Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 30
Текст из файла (страница 30)
8. Уравнения в лагранжевых координатах. Случай пере- менной энтропии. В качестве исходных уравнений в лагран- жевых переменных будем считать уравнения (2,5,4), (2,5,5), (2.5.6), в которых д — массовая координата. Запишем их в сле- дующем виде: — — ХУ вЂ” = УХУ-'И вЂ” =— дГ ди дх уиу (1) д~ дд ди х — + хо — =О, ди удр дг до дд 1 — =О, (3) дг ' р' при этом эйлерова координата х = х(9,1) должна рассматри- ваться как решение дифференциального уравнения (2.5.7): =,(д, 1), (4) удовлетворяющее начальному условию, следующему из (2.4.9): и ~о, о~ ро (г) г' о(г = д, (б) о ГЛ, 2, ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА )тв Собственные значения $О $„$„как обычно, определяются из уравнения — $ х'р„ 0 — хс Π— в х'р' 3 о =0 Ф (9) т.
е. $) $'+ хссри1 = О. Р1 (" 5)= р'Р (р, 5)= — рхс'(р, 5), (10) Так как то в1= — Рс х= — —, Р,=О 2,— р сх~ сх~ 2 К уравнениям (12) — (14) присоединяется уравнение (4) с начальным условием (6). Для изознтропического течения 5(д, ~) = 52. Инварианты Римана р р совпадают с введенными в п. 7 (см. (2.7,6), (2.7.7)). Это, впро- чем, есть общее свойство инвариантов Римана; они инвариантны при замене зависимых и независимых переменных, Эти же формулы для Ь, $2, вз могут быть получены из результатов п. 6 применением преобразования координат х, г в д, ( по формуле (2.4.6). Приведение системы (1) — (3) к характеристической форме производится так же, как и в п.
6. Мы приводим окончательную форму: ди ди ГдУ ~ дУ 1 — — х'рс — + рс 1 — х'рс а~ ад ~ а2 ад) рз(У, 5) /д5 д5 1 сси — ~ — — х'рс — ) = —, (12) рс ~ д( дЧ) х а5 — =0 а2 ди 2 ди ГдУ дУ х — +х рс — — рс( — + хсрс ) + ас ае ~а дд ) рз(У, 5) Г'д5 д5 1 тси + ~ — + х'рс — ) = — —. (14) рс (х д( дд) х 172 гл. а ОлномернАя ГАзОВАя динАмикА Функции ) !, )о представляются в виде (24) при этом зависимости (24) линейны по переменным и, дно дд Для наглядности напишем эти уравнения в случае плоской симметрии, т.
е. при т=О: до до дг дг — — рс — =)!, — +Рс — =)„ д! дс ' д! дд (25) !'! — — !,= — — ~р — ср с! ' . — !. (2б) дно 1 о (' дс(р, до(д)) др 1 дд( з .) дл р Ро А' (5) сс Р= — Рто У= ~1 (1) т ср поэтому т-! ,л др Агдрт-!, с(Р, ~)=А(5)Р ' (2) Для изоэнтропического течениия инварианты Римана опреде- лены формулами (2.7.7). Вычисляя ор(р), получим т-! Г ' '1 так как у > 1. Для простоты положим Р,=О, тогда о-! 'Р(Р) = ! Р ' о с (Р) = А (5) Р ' = 2 Ф (Р), (3) т. е. с (р) = ~ (г — з). (4) Величины Р и с выражаются однозначно через г, з. В случае изотермического течения уравнения в лагранжевых переменных по-прежнему имеют вид (15), (16), только вели.
чина с, входяшая теперь в эти уравнения и в определение инвариантов Римана г, з, есть изотермическая скорость звука сг (формула (2.7.17) ). 9. Уравнения в инвариантах для политропного и изотермического газов. Для политропного газа давление р задается формулой 4 2. уРАВнения ГидРОдинхмики ОдномеРных течении 173 где ! у — 1 ! = —,+ — ) — 2>0, 4 ! у — ! 2 4 (7) Запишем эти уравнения для случая плоской симметрии (У=О): о + (~ + рг) д — — О, д! + (а + рз) д' — — О. (8) Выпишем также формулы (2.7.7) для инвариантов г, з: 2 2 з = и — гр(р) = и — — с, г = и + ~Р (р) = и + — с, (9) у — 1 у ! Э и обратные формулы: с=с(р, 5о)= У (г — 5).
(10) г+ 8 и= —, 2 В случае изотермического идеального газа Р = )тр7 о (11) поэтому сг = ъ/ТТТо= соп51= со с гр(р)= ! — "= со 1п —. Р Р Ро Р (12) (18) Полагая для определенности ро=1, будем иметь 2~р(Р) =(г — 5) =2с,!п Р, р= ехр ( —,, ~. (14) Уравнения в инвариантах для изотермнческого газа принимают вид до Гг+х Х до усо — +! — — ~~ — = — (+ ), д! ~ 2 3 дх 2х дг Гг+с Х дг усо — + ( — + сог! — = — — (г + 5). д! !. 2 ~ дх 2х (15) (16) Интересны частные случаи системы (8) (у = 0). Один из случаев, у = — 1 (соответствующий так называемому газу Итак, уравнения изоэнтропического течения (2.7.14), (2.7.15) для политропного газа принимают вид дг+( +1 ) дх 4х (5) д!+( +г ) д 4х дг дг У (у — 1) (г' — оо) (6) 174 гл, г.
одномгрнля глзовля динАмикА Чаплыгина Я)), приводит к слабо-нелинейной системе: — +г — =О, — +з — =О. дз дз дг дг дт дх ' д) дх (17) Другой интересный случай у = 3 приводит к распадающейся системе уравнений — +з — =О, дг дх (18) характеристиками которой, как мы видели в главе 1, являются прямые линии. В заключение этого пункта приведем уравнения в лагранжевых переменных для движения политропного газа в случае плоской симметрии (т = 0) с переменной энтропией. Из формул (2.8.26), (2.8.26) в этом случае, очевидно, по- лучим дз — дз т+1 — — В (5о (с))) (г — з) " дт до т+1 д', +В(5оЫ)(г- ) -' —,", =-(з, (19) (20) где (5о(д)) =14А ))~ А(5о(ч)) (21) 11=(з=,~ ~,„( 1) Рт~ 2А(5о(Ч))А'(5о(о))), (22) — —  — =О, — + — =О, дз дз дг дг дт дд ' дт до (23) Отсюда имеем общий интеграл з =до(~)+ В)), г= го(9 Щ где зо, го — произвольные функции одного аргумента.
Из этого следует, что если решение г, з системы (23) было гладким в момент 1 = Гм то оно остается гладким и при любых б Система (23) есть слабо-нелинейная система (17), преобразованная к переменным Лагранжа. Следовательно, решения си- *) Лля придания физического смысла уравнению состояния следует при Ат(о) этом считать, что р = ро — †, р, сова) ) О. Р а р, как всегда, определяется как некоторая функция от разно.
сти г — з и величины 5о(д). Отметим также, что в случае изоэнтропического течения газа Чаплыгина (у = — 1) уравнения (19), (20) становятся линейными: 53, изучения пяостеиших плОских одномеуных течении 17е стемы (17) также сохраняют свою гладкость. Этот факт может рассматриваться как иллюстрация теоремы о слабо-нелинейных системах, доказанной в 5 10 главы 1. $ 3. Изучение простейших плоских одномерных течений В этом параграфе мы будем изучать качественные свойства простейших, в основном нзоэнтропических либо изотермических, течений в случае плоской симметрии (у = 0). 1.
Общие свойства. Интегрирование в случае у = 3, В эйлеровых координатах изоэнтропическое течение описывается системой двух уравнений, которая для случая политропного газа имеет вид †' + (аз + йг) — д — — О, д~ + (аг + Рз) лд — — О, т — ~ а= — + 4 " 2 4 (2) а функции зо, го ограничены и обладают непрерывной первой производной. Тогда из результатов главы 1 следует существование решения задачи Коши (1), (2) в некоторой полосе 0 ( г ( го, величина Го есть момент времени, в который производные решения становятся неограниченными. Предположим, что решение з(х,1), г(х,г) известно. Интегральную кривую уравнения — = $,(з, г) =аз(х, 1)+ Ог(х, г) =и — с будем называть з-характеристикой, аналогично интегральную кривую уравнения — =$,(з, г) =аг(х, Г)+ йз(х, г) =и+ с г-характеристикой.
Вдоль з-характеристики х = х,(Г,хо) постоянен инвариант з = з(х,Г), как это следует из уравнений (1), т.е. з(х,(1,хо),г) =— — = зо(хо), если х, (О, хо) = хо Аналогично Г (Хо (1 ХО) Г) == ГО (ХО), Будем считать, что для системы (1) поставлены начальные условия з(х, 0)=зо(х), г(х, 0)=г,(х), (3) ГЛ. а ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДиНАмиКА !76 тГпзо(х)(з(х, !)«(таха,(х), 1 т!пго(х)«(г(х, !)(тахго(х), ~ (4) к к справедливые лишь в области 0( 7( 7о, в которой решение остается непрерывным. Поскольку 2 2 г+х т — 1 з=и — —, с, г=и+ — с, и= —, с= 4 (г — з), (5) т — ! то из (4) следуют оценки для скорости и и скорости звука с (при у ) 1): пнп[ио(х) — — со(х)]+ пнп[ио(х) + — со(х)~ =.2и(х, !) «( 2 2 к У к «(тах[ио(х) — со(х)~+тах[ио(х) + — со(х)~, к х пнп [ио (х) + —, со (х)1 — тах [ио (х) — —, со (х)1 «( 2 2 х У к «( —, с (х, !)«(тах [ио(х) +, со(х)~— 4 2 — т!и [и, (х) — —, со (х)~, (7) 2 (6) где со(х), ио(х) — начальные значения скорости звука и скорости потока.
Если загрубить эти оценки, то легко получим пнпио(х) — — [тахс,(х) — пнпсо(х)](и(х, !)(« ! х т ! х х «( шах ио (х) + — [тах со (х) — пнп со (х)], (8) ! х У ! х к т!п с, (х) — ~ [тах и, (х) — пни ио (х)] ( с (х, !) ( к 4 х к «(тахсо(х)+ ~ [тахио(х) — пнпио(х)]. (9) х 4 к х Обозначая пн'пио(х)=ио, х !пах со(х) = Со тахио(х) = Со, пнпсо(х) =со, к к био= Уо — ио Лсо= Со см если х = х,(йхо) — уравнение г-характеристики, проходящей че- рез точку х = хо начальной оси ! = О. Для решения з, г имеют место оценки 4 5.
ИЗР~!ЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ПЛОСКИХ ОДНОМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ !77 перепишем неравенства (8), (9) короче: 1 1 и,— — бсь(и(х, 1)(и,+ Ьс„ у — 1 ' - у — 1 у — 1 у-1 со 4 аио(с(х, 1)(~Со+ 4 аиь. (1 1) пнп[иь(х) + —,с,(х)1 — шах[и,(х) — — 1сь(х)~ < О, 2 2 к к то и левой части неравенств (11) и (7) должен стоять нуль. Из формул (б) поэтому также следует ппп[иь(х) — — сь(х)1 ..и(х, 1) (шах[иь(х) + — сь(х)~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
