Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(. СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕЯНЫХ УРАВНЕНИЯ и интегрируя уравнения (6) вдоль характеристик, получим 1 М,, (1, 6) ( (1 + 1) А( (6) + С 1 М,~, (т, 6) (1т, 0 где функция А((6) такова, что А((6)-з.О при 6-РО. Применяя лемму ! из $ 6, заключаем, что требуемая функция М(6) суще(м ствует, так что последовательность (У) равностепенно непрерывна. Так как, по известной лемме Арцела, из всякой равномерно ограниченной и равностепенно непрерывной последовательности можно выделить сходящуюся (равномерно) подпоследователь('») ность, то некоторая последовательность(У,), а следовательно ('») также (р,), равномерно сходится в (к к непрерывной функции ра. По известной теореме анализа, зто означает, что функция (и па= !Нп иа непрерывно дифференцируема в (к и даа =Р дк а.
(я Отсюда следует, что последовательность (ра) имеет лишь одну предельну(о точку, а следовательно, последовательность (г) (ра) не только компактная, но и сходящаяся. Тем самым дока(м зательство сходимости последовательности р (следовательно, Ва также и ()) завершено. Переходя в системе (4) к пределу, заключаем, что и есть решение задачи (!), (2). Теорема существования доказана. 3. Некоторые свойства решений задачи Коши для систем квазилинейиых уравнений. Пусть и (к, 1) и й(х,1) — два решения задачи Коши для системы квазилинейных уравнений, соответствующие входным данным 14, $», 14, й; 14, $4, 14, й'.
Будем предполагать, что входные данные этих двух задач Коши удовлетворяют условиям п. 2, т. е. непрерывно дифференцируемы. В пересечении (к областей определенности решений и(х,1) и й(х,1) разность о(х,1) = и(х, 1) — й(к,1) удовлетворяет системе линейных уравнений ~д(+~» дк1 ~а а»' где у», А1» ограничены и непрерывны в (! и Л14 стремятся к нулю, когда 1», $„, 1 -+ 14 $, 1 . $ к зАдАчА коши пля системы кВАзилинеиных уРАВнений т! Как мы видели в $7, решения систем линейных уравнений непрерывным образом зависят от входных данных задачи Коши. Поэтому отсюда следует, что в 6 п(х, ~)~0, когда 8~=8.
4, $„=~- $8, (А =>-(» и о (х, 0) = и'(х) — й' (х) =» О. Здесь, однако, нужно сделать разъяснение. Существенно, что входные данные каждой задачи Коши имеют ограниченные производные. В отличие от случая полулинейной системы, полоса 0 ( ( ~ ~ 1„в которой решение и(х, 1) (и его производные) остается ограниченным, зависит от производных начальных функций и йиа ~а-» О, если )! — „е ~ — » со. Поэтому непрерывная зависимость решений задачи Коши для системы квазилинейных уравнений имеет место лишь в классе входных данных с равномерно ограниченными производными. Если по-прежнему символически записать процедуру решения задачи Коши в виде равенства и(х, 1)=Зиа(х), то нелинейный оператор 5 определяет решение и(х, т) лишь в области 6 полуплоскости а ) О.
Ширина полосы 0 =. 1 ( 18, в пиа которой заключена область б, зависит от производных — и йх 8 йиа стремится к нулю при ~ — ~-» со. ~ йх Поэтому оператор Я, в отличие от случая линейной системы, не допускает расширения на класс непрерывных начальных функций иа(х). По этой причине обобщенное решение системы квазилинейных уравнений не может быть определено формально с помощью расширения пространства классических решений. Понятие обобщенного решения системы квазилинейных уравнений должно быть, таким образом, введено независимо от понятия решения этой системы.
Подробно обобщенные решения будут изучены в главе 4. Отметим небольшое расширение класса входных данных, для которых из изложенного выше следует существование решения задачи Коши. Функцию $8(х, а, и) называют липшиц-непрерывной в области 68(У) по совокупности переменных х, т, и, если существует константа С ) 0 такая, что ~ й (х, (, и) — $ (х, (, и) ! ( С ( ! х — х1+ ! а — ~ ! + ~! й — и ф для любых (х, (, й), (х, а, и) ен 08((У). Если рассматривать класс липшиц-непрерывных входных данных, характеризуемый константой Липшица К, то он может тя ГЛ.
Ь СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕПНЫХ УРАВНЕНИИ рассматриваться как замыкание класса входных данных с равномерно ограниченными той же константой К первыми производными. Поэтому решение задачи Коши с липшиц-непрерывными входными данными можно рассматривать как предел классических решений и(х, г)ен Сь поскольку последние образуют семейство с равномерно ограниченными первыми производными. Разумеется, этот предел уже не является решением задачи Коши в обычном смысле, так как не обладает непрерывными первыми производными. Однако он является липшиц-непрерывной функцией переменных х, ! и обладает производными почти всюду в области б. Эти производные почти всюду в 6 удовлетворяют системе квазилинейных уравнений. Класс липшиц-непрерывных решений и(х, !) задачи Коши представляет собой пример формального расширения оператора 5, определенного в классе Сь на класс липшиц-непрерывных входных данных.
Однако уже это небольшое расширение класса классических решений содержит интересные решения, которые широко изучаются. Примером таких решений являются решения с так называемыми слабыми разрывами, когда само решение непрерывно, а его производные, оставаясь ограниченными, терпят разрыв (см. $10, и, 1).
9 9. Задача Коши для одного уравнения !. Одно квазилинейное уравнение. Результаты 5 8, безусловно, относятся к случаю одного квазилинейного уравнения. Однако они являются слишком общими в применении к этому случаю, в котором имеются важные упрощающие детали. Поэтому подробнее рассмотрим задачу Коши для одного квазилинейного уравнения Ы Ш + е(»' !' и) дх = 1 (х 1, и) с начальным условием и(х, О) =ив(х), а(х(Ь. Интегрирование уравнения (!) сводится к решению системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений дх = 1 (л, 1, (!), — ",,' = 1 (х, 1, (у), (3) которую называют характеристической системой уравнения (1). Каждое решение х = Х(!), и = О(!) задает характеристику в пространстве переменных х, 1, и.
$ О, ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ предположим, что функции я, 7 непрерывно дифференцируемы. Тогда через любую точку (х„(о, ио) проходит одна и только одна характеристика. Задача Коши (!), (2) геометрически интерпретируется как задача построения интегральной поверхности уравнения (1), проходящей через заданную начальную кривую: ! = О, и = = ио(х). Так как при этом мы хотим получить однозначную дифференцируемую функцию и(х,() переменных х, 1, эта поверхность, очевидно, должна однозначно проектироваться на плоскость и = 0 переменных х, д Поскольку решение и однозначно определяется вдоль каждой характеристики, проходящей через точку (хм !о, иа), эта задача состоит в построении поверхности, состоящей из характеристик, проведенных через данную начальную кривую, и однозначно проектирующейся на плоскость и = О.
Обозначим через Х = Х(1, х„ио), (7 = (7(1, хо, иа) решение характеристической системы (3), удовлетворяющее начальным условиям Х(0, ха, иа)=х„(7(0, х„ио)=ио. (4) Тогда решение и(х, () задачи Коши (1), (2) задается формулой и(Х(!, хо, иа(хо)), !) = (7(!, хо, ио(хо)). (5) Формула (5) неявным образом определяет функцию и(х, !), которая в случае иа(х)~ С, непрерывно дифференцируема во всех точках х, 1, в которых однозначно разрешается относительно параметра х, уравнение х=Х(1, ха иа(хо)) (6) и остается ограниченной правая часть уравнения (5). Пусть в этих точках х,=Х '(1, х) =х,(х, !) (7) есть результат разрешения уравнения (6) относительно х,. Тогда из формулы (5) получаем явную формулу для решения и(х, !) задачи (1), (2): и(х, () = (7(Е, х, (х, !), и, (хо (х, !))).
(8) Поясним графически построение решения задачи Коши (1), (2). Через любую точку х, ен (а, 5) проведем проекцию характеристики (4) на плоскость и = 0 (плоскость (х, !) ), полагая ио = иа(х,) (рис. 1.5). Эту проекцию (6) мы также будем называть характеристикой. На характеристике (6) задана непрерывно дифференцируемая функция (7(1, хъ и,(х,) ) переменного $, которая и дает решеeие и(х,!) на линии х = Х(1,ха, ио(хо)) ° ГЛ. Ь СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ 74 (9) так как Х(0, хо ио(хс)) =хо и Х(0, хс ис(х,))=1 (10) Обозначая ()= ' д" ' ' ((7(0, х„ио(хо)) = ис(х,)) (11) и дифференцируя уравнения (3), получим (12) где для краткости опущены аргументы у всех величин.
Итак, Х, () удовлетворяют системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (12) и начальным условиям (!0), (11). Отсюда ясно, что при достаточно малых (о неравенство (9) будет иметь место. Итак, существует !а > 0 такое, что при 0 ( ! ( (о формулы (7), (8) определяют функцию и(х, !) ~ Сь удовлетворяющую уравнению (1) и начальному условию (2). Задача Коши (!), (2) предполагает, как мы уже отмечали, существование однозначной функции и(х, () ~ Са переменных х, 1, удовлетворяющей уравнению (1) в начальному условию (2).
В то же время более общая задача определения интегральной поверхности 3, проходящей через начальную кривую, вовсе ИЕ Может случиться, что в некоторых точках (х,!) при о ) 0 могут пересечься две или более линий х = Х((,ха, ио(хс)), отвечающих различным значениям параметра х, (рис. 1.5). В этих точках уравнение (6) относительно х, имеет более одного реше- ния и формулы (5), (8) опре- О деляют некоторую многозначную функцию переменных х, й В этом случае не существует непрерывного решения и(х, !) задачи (1), (2).
Покажем, что при 0 ( ! ( ( !о при достаточно малых (с ) 0 через любую точку (х,!)ее 6 проходит единствен~о ная характеристика (6), т. е. Рис. !: уравнение (6) имеет единствен- ное решение относительно х,. Для обоснования возможности однозначной разрешимости уравнения (6) относительно х, достаточно показать, что дх (Е хъ иа (хо)) о дхо з о. 3АдАчА коши для одного тнхвнвния предполагает, что эта поверхность однозначно проектируется на плоскость переменных х, Г, и может иметь и, как правило, имеет решение в большей области переменных х, 1, чем задача Коши (1), (2). Будем, например, искать уравнение поверхности 5 в виде ф(х, 1, и) =О. (13) д', +их «) Я+их и)+=О, (16) которое является линейным дифференциальным уравнением первого порядка для функции ф, зависящей от трех независимых переменных (х,(,и). Поверхность 5 определена уравнениями (13), (14) однозначно для любых хм 1, при которых Х, 0 конечны, и является гладкой поверхностью (ф ен С~), если ио (х) е= Сь $, ген Сь Из уравнения (13) определяется функция и(х,() ен Сь дающая решение задачи (1), (2) лишь в области значений х, 1, в которой уравнение (6) однозначно разрешается относительно хо.
Таким образом, разница в постановках задачи Коши (1), (2) и задачи определения поверхности 5 состоит в том, что в первом случае ищется интегральная поверхность и = и(х,1), однозначно проектирующаяся на плоскость и = О„во втором — зта поверхность может быть произвольной. При достаточно малых значениях 1о в случае ио(х)ен С~ обе эти задачи Коши эквивалентны; в целом (т. е, при любых г ) 0) геометрическая постановка задачи Коши более общая и допускает решение и тогда, когда задача (1), (2) неразрешима. Если предполоязить, что функция и(х, г) описывает какую- либо физическую величину в пространстве переменных х, 1, то естественно, что эта величина должна быть однозначной функцией х, 1. Поэтому задачи физики, приводящнеся к задаче Коши (1), (2), требуют определения однозначной функции и = и(х, 1). Как мы видели, задача Коши (1), (2) разрешима в такой постановке в классе непрерывных решений и(х, г) ~ С лишь в достаточно малой полосе 0 < г < го На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
