Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 41
Текст из файла (страница 41)
ОДНОмеРИАЯ ГАЗОВАЯ ДннхмНКА Т = Т(У) на интегральной кривой монотонна. При этом интегральные кривые могут переходить из одной области в другую в следующем порядке: из области !У в области ! и ПТ, из области П в области ! и ПТ, Невозможны переходы: из областей Т, П! в области П, ТУ, из области ТУ в П и обратно из П в ТУ. Отсюда следует, что интегральная кривая, соединяющая точки (Уо, То), (Уь Т1), должна целиком лежать в области П. Таким образом, для ударного перехода должны иметь место соотношения — (О, — „„)О (щ=С~)О), (2) д.н дТ вЂ” — Х д2' дТ дэт — — Х дУ д2' др (3) Для корней Х,, Х, характеристического уравнения имеем выра- жение 1 д гт дЫ ! 1 дат дЫ' з д2' дэг дзт д2' Легко видеть, что в силу свойств ! и 3 функций 2', М характе- ристические корни Х1 и Аз вещественны и различны.
Они одного знака, если дА' дат др дТ >О, дУ дТ и разных знаков, если Л ( О. Поэтому ввиду свойства 4 функций Ы, .!Т заключаем, что в точке (Уо. То) Хн Аз — одного знака (положительны), а в точке (Уь Т1) — разного. Итак, точка (Ум Т,) является узлом, а точка (Уь Т1) — седлом для уравнения (1), Покажем, что существует интегральная кривая уравнения (1), соединяющая точки (Ум Т,), (Уь Т|).
Согласно рис. 2.36 для поля направлений уравнения (1), через любую точку М кривой .АТ = 0 проходит интегральная кривая уравнения (!), проходящая одновременно через точку (1'о, ТА). Устремляя точку М по кривой зТ = 0 к точке (Уь Т,), получим по непрерывности, что точки (Уь Т~) и ( Ум ТА) соединяются интегральной кривой уравнения (1), Докажем существование и единственность интегральной кривой ударного перехода. Для этого установим тип особых точек (Ум ТА), (Уь Т1) уравнения (!). Как известно, тип особой точки определяется характеристическим уравнением, которое имеет вид з О.
нзтчвиив тдхгиого пагвходк шигних тдхгнон волны»оз Аналогично через любую точку Т. кривой Я = О проходит интегральная кривая (1), проходящая через точку (1~о, Т,). Устремляя точку Е по кривой У = О к точке ($'ь Т,), получим в пределе, что существует, быть может, отличная от предыдущей, интегральная кривая уравнения (!), соединяющая точки (Уо, Тю), ((гь Т ). Так как точка (17ь Т,) является седлом, то, согласно качественной теории дифференциальных уравнений, через нее проходят только две интегральные кривые уравнения (!). Поэтому точки ((7о, Т,) н ((гь Т2) соединяются одной и только одной интегральной кривой уравнения (1).
Действительно, если бы эти точки соединялись двумя различными инте- гб»7 !'б»У гральными кривыми уравнения $ (1), то через эти точки проходила бы также любая интегральная 7(т~ кривая, проведенная через точку, лежащую внутри области, ограниченной этими двумя интегральными кривыми.
Это противоречит х нашему выводу о том, что точка Рис. 2.37. (Уь Т2) — седло. В силу свойств 1, 3 функций М, У, кривые Я = О, Ы = О суть нули первого порядка этих функций. Отсюда следует, что в окрестности особых точек (например, ((7о, То)) функции Ы',,О!' представляются в виде ~= пп ((7 — 'и'о)+ ам(Т вЂ” То), Я=021(~ 1 О)+п22(Т ТО) а вдоль интегральной кривой, соединяющей точки (Уо, Т,), (17ь Т,), 2Т=Ь(17 — (7,), Ь - О. Из уравнения (5.1.21) следует, что «ширина» зоны ударного перехода бесконечна, так как интеграл и и'Р ги расходится.
Поэтому графики ударного перехода имеют вид„показанный примерно на рис, 2.37, на котором видно, что значения О'о, То перед фронтом и Гь Т, за фронтом достигаются асимптотически на бесконечности. 4. Предельные случаи. Изотермический скачок. Рассмотрим поведение ударного перехода в двух предельных случаях: прц к -» О и при р -» О., 240 Гл, а Од!!Омериля ГАЗОВАЯ динАмикА Если мы зафиксируем р ) 0 и будем варьировать и, то зависимость ударных переходов от х будет монотонной в том смысле, что меньшему значению тс будет отвечать интегральная кривая уравнения (5.3.1), лежащая ближе к кривой Ы' = О. Докажем, что при достаточно малом тс интегральная кривая (5.3.1) будет лежать в е-полоске над кривой Ы = О.
Действительно, в любой точке области !! над е-полоской кривой Ы = 0 будем иметь .У )6(е) Тогда, выбрав сколь угодно большое Ф ) О, можно подобрать столь ма- Т лое и = м(и, тч'), что в любой точке над и-полоской ат р~ Ы'~ т. е. наклон интегральных кривых уравнения (5.3.1) над е-полоской может быть сделан болыпе максимального наклона кривой, ограничивающей сверху е-полоску "). Тогда, если интегральная кривая выйдет в какой-либо точке из и-полоски, то она уже не войдет в точку (Уь Т!).
Это означает, что при х- 0 ударный переход стремится к кривой Ы' = О. Рассмотрим второй предельный случай, когда р -+ О, и чь О. Если отрезок линии Х = О, заключенный между особыми точками, есть монотонно опускающаяся в сторону растущих У кривая, то аналогичным рассуждением доказывается, что при р- О ударный переход стремится к кривой Х = О. В случае, когда этот участок кривой зг = 0 не является монотонной кривой, дело обстоит иначе.
Рассмотрим для простоты случай, когда кривая Х = О на отрезке У! ( У ( Уо имеет один максимум (рис. 2.38). Ясно, что в этом случае верхней границей интегральных кривых является кривая А!А,Ао, состоящая из хорды А!А,, параллельной оси У, и дуги А,А, кривой вт = О. Рассуждая аналогично предыдущему, можно доказать, что эта граница является точной, т. е. при р-ь 0 интегральная кривая стремится к кривой А!АеАо, причем равномерно.
В частности, на интервале [У!+е, У,— е) ударный переход лежит в е-полоске А,'А,"А,'А" (заштрихована на рис. 238). Так как в этой полоске ) я (У, Т) )) Мо(е), а ),Т(У, Т) ) ( То(е), то справедливо ие. х~йТ1 1 Т.е 1 ') Для определенности можно счвтать, что е-полоска получается сдвигов! «ривоя .2' 0 по переменному Т иа величину е. $5. ИЗУЧЕНИЕ УДАРНОГО ПЕРЕХОДА. ШИРИНА УДАРНОЙ ВОЛНЫ 241 Отсюда следует, что можно сделать р столь малым, что на интервале [у', + е, )', — е[ будем иметь — ~(б,=б,(е, р), б1- 0 при р- О. ит иу Следовательно, Т находится на этом интервале в пределах Т1 — а(е, р) = Т < Т, +а(е, р), а(е, и)-е-0 при р- О. Соответствующий интервалу [$', + В, К вЂ” е] отрезок Лх имеет величину у,-е Рну б~=й('Р)= ~ м(,,т(у» у,че Так как на интервале [)е1 + е, (те — е[ .ее (1Г, Т) ) Ме(е) ) О, то отсюда следует, что Л(е, р)- 0 при 1е-РО.
Полученные соотношения справедливы при произвольном е- О. Таким образом, при наличии максимума на отрезке у; ( ~ К = 1~с кривой иТ = 0 ударный переход в случае ИФ О, 1 = 0 состоит в плавном изменении на интервале ( — со, хе) от ти ее х Рис. 2.40.
Рис. 2.39. значений Го, Т, перед фронтом до значений у;, Т, = Т, (точка А, на рис. 2.38) и в скачке удельного объема в точке хс от значений Ге слева до )е1 справа при постоянной температуре Т = Т, (рис. 2.39). Итак, при наличии одной лишь теплопроводности возможен скачок плотности при постоянной температуре. Такой скачок называется изоггрмичегким. Как следствие положительности коэффициента теплопроводности отсюда следует, что удельный объем Ге перед фронтом нзотермического скачка больше удельного объема Г~ за фронтом изотермического скачка. Тем самым мы получаем, что предельные разрывы при р- 0 удовлетворяют условию устойчивости разрыва и изотермическом газе, которое мы получили в п.
б $ 4. В случае, если кривая УТ = 0 имеет несколько максимумов, ударный переход будет иметь несколько изотермических скачков (рис. 2.40), разделенных зонами гладкого течения. В этом 242 ГЛ. Е ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА (3) (4) случае ударный переход стремится при !е-~ О к кривой А,А,В,А«В«А,А», что ясно из того, что интегральная кривая уравнения (5.3.!) всегда остается внутри зоны П. Заметим также, что явление изотермического скачка зависит не только от уравнений состояния, но также и от констант С!, С„С,, определяющих течение. Вообще говоря, изотермический скачок возникает лишь для достаточно сильных ударных волн.
Это мы покажем ниже для случая идеального газа. В заключение этого пункта заметим, что мы получили стационарные течения вязкого и теплопроводящего газа в виде «размазанной» ударной волны, типа указанной на рис. 2.37. В самом деле, значения Уе, Те, ие перед фронтом и У!, Ть ц! за фронтом удовлетворяют условиям Гюгонио и условию устойчивости В! ) Ве (У! ( Уе). Поэтому при !е-+О, х-+О мы получим в пределе из решений Т = Т(х), У = 1~(х) систем (5.1.20), (5.1.2!) устойчивый разрыв (ударную волну), удовлетворяющий условиям динамической совместности и условию устойчивости. Вообще существует предположение, что любые решения уравнений газовой динамики, содержащие устойчивые разрывы, могут рассматриваться как предельные решения уравнений газовой динамики с вязкостью и тепло~роводностью при стремлении к нулю коэффициентов вязкости !А и теплопроводности х.
До сих пор нет ни одного примера, опровергающего эту гипотезу, однако нет и ее доказательства. Последнее связано с трудностями, которые возникают при точном рассмотрении задачи Коши для нелинейных уравнений, описывающих течения вязкого теплопроводящего газа. В настоящем параграфе мы показали лишь, что эта гипотеза верна для стационарных течений, т. е, для постоянной ударной волны, которая существует неопределенно долгое время. 5. Ударный переход для случая идеального газа (исследование Беккера).
Первое исследование ударного перехода в вязком теплопроводящем газе было проведено Р. Беккером 11921). Он рассмотрел случай идеального газа р = — = —, е= сРТ. йг ее с н (1) В безразмерных переменных уравнения (1) принимают вид Т=р1Г, е= Т=, р$', (2) а функции Ы, .4Т специализируются следующим образом: .4Т(1/, Т)= т +1 — 1, ~(~', Т) = Т вЂ” — (à — !)' — 5. ! ! 1 ! 2 $ О. ИЗУЧЕНИЕ УДАРНОГО ПЕРЕХОДА. ШИРИНА УДАРНОЯ ВОЛНЫ 243 Таким образом, кривая к (У, Т) = О есть парабола ! А2 Т=1' — У'= — (У вЂ” — ) + —, 2) 4' (5) обращенная выпуклостью вверх, имеющая осью прямую У= 1/2 и вершиной точку У = 1/2, Т = 1/4 (рис. 2.41). Кривая У(У, Т) = 0 также есть парабола Т= — ', ' (У вЂ” 1) +5(у — 1), (6) Рис 2.4!.
Параболы Ы = О, 4Т = 0 пересекаются в двух точках при 0 = 5 < !1о', случаи ! ) !1о и 5 < О физически нереализуемы, так как в первом случае нет точек пересечения и, следовательно, асимптотических значений У, Т, а во втором Т с, О. Случай (1 = 0 соответствует бесконечно сильной ударной волне, так как т, и, то Ро ! а случай (1=по= (,, — бесконечно слабому ударному пе- реходу, так как в этом случае точки (Уо, То) и (Уи Т,) сли- ваются, т.
е. — = — = 1. т~ т, р, В случае к=О, р чь 0 уравнения (5.1.20), (5.1.21) интегри- руются. Действительно, Т(х) = —" [У(к) — !)'+ Р(у — 1), т (7) обращенная выпуклостью вниз, с осью У = 1 и вершиной в точке У = 1, Т = 5(у — 1). Таким образом, форма параболы (6) неизменна, а ее положение зависит от (1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
