Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 12
Текст из файла (страница 12)
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ ЕЗ 1) для системы квазилинейных уравнений уже нельзя ввести понятие решения в широком смысле ввиду отсутствия ннвариантов; 2) область 6 определенности решения задачи Коши определяется одновременно с решением и(х,() и, вообще говоря, не может быть указана заранее; 3) решение и(х,Т) и его производные не остаются ограниченными. Поэтому в первую очередь мы установим оценки роста решения и его производных и укажем область 6 ~ 6 переменных х, 1, в которой решение и его производные остаются заведомо ограниченными.
Введем область 6»(6) пространства (х, 1, и), заданную условиями: 6,(6) = (а»< х<»Ь<ь О << <Т;, 1! и!~<~6), а» <а, Ь» > Ь. Пусть Е»(х, <, и), $» (х, <, и), <»(х, 1, и) ееС, (6»(6)) при любом 6 > О; и» (х) ен С, (а, Ь). Согласно п. 3 5 4 продолженная систел<а для гиперболической системы квазилинейных уравнений имеет вид дУ» дс- ди» + е» = У»' — = г» д< дк ' д< где У » = У (х, Т, и) + У , (х, <, и) У» + У аз (х. (, и) У<,У<а, Г =Ь'~<(х, <, и)+ Г~(х, <, и) У„, У» = 1~(х, <, и) р„, Величины У», У», У»; г», Р~ выражаются через 1», $», г' и их первые производные.
Поэтому эти величины непрерывны в области 6»(0) при любом 6 > О. Введем обозначения: У»(6)=шпак<<У (х, <, и)<<, У =(У»), о,<и< У <(О) =<пах<<У»(х, 1, и)<<, о,<и< У, (Е/) = шах << У „е (х, 1, и) '<) с, <и< Р» (О) = шах Ц г (х, Т, и) <<, о.<и< Ь'< (6) =шахор,"(х, 1, и) <<<< о,<и< н рассмотрим систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений: д< — — У,(6)+ У,(6)У+ У з(6)У", (2) ф=ра(6)+Р,(6)У, (3) гл.
<. системы квлзилинвиных углвнвнии 64 которую мы будем называть л<ажорантной сисгелои. Обозначим чеРез ио Уо величины д4() 1 и,= шах ))ио(х))), Уо — — <пах !!("(х, О, и'(х)) о<к<Ь а<л<ЬН Для системы уравнений (2), (3) зададим начальные условия: У(О) =У„и(О) = и<я (4) Из сравнения уравнений (!), (2), (3) следует, что если )!и(х, ()!)<и(<), ))У(х, ()))(У((), (5) то ди(х, Н) <! д<)(Н) )( дУЬ(х, Н) дУь(х, Н) ) )~ дУ'(Н) — '+ Так как из (4) следует выполнение (5) при (=О, то при любых ( во ))и(х, <)()(и((), ))У(х, ()))(У(().
Итак, функции и((), У(() мажорируют рост решения и(х, () и его первых производных. ПУсть пРи 0~~(К~(о Решение и(<), У(<) мажоРантной системы, удовлетворяющее начальным условиям (4), остается ограниченным, Тогда заведомо при 0«=(~(о остаются ограниченными решение и(х, <) и его производные р(х, <). Поэтому мы можем определить область 6 ~ 6, задавая ее следующим образом: 6=(0(~(К~(о, Х<(()((х(~Хн(<)), — шах шах Яь(Х<((), (, и)), Х< (0) =а, ь-<, ..., <<мыс<о — гп!п ш!п (Вь(Хн((), Е, и)), Хн(0)=Ь. ь-<, ..., л )<о(<и<н! Решение задачи Коши для системы квазилинейных уравне- ний будем строить в области 6 ~ 6 (рис.
!.4), Для ряда примеров напишем мажорантную систему. !) Лине й н ая систем а. Пусть нь= нь(х, (), $ь=фь(х, и), ( =(ь(х, ()+('ь(х, ()и,. Тогда нз формул п. 3 в 4 следует т,(и)=у-,+ у,и, у.,(ц=у.„у,(ц=о, р,(ц=р,+Р, и, р,(и)=ро где У о, Уо, У <; г'о, Ро, г'< — постоянные, зависящие лишь от области 6 переменных х, й Мажорантная система для системы $8. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 65 линейных уравнений также линейиа. Значит, решение мажорантной системы, а вместе с ним и решение и(х,1) и его производные р(х, т) остаются ограниченнымй в любой конечной части полуплоскости ! ) О. Величина 1е в атом случае произвольна, а область ет совпадает с областью определенности О.
2)Полулинейная систем а. Пусть !е= !',(х, 1), $й = = Ей (х, 1), )й = )й(х, 1, и) . Тогда У й(!т) = О. Мажорантная система (2), (3) принимает вид '„~ =(р-,(и)+ я., (()) я, — '„~ = р, (и) + р, (и) к Рис. 1.4. Отсюда следует, что ве(1) ограничена, если ограничена (т'(!). Это обстоятельство выражает общее свойство решений полулинейной системы: производные решения остаются ограниченными, пока ограничено само решение. 2. Теоремы единственности и существования решения. При сделанных в п.
1 предположениях рассмотрим задачу Коши !" (х, 1, и) ~ „и + $й(х, 1, и) — „~~= 1й (х, 1, и), (1) и(х, 0) =ие(х). (2) Прежде всего докажем теорему един ст вен ноет и. Пусть в области 6 существуют два решения и(х,() и й(х,() задачи Коши (1), (2). Тогда разность о(х, !) = и — й удовлетворяет в области 6 системе линейных уравнений д1 +$А д ~=~а~а (й= 1 ° и) и нулевым начальным условиям о(х, 0)= — О. Здесь введены обозначения: 1„= 1,(х, 1, и(х, 1)), $й=ей(х, 1, и(х, !)), 1 )а = $ ( д (х, 1, й+ Ло (х, Е))— й (3) диз (к, 1) д)йз —,„' (х, 1, й+Ло(х. 1))— дай(к, 1) д дк ди Й ' еьй) (х' 1' и+ Ло) 1 с(л' диа В В, Л, Рождественский, Н, Н, Яненко ГЛ. 1в СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ Величины 1», $», очевидно, непрерывно дифференцируемы в 6, а 7„"непрерывны.
По теореме единственности решения задачи Коши для системы линейных уравнений, установленной в $ 7, получаем, что в 6 о(х,1) О, т. е. и(х,1)— = и(х,(). Теорема единственности доказана. Для доказательства теоремы существо в а н и я применим метод последовательных приближений. Пусть построено (в) (в+1) приближениеи(х, !) Еи Сь Определим и (х, 1) как решение задачи Коши для линейной системы (в+1) (в+! ) д и д и Х' (' И (Х' Г)) [ д! +~~(Х' 1' П(х' !)) д (в) = !» (х, (, и (х, !)), (4) принимающее начальные значения (2): (в+1) и (х, О) =и'(х). (5) Из теоремы существования решения линейной системы уравнений, установленной в $7, вытекает, что в области определенно(в+1) (в+!) сти 6 задачи Коши (4), (5) существует решение и (х, ()ыС„ так что все последовательные приближения определены и (в) непрерывно дифференцируемы в областях 6.
Первый этап будет состоять в доказательстве существования (в) некоторой области 6, принадлежащей всем областям 6, и такой, что последовательные приближения и их первые производные равномерно ограничены в этой области. Обозначим (в) (в ') ди„ (в) У» = !» (х, 1, и ) — ' и выпишем продолженную систему для линейной системы (4). Опа имеет вид (в+! ) (в+!) дав» '*' дК»» — +е»(х, (, и) д =У (х, ", и)+ (в) (в-!) (В (в) И-1) (в+1) +Ф»(х,(,и, и)У +)х'»(х,(,и, и )У + ) (6) (Ф (в-1) (в) (в+!) +У» (х,(,п, )У У, д и» (в+и (в) (в+1) — = Р» (х, (> и) + Ра (х, (в и) У,. $ з. ЕАдАИА коши для системы кВАзилинепных уРАВнений е7 Мы не выписываем здесь явных выражений функций, входящих в эту систему, так как онн получаются совершенно аналогично формулам (4.3.16) — (4.3.19).
Отметим только, что с функциями, входящими в систему (8.1.1), они связаны следующими очевидными формулами: У ~(х, 1, и) = Ф~(х, 1, и, и) + Ч'А (х, 1, и, и), ) (7) У з (х, 1, и) = У ,з (х, Е, и, и). Наряду с системой (6) рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений М~ = У 0((7)+ ФЮ Р+Ф2Щ Р2, ф=-г,(й)+ р,(О) р, (8) где функции У„Ро, Р~ определены в п. 1, а Ф, (О) =Ф'(О)+ Ч (й), Ф'(О)= гпах !)Ф~(х, 1, и, о))(, 2Р2~й 2Р2~й Ч'(О)= шах !!Ч"~(х, 1, и, о)~, !Р2<й 2Р1~й Ф, (О) = гпах !!У,'з,, (х. 1, и, о) ~.
ПР1~й 1Р!!< й Для системы (8) зададим начальные условия: 2 (6) = о'2 (7 (О) = (22 (ср. с условиями (1.4)). Поскольку из (7) вытекает, что У.,(и) =Ф,((7), У.,((7)(Ф,((7), то решение системы (8) мажорирует решение мажорантной си- стемы (8.1.2) — (8.1.3): (7 (!) < О (!), З' (!) = Р (!). следовательно, если область О построена по функции 0(2) так, как в п.
1 была построена по функции 0(2) область б, то Оа О, ГЛ. !. СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 88 (9) Обозначая (з+!) У,+! (() = Епр1и 1~, к из системы (6) имеем „;" ~ ж-,(й)+ О(й) Р+ Р(й) й'„)+ О,(6) Рй'„„ ~~'+' (< Ро(й)+ Р! (й) Р, так что, очевидно, и„, (() ( й (!), й'„! (() ( Р ((). Так как начальное приближение можно выбрать так, чтобы (9) удовлетворялись, то тем самым доказано, что все последователь- ные приближения удовлетворяют неравенствам (9). Отсюда вы- текает существование области 6, принадлежащей как 6, так и (з) всем областям 6, в которой выполнены неравенства (9). Вторым этапом нашего доказательства будет доказательство (з) равномерной сходимости в области 6 последовательности (и), Пусть (з) (з - !) (3) (з - !) го=1 (х, (, и )(и — и ).
Тогда из (4) получаем (з+! ) (з+!) д г (з) д г (з) (з+!) (з) (з) д! +$А(х, (, и) — д=а~ г +ф,, (1О) (з) (я) где функции д», 1А вычисляются по формулам, аналогичным (Ф (з-!) (3). В эти формулы входят и, и и их производные; при этом всюду в 6 в силу (9) 11:~< В, 1~.1< В. Поскольку область определенности системы (10) содержит область 6, то, интегрируя вдоль характеристик, получаем для каждой точки 6 (з+Н Г (3) (я) (з) (з+!) '( г, / < ~ ~ )~г, + д~ г„! (зт, о Предположим теперь, что все последовательные приближе- (А) ния и, й = 1, 2, ..., з удовлетворяют неравенствам (м (А) ))и!)(й(0, !!У!~(Р(1). г 8. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СиотЕМЫ КВАЗИЛИНЕЯНЫХ УРАВНЕНИЯ 69 так что )аз+1 (!) ~~ В ~ Из (т) + Аз+1 (т)) «т, о где (з) гт,(з) = )пах !! г!!.
(г, г)~д, г~! Применяя лемму 1 из 9 6, получаем Зг +1(!) ~~ С ~ )Г, (т) ((т, о или й)8+1(1) К сопз(— (С!) з что и доказывает равномерную сходимость в 6 последователь(з) ности (и). Переходим, наконец, к последнему этапу доказательства. Покажем, что производные последовательных приближений равномерно сходятся в области (гг Очевидно, это равносильно до- РЛ казательству равномерной сходимости последовательности (У).
Мы докажем сначала равностепенную непрерывность этой последовательности по х. Иными словами, мы покажем, что существует функция М(6), М(6)-РО при 6-).0, такая, что всюду в (г и для всех з (з) (з) !!У(х", !) — У(х', 1)!!(~М(6) при !х" — х'|(6. (з) Выше было показано, что последовательность (У) равномерно (з) ограничена. Отсюда следует, что функции и(х, (), а вместе РЛ (з) (4 (г — П е ними н функции $„(х, С и(х, !)), у г(х, С и), (р" (х, (, и, и ), (з) (з — 1) (з) (з — !) Ч'~(х, 1, и, и ), У А (х, С и, и ) (см. систему (6)) равностепенно непрерывны в 6. Кроме того, из равностепенной непрерывности (з) Функций $8 (х, (, и) вытекает аналогичное свойство функций «А" (х, (, т), задающих характеристики системы (6). Поэтому, обозначая (м (8) М (г,'6) =шах епр !!У(х", т) — У(х т)(! 8 Сз )з'-зз)~8 8~1 70 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
