Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 45
Текст из файла (страница 45)
а одномагнля газовая динамика Функция р (Мо), стоящая в левой части уравнения (7),— монотонно убывающая функция Мо, р+(Мо) — монотонно возрастающая до +со функция Мо. Так как при М, = 1 р (1) = р, > р+ (1) = р„ (8) в силу предположения (2), то отсюда следует, что уравнение (7) имеет один и только один корень Мо ) 1. Определим величины уо, уь У, 0 как функции от Мо и покажем, что условия конфигурации А: у,<у,<У<У, (9) удовлетворяются. Неравенства (9) всегда выполнены при У > О, У вЂ” и, = У > О. В самом деле, неравенство У = с,(1 — Ьо) (Мо — — ) < 0 = 1 »го соМо очевидно. Для уо у1 имеем уо = и, — с, = — с„у1 = У вЂ” с, (10) где с — скорость звука в зоне И1, с > О.
Отсюда следует, что у, < У. Наконец, г, = (г,); поэтому у,— у,=У вЂ” с +с,=У+ ', ' (У вЂ” и)= т| — 1 =У+ У1: — 'У= "'+' У >О. (П) 2 2 Итак, все условия (9) выполнены, н конфигурация А совместна. Будем теперь варьировать параметры задачи.
Зафиксируем рь ро (р~ ) ро) и будем изменять скорость и, газа «1», Тогда, полагая в (3), (4) и1 ~ О, придем к уравнению от~ Р-( о) Р1~ 2 2 1 со (1 — Ьо) Мо — — — и, — ( -,1 с, = Р+(Мо) = РоГ(1+ Ло) Мо — "о1 02) вместо уравнения (7). По-прежнему р-(Мо) р+(Мо) — монотон- ные функции от Мо. Проследим изменение корня Мо в зависимости от изменения параметра иь Справедливо утверждение: корень Мо уравнения (12) есть монотонно возрастающая функция иь В самом деле, р-(Мо) — монотонная функция иь В частности, значение 2В у~1 2 4 о, зАДАчА О РАспАДВ пРОЯВВОльного РА3РыВА 26! которому соответствует точка В на рис. 2,48, также монотонно возрастает с ростом иь С ростом и1 точка В, а вместе с ней и Вся кривая р = р-(Мо, и1) монотонно поднимаются (рис.
2.48). Так как кривая Р = Р+(Мо) фиксирована, то точка С пересечения кривых р = Р-(Мо и1) и Р = Р+(Мо) удаляется направо с ростом иь т. е. корень Мо уравнения (12) растет с ростом иь что и требовалось доказать, Обозначим через ио ( 0 значение иь при котором р (1,и,) = = р+, т. е. у!-1 или Д6то (18) „, Тогда в соответствии с рис. 2.48, очевидно, что при ив(и ~О (14) Рис. 2.48 уравнение (12) всегда имеет единственный корень Мо ) 1. При Мо) 1 ударная волна Го (рис.
2.47) удовлетворяет условию устойчивости; при Мо (1 ударная волна Го является неустойчивой и поэтому конфигурация А невозможна. Однако для возможности конфигурации А (рис. 2.47) необходимо выполнение всей цепочки неравенств (9). Поэтому рассмотрим выполнение этих неравенств при и1 ) О. С ростом и, величины У, Р растут до бесконечности так, что сохрйняется неравенство У .с, Р. Неравенство у1 с У также сохраняется. Остается только исследовать разность у~ — ус=(У вЂ” с ) — (и, — с,) =(У вЂ” и,) — (с — с~). (15) В силу постоянства инварианта г в зоне 7Р' имеем 2 2 2 г и,+ — с, =У+ — с, У вЂ” и,= (с1 — с ), (16) у,— ! у! — ! у| — 1 Подставляя (16) в (15), получим у, — у,= (У вЂ” и,).
у~+ ! 2 (17) Мы показали, что с ростом и1 растет Мо. Но из уравнения (12) следует, что с ростом Мо разность У вЂ” и~ уменьшается. Следоватально, из (17) следует, что а ростом и1 уменьшается у1 — уо Гл. а ОднОмеРКАя ГАЗОВАЯ динАмикА 262 Пока У вЂ” и1) О, у1 — уо) 0 При (/ — и, = 0 у1 — уо — — О, Последнее выполняется при условии одновременного выполнения равенств р,=р,1(1+А,)М~„-А,1, (18) и1=У=(1 — Ьо)со(М««р — М )=и, (19) в которых Мо„р выступает как параметр. Нетрудно явно выразить и, /' — '+ А (/ Р'+А, Ро Итак, если выполнены условия (21) ив С и~ к.
ив, то Выполнены условия (9) совместности конфигурации А. Поэтому при выполнении неравенств (21) картина разрывов имеет вид, изображенный на рис. 2.47, а полученные выше формулы позволяют полностью рас1' считать течение в условиях конфигурации А. 3. Конфигурация Б. При /'=1,' г= /, и~=ив у1 — уо=О, т. е. е=// зона волны разрежения ис'/ ,( о чезает, и решение строится / ~з' » д из одной ударной волны и контактного разрыва (рис. 2.49). При дальнейшем увее личении и~ разность и~ — У Рис. 2.42.
становится отрицательной. Поэтому при и1 ) иь кон- «» тактную границу — = У следует рассматривать как поршень, й/ одновременно вдвигающийся как в газ «0», так и в газ «1». Таким образом, в соответствии с решением задачи о поршне (см. 5 4, п. 8), решение задачи о распаде разрыва при и~ ) ив следует искать в виде двух ударных волн, распространяющихся одна в газе «0», другая — в газе «1» (рис. 2.50).
Этот случай мы будем называть конфигурацией Б. Б случае конфигурации Б имеем 4 зоны / — !)/ постоянного течения, разделяемые ударными волнами Г„Г, и контактным $ О ЗАДАЧА О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА 20З разрывом Гм Докажем совместность конфигурации Б при условии и, ) ив. Выпишем условия на ударных волнах Гь Го. Р =р,((1+й)Ма1 — й11; 1 1 1)з, -'ир) и = и,— с,(1 — й)(М,— — ), М,= Р+ = Ра((1+ "о) Мо йо) и+ = со (1 — йо) (Мо — м ) ° 1 (1) (2) (3) (4) = со (1 — йо) (Мо — д ) . (6) Левая часть этого равенства— монотонно убывающая функция М~ и, в силу (5), М,; пра- Рис. 2.50. вая часть — монотонно возрастающая до оо функция Мо.
Рассмотрим значения и (М1), и+(Мо) при Мо = Мо кр, где Мо кр Определяется из равенств (6.2.18), (6.2.19) . Так как (7) то М1(Мокр)=1, и (М~(Мокр))=ин и.р(Мо«р)= со(1 — йо) (Ма.1 — м ) =ив. ) (8) Но, согласно предположению, и, > ив, поэтому из (8) имеем и (М~(Мокр)) ) и+(Мокр). (9) Поэтому уравнение (6) при и1 ) ив всегда имеет, и притом только один, корень Мо ) Мокр ) 1. Приравнивая на контактной границе Г, давления р , р+, получим Ма ОМЗ ) и Ри Ро + "о) я Р~~Р~ АоРо (6) о ', В+и,) ' Р,(1+А) Отсюда следует, что М~ есть монотонно возрастающая функция Мо. Для определения Мо записываем условие непрерывности скорости на контактной границе Га..
и =и (М)= =и,— с,(1 — й)(М,— — )= М~ б' = и+ = и+ (Мо) = ГЛ. а ОДНОМВРНАЯ ГАЗОВАЯ диНАМиКА 264 После определения Мс по формуле (5) определяем М~ и все параметры течения в зонах П, (!!. Условия совместности конфигурации Б !1, <и~ — сн !)1 <(! <0», си<0„ (! 0) легко проверяются и всегда выполнены при и~ ) ив, если учесть, что если М~ ) 1, то и Мс ) Мс„» ) 1, Итак, пРи любых иь удовлетворяющих условию и~ ) ив, мы имеем конфигурацию Б.
4. Конфигурация В. При и~ = и, < 0 (см. формулу (6.2.13)) Мс — — 1, (! = О, т. е. контактная граница является неподвижным поршнем для газа «0». При и~ = ии имеем поэтому решение, Рис 2.61. Рис. 2.62. когда в газе «0» ударная волна исчезает и он остается неподвижным, сохраняя свои начальные параметры, в газе «1» распространяется волна разрежения ГоОГ~ (рис. 2.51). При дальнейшем уменьшении и~ (и~ - ии < 0) контактная граница начинает двигаться влево относительно газа «0» « К ЗАДАЧА О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЪНОГО РАЗРЫВА ма (и(0), так что ее можно рассматривать как поршень, одно- временно выдвигаемый из газов «0» и «1». В соответствии с ре- шением задачи о поршне (з 3, п, 4) в этом случае решение за- дачи о распаде состоит из двух центрированных волн разреже- ния, распространяющихся в газах «1» и «0» (рис. 2.52).
Этот случай будем называть конфигурацией В. Верхняя полупло- скость разбивается на б областей 1 — 'Р1, разделяемых четырьмя линиями слабых разрывов Гь Гь Г,, Г, и контактной грани- цей Г2. Зоны 1, 1!1, 1)2, 'Р'1 — области постоянного течения, зоны О, )2 — области волн разрежения; в зоне П постоянен ин- вариант з, в зоне (г — инвариант г. Покажем, что при условии и Сии (1) конфигурация В совместна. В зонах 11, )г имеем 22 27~ (з = сопз1), 2~ р = р, ) 1 — ~' — '~т' (г= сопа1). (3) для определения и.
При этом (5) 2 со Условие (5) означает неотрицательность давления на границе. Заметим, что знаки равенства в формуле (5) могут иметь место лишь одновременно и соответствуют отрыву газов. Как мы видим, в уравнении (4) р (и) — монотонно убывающая функция и, р+(и) — монотонно возрастающая функция и. При и=о 22 (О) =, 11 + т' ' "' ] 1-', Из условия (1) поэтому следует р (0) <р,(о).
р,(0) = р,. (5) В частности, на контактной границе Г2 при и=и =и+ — — и должны получить р =р„, т. е. приходим к уравнению 22 р =р (и)=.р,~) т,-1 и-., 1 —,' р р ( с, 22 =~~~~ + т" —,1"' (4) ГЛ. З. ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА Прн уменьшении У р (У) будет возрастать, ро(и) — убывать, Таким образом, если только р+(и) не обратится в нуль, существует единственный корень и О уравнения (4), удовлетворяющий условию 2 У ) со. то — ! Тогда уравнения (5) приводят нас к неравенству 2 2 и, ) — ! — с, + — со) . ! у — ! (8) (9) Итак, прн выполнении условия (9) существует корень и < О уравнения (4). Покажем, что при и, < из конфигурация В всегда совместна, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
