Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 16
Текст из файла (страница 16)
)Ь вЂ” ~,)<М, [[,— 1,[<М. Кроме того, по условию (4) теоремы, имеем ер — ~~ ~е>0. Поэтому из формулы (13) получаем оценку мр мр р р р — е ' <х,((, х)< — е', (14) которая показывает, что поле характеристик 1-го семейства х=х,((, хр) является дифференцируемым по х, при всех ) из интервала 10, Т). Отсюда следует, что характеристики х=х, ((, хр) не пересекаются друг с другом при 0~() =Т. Теперь легко получить доказательство нашей теоремы.
Обозначая дб (й хр) г1 = гр (р:, хо) = дхр и дифференцируя уравнение (6) по параметру х„ получим к х, (16) Обозначим ~ дк»(х, т) Р(()= зпр шах р~к<, », р~ дх — р(к(рр ~ д,' ~К~М, )[рх~(~М (1, 1=1, 2). (16) и будем считать, что константа М столь велика, что при всех 0<(<Т, — <х< 2 12. поввдвнив пгоизводных гвшяння 91 Интегрируя уравнение (15), получим Г ' г,(Г, хю)=г~(0, хю)ехр$~ — а1т + дВ до ю г' ю Подставляя сюда оценки (14), (16) и используя начальное условие (7), получим 2ме+М Я(Г, хю))--.Рюем'+ — е ' ~ 1Р(т)+1)югт.
(17) ю Из формулы (8) имеем дм (х, 2) г1 (Л хю) дх х,(пх,) ' так что из оценок (17) и (14) следует М м2+ М2 Мз 2м2 (в+и 2 ~( — е ' Р,+ —,е ' ~(Р(т)+ 1) 2(т ю Легко проследить, что аналогично получается и оценка для дгю, величины —; поэтому дх ' И- ."' дг ~ М М М~ Мю гм2 12+1) à — "~(Рю —,е 2 + —,е ' ~(Р(т)+1)2(т (Г2=1,2). ю Из этих неравенств вытекает оценка Р (Г) (~ А Рю + В ~ (Р (т) + 1] югт, ю где 1~ Р(0)=Рю А= — е ('+в/ В МА2 справедливая при 0 ~ Г ( Т.
Применяя теперь к полученному неравенству лемму 1 из $6, получим Р (Г) (~~АРю+ ВГ) ее', дгх(х, 2) ~гауда следует ограниченность производных " на всем дх отрезке 02~'.,Г:,Т. Теорема доказана. Гл. е системы КВАзилиненных уРАВнении дг» дг д1 + Е» (тз-») д — — О (й = 1, 2). (18) ') Это же свойство слабо-нелинейных сИстем дОкаЗано длн ПроиэвольНОй системы (10.2.1) при гь ам 0 (см. Б. Л. Рождественский, А.
Д. Сидоренко [19б ). 4 [1955). Обгпий интеграл системы (18) был получен в работе Н. Н. Яненко дг Ввиду произвольности Т производные — решения слабодх нелинейной системы (2) остаются ограниченными в любой полосе по переменному 1, в которой выполнены условия теоремы (3), (4). Из доказанной теоремы вытекает Следствие. Задача Коши для слабо-нелинейной системы двух квазилинейных уравнений, гиперболической в узком смысле, разрешима в области определенности О, если решение т(х, 1) остается в ней ограниченным е).
Поясним подробнее это следствие. Для произвольной системы квазилинейных уравнений производные становятся неограниченными даже при ограниченности самого решения. Если рассматривать задачу Коши с начальными условиями, заданными, например, на всей начальной оси 1= О, то для сильно-нелинейной системы производные обращаются в бесконечность при конечном' значении 1р ) О и при 1) 1е не существует решения (классического) такой задачи Коши, Для слабо-нелинейной системы, гиперболической в узком смысле, решение которой остается ограниченным . (например, дг» при — -'С (1, й =1, 2)), производные остаются ограничен! ными при всех 1) О.
Поэтому решение задачи Коши может быть построено в любой конечной полосе О ( г ( Т методом, изложенным в 9 8. Таким образом, для слабо-нелинейной системы существует решение задачи Коши в целом, т. е. при любых конечных значениях переменного 1. Это обстоятельство сближает слабо-нелинейные системы с линейными. С другой стороны, это показывает, что любая особенность начальных данных, будучи сглаженной при 1= О, уже не воспроизводится нри 1) О. Поэтому обобщенные решения слабо- нелинейной системы, гиперболической в узком смысле, могут рассматриваться как пределы гладких решений сразу во всей полуплоскости 1) О, аналогично тому, как это имеет место для линейных уравнений. Рассмотрим в качестве примера слабо-нелинейную систему двух уравнений е*) $10.
ПОВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ РЕШЕНИЯ 93 Здесь )1 = ) 2 = )1 = ) 2 = 0; поэтому формула (13) переходит в равенство 22 (г! (х, 1)) $! (ге (х, 1)) хх(! хо) ( о( х)) ( о( х)) (/ =1 2) дг, и для производной — имеем дх дгх (х, )) дР,, (хох) Е (го1 (хох)) — й1(го (хх)) дх дхо ог(г1 (х, г)) — $1(г (х, г)) Отсюда следует более точная оценка производных решения дге(х, 1) ! М системы (!8)1 ~ ~(Ро —. дх ~ е Отметим интересное следствие формулы (19): если $2(г, (х, ())= дг (х, )) = $1 (г2 (хю 1))~ то д — со, Вам еч ание.
Определение слабо-нелинейных систем квази- линейных уравнений было введено лишь для систем, приводящихся к инвариантам. Это возможно в общем случае лишь при и ( 2 (см, 3 3). Теорема об ограниченности производных тем более была доказана лишь для и = 2. Вопрос о выделении класса систем, которые не приводят к неограниченности производных в случае и '=» 3, остается открытым.
Возможно, что производные решения системы, гиперболической в узком смысле, остаются ограниченными в случае выполнения условий да„(х, 1, и) г" (х,г,и) " ' ' — 0 (а, й=1, ...,и) (20) (см. П. Лакс [!9571). Легко убедиться, что условия (20) и услоВия (1) совпадают в случае существования инвариантов. Если условия (20) выполнены, то легко проверить„что коэффициенты Ух, продолженной системы (4.3.16) — (4.3.19) тождественно обращаются в нуль.
В сочетании с требованием гиперболичности в узком смысле это, возможно, позволит доказать ограниченность производных решения таких систем, как следствие ограниченности самого решения. Другой интересный вопрос, который до сих пор не нашел еще удовлетворительного решения,— выделение класса систем, Решение и(х, !) которых остается ограниченным даже при обращении производных в бесконечность.
Очевидно, здесь интересен лишь случай и ) 3, когда система не имеет инвариантов. 94 ГЛ. !. СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕЯНЫХ УРАВНЕНИЯ ч 11. Замечания по поводу смешанной задачи 1. Постановка смешанной задачи для линейной системы. Рассмотрим типичную смешанную задачу. Найти решение и(х, 1) системы линейных уравнений гиперболического типа, принимающее при 1 = 0 заданные значения и(х, 0)=и'(х), а(х(Ь (1) и удовлетворяющее некоторым граничным условиям с„'(х, 1)и„(х, 1)! =с'и/г,=с,(х, 1) (1 я~1(п,), (2) 4(х, 1)и„(х, 1)/г =сри!г — — А(х, 1) (1(1 -п,), (3) которые задаются на некоторых линиях Г„ГЫ выходящих со- ответственно из концов х=а и х=Ь отрезка (а, Ь] оси 1=0 (рис.
1.11). Будем считать, что кривые Гн Гз обладают непрерывно изменяющейся касательной и !,'(х, 1), $А(х, 1), 1А(х, 1), 1А(х, 1) ее С, в области, ограниченной кривыми Г„Г, и осью 1=0; с,', с, ~С, на кривой Г„ап', 1(,ЕНС, на кривой Г . Пусть выполнены условия согласования начальных усло- вий (1) и краевых условий (2), (3): с'(а, 0)и',(а)=с,(а, 0) (1(1'(п,), 1 с( (Ь, 0) и, (Ь) = с(~ (Ьэ 0) (1 ~(1~(пз).
Если условия (4) не выполнены, то решение и(х, 1) смешан- ной задачи разрывно, и его следует тогда понимать как обоб- щенное решение. Разложим векторы с~, и~ по векторам 1А(х, 1): с (х, 1) — 1А (х, 1)! (х, 1), 1( (х, 1) — т (х, 1) ! (х, 1). Тогда граничные условия (2), (3) перепишутся в виде !Авиа~„=с,(х, 1) (1=1, ..., и,), у,(аиа ~ = с(,. (х, 1) (1= 1, ..., пз), или, в инвариантах, фу / =с,(х, 1) (1=1, ° ° * п~) (б) У~Г ! =11 (х, 1) 11= 1, ° ° 1 2) ° (6) Пусть условия (5)„(6) совместны и линейно независимы, т. е. Ранг матрицы ((!с,',)) равен и,; ранг ((т')) равен и .
$ П, ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ СМЕШАННОН ЗАДАЧИ 95 удовлетворяющее на линии АС условиям г„(х, !)~ — г0(х, !)~ (Ь вЂ” 1, ..., П), а на линии А — условиям (5). Согласно определению области 6а ее граница состоит из отрезков характеристик системы (7). Итак, определение решения в области 6' свелось к определению решения системы (7), принимающего заданные значения на характеристике АС и удовлетворяющего условиям (5) на линии А0 (рис. !.!2).
Ввиду существования решения системы (7) в области 6" значения га(х, !) на линии АС удовлетворяют условиям разрешимости (9 6, п. 2). Таким образом, здесь мы (8) Пусть 6' — область определенности решения задачи Коши с начальным условием (1). Очевидно, что кривые Гь Гт должны лежать вне области 6', так как решение линейной системы уравнений однозначно определяется в области 6' начальным условием (1) и, вообще говоря, не удовлетворяет в ней условиям (5), (6).
Рассмотрим случай, когда кривая х = Х~(!) пересекает Г1 в точке О, а кривая х = Х,(!) (см. $6, п, 3) пересекает Гз в точке Е. Решение и(х,!) однозначно определяется в области 6л и может быть построено в этой области методом последовательных Ю Е приближений (см. $ 7). Поэтому достаточно рассмотреть задачу построения и(х,!) в области АСВ; в области ВСЕ решение строится аналогично. для выяснения условий разре. а Ь' а шимости смешанной задачи су- рис. !.!! шественно знать, какие семейства характеристик х = хл($, О, !), выходящих из точек отрезка [а, Ь1 начальной оси (а < $ < Ь), пересекают дуги АВ и ВЕ кривых Гь Гь Пусть при /г = 1, 2, ..., р характеристики х = хл(9, О,!) для $ ~ [а, Ь) пересекают отрезок АВ кривой Гь а при Ь = а — з+ 1, п — з+ 2, ..., л пересекают отрезок ВЕ кривой Гь Обозначая и'(х, !), гл(х, !) решение задачи Коши с начальным условием (!) в области 6л, приходим к следующей задаче в области АСВ(6'): Найти решение г(х, !) линейной системы — + $А — — д (х, !)+ а (х, !) г, (7) л.
!. системы кВАзилинеиных РРАВнении впервые встретились с задачей, когда начальные значения за- даны на характеристике. Задачу с данными на характеристике называют обычно задачей Гурса, Рассмотрим произвольную точку (х, 1) в области би (рис. 1.12) и проведем через нее все характеристики х = хА(х, 1, т) системы (7). Согласно нашим предположениям, характеристики х = хА(х, 1, т) пересекут кривую АС при. 1 ( й ( р в некоторых точках (хь(х, 1, ть), та), при этом тА = тА(х,1);.=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
