Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Аналогично характеристики х = хз пересекают кривую АР в точках (хА(х,г, тА), ть) при Й ) -. р+! и та — — тА(х,1) ( й Краевые условия (5) будем рту называть корректными, если: .Р 1) число и! краевых условий и (5) равно числу д = и — р характеристик х = ха(х, 1, т), парие 1.!2.
дающих из произвольной точки (х,()ен 6! на линию Аб; 2) условия (5) могут быть однозначно разрешены относи- тельно величин гА(х, !) при Й =» р+!. Пусть эти условия выполнены, т. е. и,.= д = и — р и при (х, 1) ее Ай 1А! ! ~Р.Р! '' !АРРд° ° ° ~ О. !Ар+! ' ' ' Ри !)е( Тогда условия (5) можно переписать в виде г, (х, 1) ~ — с, (х, 1) + ~ 1!' (х, 1) г (х, !) ~ (!=р+ 1, р+ 2, ..., р+ у=п). В дальнейшем будем отбрасывать черту над с„р,'.
Решение г(х, 1) удовлетворяет в 6! уравнениям г (х, 1) =г'(ха(х, 1, та), т )+ + ~ (ца(х (х, 1, т), т)+й~(хА(х, 1, т), т)г„(ха(х, 1, т),т))с(т са!к, а (й ~р), о 1!. ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ СМЕШАННОИ ЗАДАЧИ 97 г (х, () = са (ха (х, 1, та), та) + Р + ~ ))~(х (х, (, т ), т ) г,(ха (х, 1, т ), т )+ а 1 + ~ (й (ха (х, (, '!), т) + д (ха (х, (, т), т) 1 (ха (х, т, т), тИ ((т ха(х, !1 (й '= р + ! ). Будем искать решение г(х, 7) методом последовательных приближений: (х+1) га(х, 7)=гоа(х (х, (, та), т )+ (х) + ~ (а'(, )+аа.(, ) а(, )) ( (й(р), ха(х, !) (х+1) Г (х! '.
(., о=( .а. 7)+ Е Р о, о а ч)1 а 1 ха(х, 1, ха) ч 'а (х) + ~ (оа(х,т)+йа(х, т)га(х, т)) ((т (й)р+ )), ха(х, !) выбрав подходящее начальное приближение, обладающее непрерывными первыми производными в области 61. Если обозначить (х) (х) (х-1) У())=шах шах )гаД, т) — га (й, т)), а-1" а то аналогично $ 7 получим оценку ! У (7) ~ В ~ У (т) ()т + рп)) ~ У (т) ((т = (В + рпр) ~ У (т) ()т. о о о Здесь мы считаем, что в О' В)папуа(х, 1)~, ))~~~))а(х, 7))~ Из полученной оценки вытекает равномерная сходимость (х) в области 6 1 последовательности (г (х, ф к решению г (х, 71 смешанной задачи. гл.
ь систвмы квхзилинвнных уРАВнений и краевые условия (1=1, ..., п1), (1= 1, °... пз) с,(х, 1, и) 1г =0 (2) А(х, 1, и) ~г,=О (3) Будем предполагать, что коэффициенты системы удовлетворяют требованиям, которые накладывались в 2 8 при доказательстве теоремы существования решения задачи Коши. Решение г(х, 1) (и(х, 1)), построенное в области 6', обладает в ней всеми свойствами решения задачи Коши, перечисленными в $7; оно непрерывно дифференцируемо и непрерывным образом зависит от входных данных смешанной задачи, в том числе и от кривой Гь если она удовлетворяет свойствам 1), 2).
Отметим, однако, что линия АС, вообще говоря, является линией разрыва производных решения смешанной задачи, Для того чтобы решение смешанной задачи имело непрерывные первые производные в области 6'+ 6', необходимо, чтобы начальные и краевые устовия удовлетворяли условиям согласования для производных. Эти условия будут получены ниже для более общего случая. 21 Выше для простоты было пред/ положено, что при фиксированном м й все характеристики Ьго семей- T ства х = хь(х, 1, т), проходящие чег рез любую точку (х,1) ~ 6', пересев кают при т (1 либо только линию АС, либо только линию АВ.
Может, конечно, случиться, что а это не так. Рис. 1.13. Пусть, например, через точку А проходит характеристика х = хь(а, О, т), разбивающая область 6' на две части (рис. 1.13). В этом случае решение строится аналогично предыдущему, с очевидными изменениями. Отметим, что эта характеристика также будет линией разрыва первых производных. Вообще производные решения г(х, 1) терпят разрыв на характеристиках, выходящих из точки А, если только в этой точке не выполнены условия согласования производных, 2.
Корректность краевых условий для системы квизилинейных уравнений. Для системы квазилинейных уравнений гиперболического типа поставим начальные и(х, 0) =и~(х) (1) $11. ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 99 Пусть ис(х) еи С1, кривые Г„ГЯ вЂ” некоторые кривые с непрерывной касательной, лежащие в полуплоскости 1) 0 и проходящие соответственно через точки (а, 0), (Ь, 0), а с1(х, й и), 4(х, 1, и) — непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов. Будем говорить, что в точке (а, 0) выполнены условия согласования (условия непрерывности решения), если с1(а, О, и'(а))=0 (1=1, ..., и,). Установим условия согласования производных в точке (а, 0). Пусть х = Х(1) — уравнение кривой Гь Предположим существование решения и(х, 1) еи С1 системы квазилинейных уравнений, удовлетворяющего условиям (1), (2).
Дифференцируя краевые условия (2) по переменному 1' на линии х = Х(1), получим дс, дс1 дс1 (ди+Х (1)ри)+ д1 + д Х (1)=0 (1=1, ..., п1). диа диа Производные р,= †„ при 1= 0 определяются из начальных условий (!), а поэтому из системы уравнений 1.'(д.
+ ЕАР.1 = 1, могут быть определены производные д,= — на начальной диа а дг оси 1= О: д (х, 0) = — Л~ф,1'рз(х, 0)+ Л)),= д'(х), да~и(к) р (х, 0) = р', (х) = —. дк В этих формулах величины Л~, 9,, 1', 1 — известные функции переменного х, например: Л,=Л„(х, О, й(х)) и т. д. Будем говорить, что в точке А(а, 0) кривой Г, выполнены условия согласования производнь1х, если дс д ' (д',(а)+ Х'(0) р~(а))+с,',+ Х'(0)с'1,=0 (1=1, ..., П1). дс дс дс при этом функции — ', — ', — ' берутся в точке (а, 0), надии' дг ' дк дс1 дс пример, — = — '(а, О, и'(а)). дии диа Предполагая по-прежнему существование решения и(х, 1)ы ~ С1 смешанной задачи, установим требования, которым должны удовлетворять краевые условия. Вообще говоря, вывод 100 Гл, е системы КВАзилинейных уРАВнении о том, что кривые Гь Г, должны лежать вне области определенности 6» решения задачи Коши, для существенно нелинейных уравнений ~ — Ф О) неверен.
Существуют корректно постав/д$» 1,ди ленные смешанные задачи, когда кривые Гь Г» могут находиться в области 64. Примером такой задачи является задача о поршне в газовой динамике (см. гл. 2, $ 3). Однако решения этих задач разрывны. Ограничиваясь рассмотрением классических решений, мы сейчас исключим этот случай, предположив, что Гь Гз лежат вие 6'. Обозначим 1,(х, 1)=1,(х, 1, и(х, 1)), $» = а» (х, Г, и (х, 1)) и т.
д. и будем рассматривать нашу задачу как смешанную задачу для линейной системы 1:~'д, +~» ~';1=~» при начальных и краевых условиях (1) — (3), Функции г =1,'и, » а а удовлетворяют линейной системе уравнений дт дг д, +~» дх =й'(' )+йа(. ) а. Рассмотрим область 6' (рис. 1.14), и пусть точка (Х(1), 1) лежит на линии Гь Характеристику х = х»(Х(г), 1, т) будем называть приходящей в точку (Х(1),1) линии Г|, если она лежит в области 6' при т ~ 1, и выходящей, если она лежит в области 6' при т) й На рис.
1.14 ММ' — приходящая характеристика, ММ" — выходящая. Пусть в каждой точке Г~ характеристики х = х» при й = 1, 2, ..., р являются приходящими, а при Й = р+ 1, ... ..., и — выходящими. Аналогично случаю линейной системы потребуем, чтобы: Риа 1.14. 1) число условий (2) было равно в = =и — р, 2) уравнения (2) однозначно разрешались относительно величин гр+~ Рр+м ., г„при известных гь гз,..., гр.
Если (2) переписать в виде с,(х,(,Х»г)=0 (1=1, 2, ..., п,=п), ф П. ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ СМЕШАНИОИ ЗАДАЧИ 1О! то условие 2) будет выполнено, если гг дс~ Ре! ~~ — ХА() Ф 0 (1 = 1, ..., д; й = р + 1, ..., п = р + а), ~"а (х, 1)яГ,. Заметим, однако, что проверить корректность краевых условий для системы нелинейных уравнений бывает очень трудно, так как условия !), 2) зависят от решения и(х, 1), которое нам неизвестно. Тем не менее при решении смешанной задачи можно поступать следующим образом, На достаточно малом отрезке кривой Гь примыкающем к точке А, решение и(х, () (если оно существует) будет достаточно близким к значению ис(а).
Это дает возможность проверки условий корректности постановки смешанной за- Р д' с' с сс дачи при достаточно малых значениях -Ы а х переменного 1. Если они выполнены, то решим задачу для этого малого интер- Рис. 1.15. вала и будем рассматривать значения решения и(х,() на конце интервала как новые начальные значения.
Таким путем мы сможем построить решение смешанной задачи во всей области переменных х, 1, где оно существует. Рассмотрим пример. Для системы двух квазилинейных уравнений поставлены начальные г,(х, 0)=гс=сопз1, !х! «а н граничные с(1, г~ ( — а, 1), гг( — а, 1)) = О, й(1, г, (а, 1), г,(а, 1)) = 0 условия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
