Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Тогда мы ищем все величины, характеризующие течение, как функции от переменных у» уп уз При таком способе описания, например, вектор и(у»уьуз, !) при фиксированных у» уп уз означает скорость перемещения в пространстве вполне определенной частицы газа. Координаты у» уь уз носят название лагранжевых. В большинстве случаев в качестве координат у» ум у, выбирают эйлеровы координаты точки, в которой частица газа находилась в какой-либо определенный момент времени, например в момент ! = О. Если мы примем указанный выбор лагранжевых координат у» уь ум то легко вычислить положение частицы и в момент 141 $ !.
ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМЫХ ГАЗОВ времени Г ~ О. Так как при фиксированных у!, Уг, уз скорость и(уь уг, уз, !) есть скорость частицы, то ! х,=у!+ ~и!(у!* Уь уз т) о(т (1=1, 2, 3). (1) о Здесь х! = х!(у!, Уь уз, Г) — координаты в момент времени (эйлеровы координаты) частицы, которая в момент времени (=О находилась в точке с координатами х;=ун и (у!,Уьуз,!)— компоненты вектора скорости и(уь уь уз !). Формулы (1) устанавливают, таким образом, связь между лагранжевыми координатами у! частицы и ее эйлеровыми координатамн х!. Пусть ((х!, хг, хз, 1) — какая-либо функция эйлеровых координат, а 1(у!, Уь у,, Г) — представление той же функции в лагранжевых координатах.
Тогда, согласно (1), (2) где для простоты письма мы Обозначили У=(уь Уг Уз) х=(х„хь хз) и=(и„иь из) Дифференцируя (2) по переменному Г (естественно, при этом предполагается дифференцируемость 1), получим д!' — — — зд!' — + и(у Г) угад ~(х, (), (3) так как, согласно (1), х=у+ ~ и!(т. о По самому смыслу понятия скорости частицы газа и(у, Г) = = и(х, Г) (здесь мы обозначаем одной буквой и разные зависимости: и(у, Г) — в лагранжевых переменных и и(х, 1) — в эйле.
ровых), поэтому мы перепишем (3) в виде д д! + иЧГ(х, Г), д((у, !) д((х, !) где иЧ вЂ” оператор дифференцирования по пространству в направлении вектора и: д д д иЧ = и! — + иг — + из —. дх! дхз з дхз ' Обычно в газовой динамике все величины обозначаются одними и теми же буквами как в эйлеровом, так и лагранжевом гл, е одномвгнля глзовля диилмикл представлении. Поэтому во избежание путаницы величину д1 обозначают ~' . При таких обозначениях формула Ж (3) принимает вид ~й д1+ ~ д + ~д д) д) д( д( (6) а дх„ Величина — равна полной производной по времени от функ- Щ дь с ции 1 вдоль траектории частицы х=у+ ~ мат и носит назва- о ~~„'„=О, или е=е(Т), (2) т.
е. внутренняя энергия газа является функцией только темпеде ратуры; при этом удельная теплоемкость газа ст= — = сг(Т) также является функцией только температуры. Газ называется политропным, если с„не зависит от температуры. Тогда е= сгТ, (3) т. е. внутренняя энергия пропорциональна температуре газа. ние субстанциональной производной. Согласно формулам (1) лагранжевым координатам у, ( соответствуют определенные эйлеровы, и это преобразование у, 1-+.х, 1 однозначно, Обратное преобразование х, г-л.у, т' определено, вообше говоря, не всегда, Действительно, легко представить себе случай, когда газ заполнял в момент времени 1= О все пространство уь ув уз, но в результате движения при 1 ~ О некоторая часть пространства х„хм хз оказалась свободной от газа, Это означает, что в этой части пространства при данном 1) О координатам хь хм хз не отвечают никакие значения у„ ум ум Как мы увидим ниже, условие взаимно однозначного отображения х, 1-~ у, 1 выражается в виде р(х, 1) Ф О, 4.
Уравнения состояния газов. Совершенный газ. Газ Вандер-Ваальса, Нормальный газ. Ограничившись этими краткими замечаниями по поводу способов описания движения газов и жидкостей, остановимся коротко на некоторых простейших уравнениях состояния газов. Совершенным (идеальным) газом называется газ, для которого справедлив закон Клапейрона: рУ=КТ, (1) где )с — газовая постоянная. Из соотношения (1,1.12) тогда следует, что 4 ь Описхние дВижения сжимАемых ГАЗОВ 143 Кинетическая теория газов приводит к уравнениям состояния политропного газа в следующих предположениях: 1. Потенциальная энергия взаимодействия молекул пренебрежимо мала по сравнению с их кинетической энергией.
Как следствие этого предположения, энергия данной массы газа есть сумма кинетических энергий молекул газа, ее составляющих. 2. Возможны только парные столкновения между молекулами, которые происходят по законам упругого столкновения. При этом внутреннее строение молекул остается неизменным н сохраняются их суммарный импульс и кинетическая энергия. Второе предположение означает, в частности, что собствен. ный объем молекул мал сравнительно с объемом, занятым газом. Кинетическая теория дает следующие выражения для коэффициентов сю с, )с уравнений состояния (1), (2) идеального газа: А се= — Й— 2 Аг' (4) (5) )с=с,— сю где 7" — число степеней свободы молекулы (Т = 3 для одноатомного газа, 7 = 5 для двухатомного газа и т. д.), й — постоянная Больцмана, Ф вЂ” число Авогадро, М вЂ” молекулярный вес, Принимая во внимание уравнения состояния (1), (3), из основного соотношения (1.1,13) имеем Простейшая поправка к уравнению состояния идеального газа, связанная с учетом объема молекул и сил молекулярного сцен.
ления, дается уравнением Ван-дер-Ваальса КТ Р= ц (7) Здесь а — величина, пропорциональная силе сцепления молекул газа, Ь вЂ” величина, пропорциональная собственному объему молекул, Аналогичным образом получаем выражения для е, 5: В = ~ се (Т) г(Т вЂ” —, Г с (Т) — Г(Т + )с 1п ()à — Ь) + сопз1, (8) о = ск 1п Т+ Я 1п $'+ сопз! = с„!п Т + с, 1п 1 — се!п !'+ Сопз! = се 1п р+ ся 1п (Г+ сопа1. (6) 144 гл.
а одномирнхя газовая динамика Если некоторый элемент газа подвергается медленному расширению или сжатию, так что при этом не происходит тепло- обмена с окружающей средой, то элемент совершает адиабатический переход из одного термодинамического состояния а другое. При этом медленный процесс является обратимым и энтропия элемента остается неизменной. Поэтому такой переход называется еще изоэнтропическим. Рис. 2.1.
Рис. 2.2. Все термодинамические состояния, через которые проходит при этом данный элемент газа, будут лежать на кривой 5 = сова(, (1О) которая называется адиабатой Пуассона. Для идеального политропного газа, как легко следует из (6), уравнение адиабаты Пуассона имеет вид р 1 7 (11) 7 где 8 А' = А' (5) = а'е 'р = сопз1. ср й у — ! +— с, с т Легко видеть, что вдоль адиабаты Пуассона для политропного газа имеют место соотношения (рис. 2А) — < О (своиство 1), др др (Г, 5) — ) О (свойство Н). сир дсрОР, с) (13) Таким образом, адиабата Пуассона р = р()', 5с) есть кривая, монотонно убывающая по 1', обращенная выпуклостью вниз. Легко видеть, что оси )т = О; р = О являются асимптотами !45 4 !. ОПИСАНИЕ ДВИЖЕ2!ИЯ СЖИМАЕМЫХ ГАЗОВ р=с' — =с'р, с2=(ср — с„)Т=КТ=сопз1.
(14) — 2 ( 2 Поэтому в некоторых случаях идеальный изотермический газ можно формально рассматривать как политропный газ с ~ показателем у = 1. (А' Кривая (14) называется изотермой. Она удовлетворяет всем трем свойствам адиабаты Пуассона. Изотерма Т и адиабата А Пуассона пересекаются в плоскости Г, р так, как указано на рис. 2.2, Таким образом, изотермы и адиабаты Пуассона идеаль- рр ного газа образуют в плоско- Рис. 2.3. сти Г, р регулярную сетку. Ясно, что уравнения состояния идеального газа обеспечивают выполнение свойств: др ()!, Я) > О (свойство 1Ч), 1 се = > О (свойство Ч).
ди ()г, т) (15) Изотермы газа Ван-дер-Ваальса удовлетворяют свойствам 1 — П1 уже не во всей фазовой плоскости Г, р. В квадранте А'СВ' (рис. 2.3) может нарушиться свойство 11, В квадранте ВСА — свойство 1, свойство 1Н вообще не выполняется, так как асимптотой изотерм является прямая $'= з2, Заметим, что нарушение свойства 1, выражаемого неравенством (12), указывает на невозможность термодинамического равновесия, Действительно, пусть некоторый объем газа, для которого нарушено свойство 1, подвергается сжатию под действием внешнего давления, которое будем считать постоянным и превосходящим начальное давление газа, Если сжатие происходит медленно и если Р ' > О, то давление в газе падает др (2', 3) а(т адиабаты Пуассона, т. е, р-» О при е'-» оо и р-» оо при Р -» О (свойство П1).
Если некоторый элемент газа подвергается сжатию или расширению, так что при этом температура элемента остается неизменной, то совершаемый газом переход называется изотермическим про!(ессом. В идеальном газе, совершающем изотермический процесс, )', р связаны соотношением !46 гл, т. одномавнля газовая динамика П П! (20) Дополнительно будем требовать, чтобы область переменных Ч, 7, в которой выполнены свойства 1 — Н, была выпуклой (свойство Н1). Газ, уравнения состояния которого удовлетворяют свойствам 1 — Ч1, будем называть нормальным газом ").
Свойство !, очевидно, означает, что вдоль адиабаты А Пуассона давление р монотонно убывает с ростом Р; свойство П тре- Соотношения ! — т' были сформулированы Бете и Вейлем (см. Г. Вейла (!949 ). т. е. его сопротивление внешнему сжатию уменьшается. В результате произойдет полное схлопывание объема газа. Наоборот, объем газа, обладающего избытком давления пад окружающей средой, должен неограниченно возрастать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
