Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Следовательно, простые волны являются огибающими центрированных. Каждое решение и = и(х, т) системы (16) можно рассматривать как параметрическое задание в пространстве переменных (иь им ..., ил) некоторого многообразия 5 через переменные (х, (). Если условие (14) не выполнено в некоторой области В переменных х, (, то это двумерное многообразие. Если в Р выполнено условие (14), то это многообразие одномерное и формулы из = из(х, 1) дают отображение области б на некоторую линию. Итак, простые волны изображаются в пространстве годографа (иь ..., и„) линиями и; = и;(т), поэтому о простых волнах говорят как о решениях с возрожденным годографоль Как мы видели выше, для однородных систем квазилинейных уравнений (16) каждой такой линии в пространстве годографа соответствует семейство решений (простых волн) с однофункциональным произволом.
Можно получить уравнения, определяющие поверхность 5 в пространстве годографа (см. Н. Н. Яненко 11966)), а также показать, что, как правило, поверхности 5 отвечает семейство решений не более чем с константным произволом. Лишь в исключительных случаях поверхности 5 соответствует семейство решений с функциональным произволом. Например, для системы из трех квазилинейных уравнений поверхность 5 определяется одним квазилинейным уравнением третьего порядка (см, также $ 9 гл.
2). В заключение приведем примеры неоднородных систем квазилинейных уравнений, которые имеют решения типа простой волны. Так система двух квазилинейных уравнений — +3 (, ) — =6(~ь ) ( =1,2) имеет решение г~ = г~(т) = г;(х — сг) с вырожденным годографом с константным произволом (с = сопя(); при этом зависи- ') Совокупность (о~а(и),..., еа ~ (и)) называется (п — 1)-мерным векторинвариантом Римана (см.
гл. 4, 3 3, и. 2). $13 ГРуппОВые СВОЙСТВА диФФеРенциАльных уРАВнений 1!9 мости г~(т) определяются из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1~ ( 1 ! 1, ~,( )) (1=1, 2). Ит 5 (г, (т), г (т)) — с Некоторые системы уравнений после преобразования переменных переходят в системы, имеющие решение с вырожденным годографом. Например, система — ~+~;(гн г) — ~= ' 1 т (1= 1, 2) (20) дс дх х~ с функциями Еь д! — однородными по переменным гь гз..
$~ (0г„0г,) = 0В ° $, (г„г,), (1 = 1, 2) д, (0г,, 0г,) = оа д, ( „,) при ~$,=1, а=1, уйз — т — а=0 подстановкой ГХАт г~=( — ) Р, (1=1,2), т=!и1, г=!Пх переходит в систему типа (20), но с а = 0 и снова имеет реше- ния с вырожденным годографом; это семейство также имеет лишь константный произвол.
Система (20) при а Ф 1 заменой г~ =хт Я~ (1= 1, 2), а — 1 г = х-'а~+', т = Рс — ! — Р приводится снова к системе типа (20), но со значением а' = 1, и, следовательно, будет иметь решения с вырожденным годо- графом. 5 13. Групповые свойства дифференциальных уравнений Задача отыскания и размножения решений тесно связана с групповыми свойствами дифференциальных уравнений. Тот факт, что простые волны являются огибающими центрированных волн, а последние являются автомодельными, т. е.
инва. риантными относительно преобразования гомотетии х' — ~ йх', х'-+ йхт в плоскости х', х', имеет групповую природу. Возможность приведения квазилинейных уравнений к виду, удобному для получения простых волн, может быть обнаружена после анализа их групповых свойств. 120 ГЛ. 1. СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАЕНЕНИИ Давно известные автомодельные решения одномерной газовой динамики, по существу, были получены с помощью группового анализа, специфической формой которого является теория размерностей. Групповой анализ позволяет строить регулярные алгоритмы для нахождения частных решений без привлечения дополнительных соображений, исходя только из заданной системы дифференциальных уравнений. 1.
Однопараметрическая группа Ли. Рассмотрим в п-мерном пространстве Х„ переменных (х', ..., х") систему обыкновенных дифференциальных уравнений нх1 (1) для которой можно поставить задачу Коши хо(~,) = х,'. (2) При достаточно гладких функциях $'(х1, ..., х") задача (1), (2) имеет единственное решение х1(1)=~1(х', ..., х", 1), (3) которое является достаточное число раз дифференцируемой функцией начальных значений х' и параметра г в некоторой области изменения переменных х,' и 1.
Решение (3) задачи (1), (2) обладает свойством инвариант- ности относительно сдвига по параметру й если в задаче (1), (2) сохранить начальные значения х' и заменить 12 на 12+ т, то она будет иметь решение хо(1) = )'(х,', ..., х,", 1 — т). Формулу (3) можно символически представить в виде х (1) = о (1 "о) х (12) (5) где Я(1, го) есть опеРатоР, пеРеводЯщий х(1о) в х(1). В силУ ииваРиантности РешениЯ относительно сДвига по 1 опеРатоР 5(1, 12) обладает свойством 3 (~ ~о) =5(1 ~о, О) =3 (" — ' (а). (6) Последовательно решая задачу Коши с начальными моментами вРемени 1 = 12, 11, йь пРиходим к свойствУ композиции ~ ('1 + ~2) 3 (~2) ~ (~1) ~ (~1) ~ (~2).
(7) К нему следует добавить свойство непрерывного примыкания решения к начальным данным 5(т)-+Е (т — ~0) (8) х 1а гггпповыв свонствл диеевгвнцнлльных ллвнвнни 121 (9) — =Е Я) Р= О. ЬР Ю Выражение бР=(~'Я б( (6) будем называть дифференциалом Ли функции Р. В частности, ох' = $'б) есть дифференциал Ли функции х', и свойство обратимости 5 (т) 5 ( — т) = Е, где Š— тождественный оператор. Совокупность операторов (преобразований) 5(1), обладаюгцая свойствами (7) — (9), образует, по определению, однопараметрическую непрерывную группу (группу Ли). Мы будем называть $ = (я', ..., $") направляюи(им вектором однопараметрической группы Ли и обозначать группу с направляюплим вектором $ символом 6, ($). 2.
Инварианты группы. Скалярная функция Р(х) = = Р(х',..., х") называется инвариантом группы 61($), если Р (5х) = — Р (х) (1) для любого преобразования 5 ен 6~ ($). Введем понятие производной Ли функции Р(х). Для х' производная Ли, по определению, есть величина — =з' (1= 1, ..., п). (2) Производная Ли функции Р(х) определяется по правилу дифференцирования сложной функции: дР (х) дР Ьх а дР = —,— =$' —, (а=1, ..., и). (3) дГ дх й дх дР (х) Производная Ли есть не что иное, как производная функции Р(х) вдоль траектории по параметру Е Дифференциальный оператор Е(3)=$" —, (а=1, ..., и) (4) будем называть инфинитезимальным оператором (в дальнейшем — просто оператором) группы 6, Я) и говорить, что оператор Е($) порождает группу преобразований 6,($).
Таким образом, производная Ли функции Р(х) есть не что нное, как результат применения оператора ЕЯ) к Р(х). Нетрудно убедиться в том, что Р(х) является инвариантом 6~Я) тогда и только тогда, когда равна нулю производная Ли функции Р(х): 122 Гл ь системы квхзилинвииых угхвнвнии Под дифференциалом Ых' будем понимать выражение дР' дх'= — Ых" (а=1, ..., и), дхоа (7) вычисленное при фиксированном й Аналогично определяется дифференциал функции г(х): Ыр= — ".Ых =А -% ЬО (, 1=1, ..., и).
(8) дха дх дхо Если произвольная точка многообразия Ф не является инвариантной относительно 6ь в то время как само многообразие Ф инвариантно, то говорят, что группа 6, индуцирует непрерывную группу преобразований на многообразии Ф. Зададим Ф параметрическими уравнениями х'=1 (о', ..., о~) (р=и — д; 1=1, ..., и). (12) Тогда группа 61($) индуцирует в пространстве о = (о', ..., оо) группу д~(п), где направляющий вектор т1 = (и', ..., пР) связан с направляющим вектором $ = К', ..., Я соотношениями — — — = — (1 = 1, ..., и; б = 1, ..., р), (13) ах~ д(~ Ьоа д(~ вытекающими из равенств (12).
Пусть та) (х, дх) = Аа (х1, ... ха) г(ха (14) есть линейная дифференциальная форма. Тогда дифференциал Ли формы 1) есть, по определению, выражение <й = Ь (А, дха) = ЬА, дха + А,Ь о(х . (1Б) Нетрудно убедиться, что операторы б и о( перестановочны, так что справедливо соотношение Ьо(х!= Ыбх3. (9) Многообразие Ф, задаваемое уравнениями г'(х', ..., х")=С' (1=1, . „д), (10) называется инеариантным относительно 6~($), если преобразования 5 ен 6~ переводят точки многообразия вновь в точки многообразия. Для инвариантности Ф необходимо и достаточно, чтобы вектор $ в точках Ф касался Ф, т.
е. чтобы на многообразии (10) выполнялись условия дР $ — „=х.Р'=0 (1=1, ..., од а=1, ..., и). (11) дха $13. ГРуппОВые сВОистВА диФФеРенцивльных уРАВнении 1зз Пользуясь коммутативностью операторов г(, Ь, имеем ЬЯ=ЬА г(х +Ааг(бх =1 — В$~1(х +АаЩ ~81 1 д„з (а, 8 = 1, ..., П). (16) Производная Ли формы вв, по определению, есть выражение Л(х, $, 1(х, а1$) = — '$~ ГЬ" + А,ЕЦ', (17) дх которое само является линейной дифференциальной формой. Форму 11 будем называть инаариангной относительно 61($), если ее производная Ли, т. е. форма Л(х, $, 11х, г(е), равна нулю.
Пусть группа 61Я) оставляет инвариантными формы Й'=А,'(х)е1х' (1=1, ..., Г; а=1, ..., и) (18) и многообразие Ф, задаваемое или уравнениями (10), или параметрическими уравнениями (12). Формы 111 переходят на Ф в формы ; дх" щ1 а1 ДОВ в (19) (1 = 1, ..., Г; а = 1, ..., и; 8 = 1, ..., р), которые остаются инвариантными относительно группы п1(Г1), индуцируемой группой 61($) на Ф, По определению, производные Ли форм 1в1 равны нулю„т. е. выполняются равенства дав~ Л1(о тй 1(о 1111) — г)т г(ов+ а' 1(Г1в — 0 (20) дат (1 = 1, ..., Г; 8, у = 1, ..., р).
Пусть 61(Е1), 6з($з), ..., 6 (Ер) — однопараметрические группы преобразований в пространстве Х„, Будем искать совместные инварианты этих групп. Если г(х) = Р(х1, ..., х") есть инва- Риант 6151), 6а($р), ..., 6р($ ), то должны иметь место соот- ношения 124 Гл, е системы кВАзилинеиных РРАВнении Пусть система (21) полная, т, е. операторы [Еь Е1) являются линейными комбинациями Е1 (1 = 1, 2,..., р): ~ЕИ Ег)=саиЕ, (1, /, а=1, ..., Р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
