Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Это автомодельное решение соответствует задаче с поршнем, выдвигающимся из 2 газа с постоянной скоростью Уе) — — см В случае Уа С т — 1 2 < — — 1 се зона Ш исчезает, уступая место волне разрежения, ГЛ. К ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА 198 т. е. зона П в этом случае вытесняет зону !П. При У ( — — се на границе 9=0 соблюдается условие р = О, а 2 о газ не контактирует с поршнем, т.
е, они разделены областью вакуума. Это автомодельное решение дает решение другой задачи, называемой задачей об истечении газа в вакуум. В этой задаче мы можем считать, что в начальный момент времени 1= 0 убирается стенка, ограничивавшая газ Ф слева (в точке д = 0). Рассмотрим теперь второй случай, когда д'й >П Краевому условию (7) теперь всегда можно удовлетворить, так как при У(1) ) 0 всегда выполнено неравенство (!3). Легко видеть, что прн у дг (д, Г) (1(г)) 0 ~' <0 и течение в зоне дд П есть, следовательно, волна сжатия.
На рис. 2.2! приведена картина характеристик в плоскости д, б Так как г-характеристики пересекаются при 1) О, то классическое решение задачи о поршне для случая (у(1) ) 0 существует лишь ограниченное время. После пересечения двух характеристик решение задачи о поршне становится разрывным.
Вообще заметим, что если рассматривать произвольный закон движения поршня и = У(1) и если У'(1) ) 0 при некоторых й то в решении этой задачи обязательно возникают разрывы. Таким образом, полное решение задачи о поршне в этих случаях описывается разрывными решениями уравнений газовой динамики, содержащими ударные волны.
Свойства ударных волн мы будем изучать в й 4. Заметим также еще, что если считать, что поршень начинает двигаться в сторону газа с конечной скоростью У(0) О, то решение разрывно при всех 1) О. Поэтому в этом случае бессмысленно рассматривать изоэнтропическую задачу. 5. Задача с двумя поршнями. Отражение и преломление бегущей волны на контактной границе. Качественное изучение простейших течений мы продолжим на примере этих двух задач, в которых приходится рассматривать взаимодействие двух волн Римана. Как мы уже отметили в п. 1, в случае политропного газа с показателем адиабаты у = 3 характеристиками являются прямые линии в плоскости эйлеровых координат х, й вдоль которых $ 3.
изучение пРОстейших плоских ОдномеРных течений 199 постоянен соответствующий инвариант Римана. Это обстоятель- ство позволяет получить решение задачи Коши, а также и любой корректно поставленной краевой задачи в случае, если в реше- нии не образуются ударные волны.
Пусть политропный газ с показателем у = 3 в начальный момент времени г = О находится в состоянии покоя (и = О, Р=ро Р=ро ~=Зо), х ограничен с двух сторон поршнями, траектории движения которых заданы. х х1(1)~ х=хо(~) (рис. 2.22). Мы применяем теперь эйлеровы координаты х, й Очевидно, что в волево Рис. 2.22, имеем постоянное течение, совпадающее с начальным, в зонах О и Ш вЂ” волны Ри- мана, а зона 1à — зона интерференции волн Римана. Рассмотрим качественно другую простейшую задачу: взаимо- действие волн Римана с контактной границей, т.
е. с границей двух различных газов (либо одинаковых газов разной плот- ности). Для простоты будем считать оба газа политропными: газ слева от границы х = хо (рис. 2.23) имеет показатель адиабаты у = уп газ справа — показатель у = ум т. е. считаем, что слева от х = хо, р = А1рт', справа Р=Азрех Легко понять, что если соседствуют два газа, то граница между ними является траекторией, и поэтому Ю на границе двух газов должны выполняться условия и =и, р =р „(!) х, где и, р, иэ, рэ — соответРис.
2.23. ственно скорость и давление в газах слева и справа от контактной границы. Как будет показано в 9 4, эти уравнения следуют из законов сохранения массы, импульса и энергии. Обозначая инварианты Римана з, г слева и справа от контактной границы соответственно через зь гы зь гь заключаем, что непрерывность скорости на контактной границе, требуемая первым из условий (1), записывается равенством з, + г, = зз + гз = 20 (1), (2) з х изхчение приставших плоских одномерных течения 2о1 Пусть, например, на контактную границу падает г-волна разрежения. Тогда, как легко видеть из рис. 2.23, г!(1) — монотонно убывающая функция переменного 1 1х — < 0) . При 1=(0 г Й!«) гй (рис. 2.23) г,(1 ) =г1, поэтому из (6) следует, что (г'(10)=0.
Так как мы считаем, что уь у2 ) 1, то левая часть в равенстве (6) убывает с ростом У(1), правая, напротив, монотонно возрастает. Отсюда следует, что если г! (1) — монотонно убывающая функция переменного й то У(1)<0 и У(1) также монотонно убывает. Значит, течение в газе П можно рассматривать как движение, вызванное выдвижением поршня со скоростью [/(1) О, Поэтому г-волна Римана в газе П есть волна разрежения. Совершенно аналогично можно густановить, что если падающая волна есть волна сжатия, то (( (1) ) 0 и в газ П распространяется г-волна сжатия.
Несколько сложнее устанавливается характер отраженной от контактной границы з-волны, т. е. знак — . Дифференцируя Ис! «) !й равенство (2) по переменному 1, получаем — = 2(г" (1) —— !(5! «), 5(г! «) 5й !й (7) Отсюда заключаем, что если 2У (1) > —, то отраженная !(г! «) гй волна есть волна разрежения, в противном случае — волна сжатия. Для простоты мы рассмотрим лишь случай одинаковых газов (у, = у2 — — у), энтропия которых различна, т.
е. с0 Ф сс. Тогда уравнение (6) переписывается в виде у — 1 г,(Π— б«) у — 1 и«) =1+ (8) 2 сс 1 2 00 2 г «) — — с 0 1 у 1 1 1 ()® 0 0 " () (1)= 0 от)((). 1+ сс/с20 1 + сс/50 1 Отсюда мы заключаем, что если с0/сс < 1, то величина — „ с(5! «) имеет знак — если же сс/сс> 1, то знаки и— Иг! «) 5(5! «) !(г~ (1) сй ! 2 !й сй противоположны.
Для одного и того же газа (у, = у =у) неравенство сс < сс означает, что плотность рс газа 1 больше плотности рс газа П, так как р= —. Поэтому мы можем сформулировать полученсгр у ный результат следующим образом: ГЛ. К ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА Так как по смыслу величины У(~) ихю (г) () (() (10) а из уравнений (6), (9) У(~) выражается как определенная функция переменных й хю((), то и решение всей задачи сводится к интегрированию уравнения (10). В качестве начального условия для уравнения (10) при этом ставится условие (рис. 2.23) хо ((о) = хю.
Так, например, если т1 = тз = 3 и набегает центрнрованная волна разрежения, то уравнение (10) принимает, согласно (8), вид хю (г) ю —, хю(( ) = сю(ю, ( > О, (11) От более плотной среды (рю> рю с,' < сю) волна разрежения (сжатил) отражается также в виде волны разрежения (сжатия), и, наоборот, от менее плотной среды (р" (рн сю> сю) волна разрежения (сжатия) отражается в виде волны сжатия (разрежения) . Отметим один частный случай ею=О (рю= оюю), при котором 'У(1)= О. Этот случай можно трактовать как отражение волны Римана от бесконечно плотного газа или как отражение от жесткой стенки (О(() = 0).
Мы заключаем, что волны сжатия (разрежения) отражаются от жесткой стенки всегда в виде волн сжатия (разрежения). формула (6) позволила нам провести качественное исследование задачи о преломлении волн Римана на контактной границе, Полное же решение этой задачи затрудняется тем, что на самом деле функция г1(() неизвестна, так как г-характеристики искривляются в зоне взаимодействия падающей волны Римана с отраженной от контактной границы волной.
В связи с этим отметим один частный случай, когда решение этой задачи сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения. Рассмотрим случай, когда т1 = 3, а тз > 1 произвольно. Тогда характеристики в газе 1 — прямые линии, и мы можем считать, что г1(х, ()=11(х, (), где (1(х, () определяется в волне Римана однозначно. Однако в уравнении (6) г1(г) есть значение инварианта г1(х,() иа контактной границе, т, е. в точке (хз((), (): г1(()=г~(хо(ю)ю ю)=)1(хо(ю) ю) (9) $3. изучение пгостеиших плоских одномягных течении воз так как в центрированной волне разрежения при у= 3 г(х, 1)= —. 6. Замечания по поводу краевых условий для уравнений газовой динамики и иллюстрация их разрешимости на примере задачи о поршне. При анализе разрешимости задачи с краевыми и граничными условиями для уравнений газовой динамики полностью применимы выводы, которые мы сделали при рассмотрении этого вопроса для систем квазилннейных уравнений гиперболического типа в $11 главы 1.
Тем не менее при изучении движения газов и жидкостей некоторые классы краевых и граничных условий являются особенно естественными и поэтому особенно важными. Поэтому мы рассмотрим здесь типичные краевые условия для уравнений газовой динамики. Наиболее естественно ставить граничные условия на границе выделенного объема газа, т. е. на траектории. В лагранжевых координатах траектории соответствует фиксированная координата д; поэтому такого рода граничные условия в лагранжевых координатах ставятся на прямых д = сопз1.
Можно различать два типа граничных условий: !. Внешние граничные условия, или условия на внешних границах. Это будут, собственно, краевые условия, эффективно описывающие воздействие внешней среды на данный объем газа. Для рассматриваемого нами одномерного течения такими условиями являются условия на левой и правой границах области, в которой расположен газ. 2. Внутренние граничные условия, или условия на внутренних границах.
К ним относятся условия на контактных границах между газами, обладающими различными свойствами (различными энтропиями, различными уравнениями состояния и т. д.). К числу внутренних граничных условий могут быть отнесены также условия на линиях разрыва решения. Эти условия будут подробно обсуждаться в следующем параграфе. Что же касается условий на контактных границах, то в газовой динамике они всегда одинаковы и требуют непрерывности скорости потока и и давления р. Пример использования этих условий дает п. 5, где качественно изучалась задача об отражении волн Римана от контактной границы. Остановимся на внешних граничных условиях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
