче о распаде разрыва. Мы рассмотрим в этом параграфе взаимодействия сильных разрывов в следующем порядке: 1.
Набегание ударной волны на контактную границу. 2. Соединение ударных волн, движущихся относительно газа навстречу друг другу. 3. Соединение ударных волн, движущихся в газе в одном направлении. Этими тремя комбинациями исчерпываются все возможные взаимодействия сильных разрывов. Основной задачей будет установление конфигурации образующегося течения в зависимости от параметров„характеризующих взаимодействующие разрывы. Мы проведем сначала общее исследование методом р, и-диаграммы, а затем рассмотрим случай политропного газа. !. Набегание ударной волны на границу двух сред.
Пусть на границу х = 0 двух сред, характеризуемых параметрами р, = рм Яо, йа = 0 (слева от х = 0) и ро, 5о, и» = 0 (справа), в момент 0 набегает ударная волна, идущая в среде х ( 0 в направлении слева направо. Таким образом, в момент Г = 0 образуется начальный разрыв с параметрами рь Яь и~ (газ «1», слева) и Рм Зо, по = 0 (газ «0», справа). При этом точка (рь и~) должна лежать в верхней части кривой (6.8.7), вычисленной для газа, первоначально расположенного при х ( О, и проходящей через Я Х ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СИЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ точку (Ри, О), т. е. н1=Ч'о(Бо Р~) Р| >Рм н1 >0 (4Ф Ф,Р) Рис 2.66 Таким образом, множество возможных состояний (Рь и~) газа «1» изобразится в плоскости (Р, и) кривой с уравнением (1) (рис, 2.66).
Пусть задана исходная ударная волна. Тем самым задана точка (Рь и~), лежащая на кривой (1) (рис. 2.66). В соответствии с п. 8 й 6 решение задачи о взаимодействии ударной волны с контактной границей сводится к опреде- и =Цс 7»аМ=а (~в,Р) лению точки (р, и) пересечения кривой (6.8.7) л= иаа й~ Р) "=Ко(Бо Р) (2) (А а) Й Ф и=а' для газа «О», проходящей = Уа через точку (Ро, ио) и кривой (6.8.8) и-к=-~Я',4 = , — д,(БВ Р) (3) для газа «1», проходящей Ра Р через точку (рь и1). Очевидно, что кривая (2) может пересечь кривую (3) лишь верхней своей ветвью, т, е. при Р > Ри.
Следовательно, возникающее течение имеет либо конфигурацию Л (соответствует точке А пересечения кривой (2) (СА) и кривой (3) (АБ) на рис. 2.66), либо конфигурацию В (соответствует точке Б пересечения кривой (2) (БС) и кривой (3) (АБ)), Таким образом, всегда в газ «О» распространяется ударная волна, в газ «1» распространяется волна разрежения либо ударная волна, в зависимости от взаимного расположения кривых (1) и (2). Рассмотрим случай политропных газов.
Согласно (6.8.13) Чаи(5», Р)=(1 — й1)с»~У +,' — ХГ '+„' ~ (4) Введем в рассмотрение величину ч'о(2о Р) (1 — А1)' 4 1 + "о 6 + Ао (6 — 1)' Ч,' (2,, Р) (1 — И,)' ,' 1 + А, Е + А, (Е - 1)' (1 — а!1 11 + Аа) 6 + Аа ( аа ~ (6) -«-. (+, +,(..) гл. о. одномвгнья газовая динамики где р(ро Отсюда имеем (1 — Ь~)о (1+ Ьо) (с )о 1+ Ь (1 — Ьо)о (1+ Ь,) ~ со / 1+ Ьо Если Ьо <Ь, (уо < у,), то К(оо) > К(1) и К(0) — монотонно возрастающая функция О. Если же Ь, > Ь! (у, > у,), то К(оо) < К(1) и К(9) — монотонно убывающая функция при 0 < 0 < оо. / / Рассмотрим следующие случаи: 2/ 1. К(1) в1, К(оо)' »1.
Тогда К(0)>1 и Ч,(5„р)>Ч',(5„р) при / всех роро. Б этом случае кривая и = Ч',(5„р) лежит ниже кривой и = Ч'о (5о, р) (рис. 2.66) и при любой ') силе ударной волны в результате взаимодействия с контактной границей возникает конфигурация Б, т. е. /ГдЖ Л'(о»о)>у при 1 > 0 от контактной границы распространяются в разные стороны Рис, 2.бт. две ударные волны (рис. 2.67). 2.
К(1)~1, К(ао)<1. Тогда Ч'о(5о> р)~(Ч'о(5о~ р) и при любой силе ударной волны течение при ( > 0 имеет конфигурацию А, т. е. в газе «0» распространяется ударная волна (как, впрочем, и всегда), а в газе «1» распространяется центрированная волна разрежения. 3. Если К(1) > 1, К(со) < 1 (уо > у,), то при некотором р=Р кривые и =Чо(5о, р) и и=Чо(5о р) пересекаются. При ро(р, <Р имеет место конфигурация Б; при р, > Р, т.
е. для достаточно сильных ударных волн, имеет место конфигурация А. 4. К(1) < 1, К(оо) > 1 (у, < у,). Тогда кривые и=Ч'о(5о, р) и и=Ч',(5„р) пересекаются при р=Р; в области ро<р,--.Р течение имеет конфигурацию А, при р, > Р— конфигурацию Б. Рассмотрим частный случай одинаковых газов (ус= у! — — у). Тогда К(1) К( ) (гО)о (10) Учитывая соотношение со= тр . запишем (10) в виде Р К(1)=К( )=Ф. (11) Ро О!сюда аледует, что когда ударная волна идет из менее плотного $ х Взхимолвйствие сильных РАЭРыВОВ звз газа в более плотный газ (К ) 1), то в менее плотный газ отражается ударная волна (имеем конфигурацию Б).
Если же ударная волна идет из более плотного газа в менее плотный (К С 1), то отражается волна разрежения (конфнгурация А). Этот результат может быть сравнен с выводами п. Ь 3 3, где изучалось преломление бегущей волны на контактной границе. Там мы получили, что от более плотной среды отражается волна того же типа, что и падающая. Так как слабую ударную волну можно рассматривать как слабую волну сжатия Римана, то мы видим, что качественно преломление ударных волн и волн Ри- 4 ~4ог мана на контактных границах носит одинаковый характер.
2. Встреча двух ударных волн. По веществу с параметрами йо — — О, ро, Яо идут навстречу друг другу две ударные волны, оставляющие за со- т бой состояния и~ = Чго(5», р~) Рас. 2.68 рь 51 за левой волной и ио= = — Чго(5»,ро), ро, 5о за правой (рис. 2.68). В момент Г= О ударные волны встречаются в точке х = О, образуя начальный РазРыв с паРаметРами и1 — — Чго(5»,Р~), Рь 5~ (слева) и ио = =.
— Ч о(5о, ро), ро, 5о (справа). Для определенности полагаем, что Р~~~ро (1) Здесь возможны два случая: а) Кривая и — ио = Ч"о(5„р) всегда ниже кривой и = = Ч'о(Ло, р) (рис. 2.69,а). б) Кривая и — ио = Ч'о(5о, р) пересекает кривую и = =Чго(Я», р) в некоторой точке (Р, (Г) (рис. 2.69, б). В первом случае возможна только конфигурация Б, во втором — как Б, так и А, однако в любом случае в газе «О» будет распространяться ударная волна. Подробнее рассмотрим случай политропного газа, для ко- торого пересечение кривых и=Чго(5о> р) и и=ио+ Чо(5» Р) = = Чо(5».
Р) — Чо(5о Р) невозможно. Тем самым мы должны доказать неравенство Ч'о(5о, Р)+Ч'о(5о Ро)) Чго(5» Р) при Р~~ро> Ро (2) Учитывая формулу (6.8.13) для Чо(5„р) и формулу (6.8.12), приводим неравенство (2) к виду М2 1 М2 ! с Мо 1 (3) ГЛ. К ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА 294 где а) и=-ооД,,Ф 4Д) 4 и= иа(ГИФ Рис.
2.69 Отсгода следует равенство А)М2 А (1+5)М2 Д (1+ А) Мо Учитывая соотношение (4.5.15): ,О, (((+А)Мо — А)[() — А)+ АА(Я -2 2 оо А)о С~, / Р.+ ЬР. М1 - ~/ - 1 ~~ "(о> 1 '()~ l Р+ Адо оо Ро( + Ь) м=~ — = оо Ро(1+ А) (Ро > Ро). (Р~Ра > Ро) (Р > Ро) ° э 7. ВзАимодеистВие сильных РАЭРыВОВ (7) (8) проходящей через точку (РъЧго(52~Ро)) (рис. 2.70).
В момент соединения ударных волн возникает начальный разрыв, который, распадаясь, дает течение с конфигурацией Б, если точка (рь йо + ,+Чго(82, р7)) лежит выше кривой (1) (на рис. 2.70 этот случай показан точкой Б), н течение с конфигурацией А, если точка (Рь йо + Чго(оо, Р7)) лежит ниже кривой (1) (точкамн Б' и А' отмечены на рисунке соответствующие решения). Всегда, одна. ко, при этом в сторону газа «0» будет распространяться ударная волна. а также следствие (5): М2 1 М! -Мо (1+А)М22 — А ' преобразуем неравенство (3) к виду (М7Мо — ') 1 (М7 ™о)'(1 — "+ "Мо) М (!+ )М2 А Исключая из неравенства (8) величину М с помощью (5), при- ходим к неравенству (МРМо — 1)' (М7 — Мо)'Р— "+ АМо~ М7 > М,— А+АМ, 2 2 При М7 — — М, неравенство (9), очевидно, выполнено (этот слу- чай соответствует встрече ударных волн одинаковой силы).
По- кажем, что неравенство (9) выполняется прн любых М, -» М . Для этого преобразовываем его к виду (М1 — 1)(Мо — 1)((1 — й) М7+2ЙМАМ~ — й] ) О, откуда легко следует, что оно всегда выполнено при М, ) Мо ) ) 1. Таким образом, в политропном газе при встрече двух ударных волн возникает лишь конфигурация Б, т. е. при встрече двух ударных волн каждая из них как бы «проходитэ сквозь другую. 3. Соединение ударных воли, идущих в одном направлении. В газе с параметрами Ро, Яо, ио —— 0 движется слева направо с постоянной скоростью йо) 0 ударная волна, оставляя за собой состояние йо„ ро, Яо, расположенное на кривой и=Ч'о(82, Р).
(1) За первой ударной волной также с постоянной скоростью Вь 117 ) 122 ) йо, движется вторая ударная волна, оставляя за со- бой состояние иь Рь 5Ь расположенное на кривой йо Ч'о(оо1 Р) (2) ГЛ. 2. ОДНОМЕРНЛЯ ГАЗОВЛЯ ДИНЛМИКА Вновь более подробно рассмотрим случай полптропного ~аза, Взаимное расположение кривых (1) и (2) определяется знаком разности б = Чоо (Зо, Ро) + Чоо (Зоо Р) — оуо (Зов Р) (3) при заданных ограничениях Ро< Ро<Р. Введем обозначения: Здесь Мо соответствует первой ударной волне, идущей по фону (О, ро) и оставляющей за собой состояние (о!о, ро); Л вЂ” второй боФ 3 ооо Б Ряс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
