Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Сравнение ударной волны и волны сжатия Римана. Для простоты будем считать, что газ перед фронтом ударной волны покоится, т. е. из = О. ДЛя бЕСКОНЕЧНО СИЛЬНОЙ ударНОй ВОЛНЫ р/р44 = оо. БудЕМ СЧИ- тать р конечным, а ро = О. Переходя в уравнениях (4,5.13) — (4.5.16) к пределу при Мо-Р оо, ро-РО, со-РО, получаем условия Гюгонио для беско- нечно сильной ударной волны в политропном газе: р = 1пп (1+ й) р М'= (1 — Ь) р,(и — 17)'= — р 0', (1) (2) р, У а т — |' с= Ч|й(1+6) !О!, (3) и=(1 — Ь) О.
(4) 226 Гл. г. ОдномеРИАя ГА30ВАя динАмикА Мы видим, что кинетическая энергия газа за фронтом ударной волны равна внутренней, так как е= (1 — Ь)' г! — Ы' г и' с = Π—— 2Ь(1+Ы 2 2 Для слабых ударных волн будем считать величину Мо —— (и, — 01 близкой к единице. Полагая сз М =!+е, 0<в<<1, проведем разложение в формулах (4.5.!3) — (4.5.16) по параметру е с точностью до членов порядка ез: ~ = 1 + (1 + Ь) (2е+ ег), (5) р Мго 1+2е+е — (1 — 2Ье — Ье' (! — 4Ь)] Х Рз (1 — Ь)+ ЬМог 1+ Ье(2+ е) )((1+2е+ е ) =1+ 2е(1 — Ь)+ е'[1 — 5Ь+ 4Ь ]+ 0(е), (6) — '=,з!( 1+ Ь вЂ” —, ](! — Ь+ ЬМо) =1+2ЬŠ— Ье'+0(е'), (7) о ,) и — ио = (1 — Ь) со (Мо ) = (! — Ь) со (2е — ег) + 0 (ез) (8) 1 о (пз < О). Вычислим скачки инвариантов Римана г, з на фронте слабой ударной волны: (! — Ь) г — го= и — ио+ Ь (с — со) = = (1 — Ь) со ](2е — ег) + (2е — е')] + 0 (ез) =4(! — Ь)с,е — 2(1 — Ь)с,е'+ 0(ез) (пг <О), (9) з — зо — — и — ио —:(с — со) = (1 Ь) со (2е е') (! — Ы Ь вЂ” со „]2Ье — Ьег] + 0 (ез) О (ез) (гп < О).
(10) Из общих свойств адиабаты Гюгонио Н, как мы видели в п. 3, следует З вЂ” В,= О (Ь'). (! 1) Таким образом, в слабой ударной волне, распространяющейся по газу направо, инвариант г имеет скачок первого порядка по е, а инвариант з и энтропия 5 имеют скачки третьего порядка. Аналогично в волне, идугдей налево, инвариант г и энтропия О имеют скачки третьего порядка. з ь яхзгывы. эдлгныа волны 227 Формулы (10), (11) показывают, что слабая ударная волна ведет себя, как «короткая» бегущая волна сжатия. Действительно, как мы видели в 6 3, волну сжатия Римана характеризует постоянство энтропии 5 и одного инварианта Римана.
Для слабых ударных волн это нарушается лишь в третьем порядке, и поэтому приближенно зависимости в слабой ударной волне можно считать такими же, как и в бегущей волне сжатия. Это позволяет приближенно заменять слабую ударную волну бегущей волной. В ряде случаев это оказывается полезным, особенно при анализе взаимодействий ударных волн с волнами Римана. Учитывая, что в нашем приближении 0 = са(1+ е) (ла < 0), видим, что скорость слабой ударной волны есть среднее арифметическое скоростей г-характеристик, так как равенство 13 иа+ са+ и+ с 2 выполнено с точностью до членов третьего порядка.
8. Ударный переход для сред с аномальными термодинамическими свойствами. Вопрос о допустимости разрыва для газа (или жидкости), уравнения состояния которого не удовлетворяют условиям (4.3.1) для нормального газа, значительно осложняется. В целом, т. е. для произвольных уравнений состояния, удовлетворяющих лишь необходимым условиям термодинамики, этот вопрос не решен и в настоящее время, В последние годы повысился интерес к физическим процессам, описываемым уравнениями состояния с аномальными термодинамическими свойствами (см.
Л. В. Альтшулер [1965], Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер [1966]). Наибольший интерес вызывает случай, когда нарушено требование П (см. п. 3) и величина р" (У, Я) может быть знакопеременной. В работах Г, Я. Галина [1958], А. Д. Сидоренко [1968], Б. Вендрофа [1972], Т. Лю [1975] рассмотрен этот случай. Предполагается, что величина р" (У, 5) может быть знакопеременной, хотя нули этой функции при фиксированной 3 изолированы, кроме того, предполагается, что р,'(У, 5» О, р', (У, 5) < О. (1) Разумеется для газов с произвольными уравнениями состояния на любом разрыве должны быть выполнены условия Гюгонио (4.2.4).
В частности, поэтому параметры ра, Уа перед фронтом разрыва и р, 1' — за фронтом должны лежать на адиабате Гюгонио, т. е. Н(р, а; ра аа) =Оа (2) Гл, з одномеРнля ГАзовля д!!нАмнкА В случае знакопеременности р" условие 5 ) 5 не является достаточным для выделения физически правильных разрывов; оно является, вообще говоря, лишь необходимым условием. Достаточные условия допустимости разрыва, удовлетворяющего условию (2), могут быть получены из следующих, внешне различных, требований: а) Требования устойчивости разрыва относительно разбиения его на последовательность нескольких разрывов, движу- шихся относительно газа в одном и том же направлении.
Это требование предполагает, что при таком разбиении эти разрывы соединяются вновь в исходный разрыв, б) Требования, чтобы состояния ио, Ро, )го и и, р, 'к' могли быть предельными состояниями при х -о. ~со в ударном переходе для вязкого и теплопроводного газа с положительными коэффициентами вязкости и теплопроводности (см. $5). Эти требования при выполнении условий (!) приводят к следующему критерию допустимости разрыва. Разрыв (и,р, э';по,ро, 'о'о) (по, ро, ко — значения параметров перед фронтом ударной волны) допустим, если для любой точки (р, Р) адиабаты Ггогонио (2), промежуточной по отношению к ее точкам (Ра, 'ка) и (Р, к') выполнено неРавенство Р— Ро «Р Ро (3) "а При выполнении ограничений (!) из выполнения (3) следует, что 5 ) 5о, т. е.
критерий допустимости (3) для случая знакопеременности р" (Г, 5) является более сильным ограничением, чем требование лишь возрастания энтропии. 9. Примеры. Рассмотрим здесь две простейшие задачи о течении с ударными волнами. 1, Движение поршня в покоящемся газе. В покоящийся политропный газ, расположенный справа от поршня и характеризуемый параметрами па = О, ро, о'а, са, вдвигается поршень, имеющий постоянную скорость У ) 0 при г ) О. По газу будет распространяться с постоянной скоростью 0 ударная волна, оставляющая за фронтом состояние с парамет.
рами и, р, $с, с. Ясно, что и = К Из соотношения (4,5.!б) поэтому определяем Мо как положительный корень уравнения Мо— г !! МО ! Оо 11 — А) с т. е. 21! — Ь) со Ч 411 — А) саг 3 а. РАЗРывы, эдлгные ВОлны После этого величины р, У определяются по формулам (4.5.13), (4.5.14), а 0 = с,Мо. Заметим, что при 0- О имеем У( Уо и условие устойчивости на ударной волне выполнено. 2. Отражение ударной волны от жесткой стенки. По покоящемуся газу (ио = О, ро,. Уо, со) направо движется со скоростью 0 ) О ударная волна, оставляя за фронтом состояние и, р, У, с, вычисленное выше (рис. 2.33, а).
В момент г'= О ударная волна подходит к жесткой стенке х = хо, ограничивающей газ справа, На жесткой стенке задается условие и(хм Г) = О. х иу 1<0 ф 1ь1т Рис. 2.33 Поэтому ударная волна отражается от стенки в виде ударной волны, распространяющейся влево со скоростью 01( О. Обозначим состояние за фронтом отраженной ударной волны через и1 —— О, рь Уь с1 (рис. 2.33, б) . Таким образом, задача сводится к определению именно этих параметров.
Заметим, что задача определения иь рь Уь с1 по известным и, р, У, с сводится к предыдущей, так как известно, что и1 = О. Введем в рассмотрение величины М~ — — ' . (2) 11 — и, аз Мо= са с, ' Π— и с Справедливы соотношения Мо) 1, ОСМ(1, М1) ! и=(1 ") со(Мо — ) Ма — и = (1 — й) с (М вЂ” м ~, 1 ч и = (! — Ь) с (М, — — ) . (3) (4) и — по= (5) и — и= о и — и1 = ГЛ. 2. ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА Из уравнений (5), (6) следует, что величины М1 и 1(М удовлетворяют одному и тому же квадратному уравнению О2 и а — 1=0.
(1 — Ь) о ! Так как М1> 1, — > 1, то М М, = —, т. е. ММ~ — — !. 1 М ' (8) Вычислим увеличение давления ны. Пользуясь (8), получим: — +Л Ро Ро (1 ! й)И2 й Ма Р = !+ь при отражении ударной вол- (1+ 26) — — 6 Р (9) — Ь= 1+Ь вЂ” ' Ро Р' = (! + Ь) М! — Ь = (1+ л) —, А(о (1+ Ь) Р— Р. 1+ (10) Р Ро А+ Р' Р 5 5. Изучение ударного перехода. Ширина ударной волны 1. Постановка вопроса для нормального газа. Будем предполагать, что уравнения состояния газа удовлетворяют условиям 1 — Ч1, сформулированным в п.
4 $ 1, т, е. газ нормален. Как мы уже говорили, разрывные течения мы рассматриваем как предельные течения вязкой и теплопроводя2цей жидкости при стремлении коэффициентов вязкости и теплопроводности к В случае слабой волны Р -о 1, Р' Р' -+ 2, что соответствует Ро ' Р Ро акустическому закону отражения. В случае сильной волны, когда — -о О, — 2+ — = Ро Р1 — Ро ! Р Р Ро А т+! =2+" . Для газов с показателем у, близким к 1, полут — !' чаем сильное увеличение давления. Однако не следует думать, что для изотермического газа увеличение давления будет бесконечным, так как аналогия изотермического газа и политропного с у = ! здесь неприменима.
Действительно, если для изотермического газа рэ- О, то рэ — ~0, так как с' =)(Т=сопз!. Поэтому не существует изотермической ударной волны, идущей по фону ро = 0 (вакуум) с конечной скоростью. З а, изучение удАРнОГО пеРехОДА. ширина удАРнОЙ волны 931 нули), Поэтому мы сейчас изучим некоторые простейшие решения уравнений газовой динамики для газа, обладающего вязкостью и теплопроводностью, а затем с помощью предельного перехода получим разрывные течения. При этом мы сможем оценить ширину зоны ударной волны для газов, обладающих конечной вязкостью и теплопроводностью *).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
