Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 14
Текст из файла (страница 14)
1.6 изображен типичный вид поверхности 5. На этом Рисунке видно, что ~ ( ' 1 ~- оо в тех точках (х,1), вблизи ди (х, 1) дх Любая характеристика (4) уравнения (1) должна лежать на поверхности 5, поэтому ф(Х, 1, У)=0. (14) Дифференцируя (14) по переменному 1 и учитывая (3), получим уравнение 76 Гл, е системы кВАзнлиненных уРАВнений которых поверхность 5 неоднозначно проектируется на плоскость переменных (х, 1). Поясним сказанное на примере простейшего квазилинейного уравнения ди ди — +и — =О, д1 дх (16) для которого поставим начальное условие и = аа+ !6 при х(а, и(х, О)=ио(х)= ах+8 при а(~х(~Ь, (17) и+ = аЬ+ 6 при х) )Ь.
а Рео 1.7. Рис. 1.6. решение задачи (!6), (17), удовлетворяющее уравнению (16) в широком смысле в точках, в которых не существуют производди ди ные —, —. д1 ' дк ' Характеристическая система (3) уравнения (16) имеет решение Х (1, хо ио) = хо+ ио1, 0 (1, хо ио) = ио (18) которое остается ограниченным при любых значениях 1,х„и,. Пусть и) О. Проекции характеристик (18) на плоскость и = О имеют вид, изображенный на рис. 1.7. В этом случае через каждую точку (х,1) полуплоскости 1) О проходит единственная характеристика х= Х(1,хо, и,(хо)), т. е. уравнение (6) имеет единственное решение относительно хо.
Функция и(х,1) постоянна вдоль характеристик (6), поэтому в зоне 7, т. е. при х( <.-. а+ и-1, и(х, 1)=и =аа+р, в зоне 1П, при х) Ь+ и+1, и(х, 1) =и+=аЬ+(1. Начальная функция ио(х) непрерывна при — оо (х оо; производная ио(х) терпит разрыв в точках х = а, х = Ь. Построим $ О. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ По формуле (8) определяем решение и(х, 1) в зоне П: и(х, 1)=ио(хо(х, 1))=п 1+а! +6 1+ 1 Итак, решение задачи Коши (16), (17) при а)О задается фор- мулой и =па+р при хя а+и 1, при а+и 1(х(Ь+ и+В (19) и+=аЬ+ р при х) Ь+ и+6 и(х, 1)= Решение (19) непрерывно дифференцируемо при 1) О всюду, кроме линий х = а+ и-1, х = Ь+ и+6 где терпят разрыв пер- вые производные.
Рис. 1.а. В пространстве переменных х, 6 и решение (19) определяет интегральную поверхность 5, изображенную на рис. 1.8. Эта поверхность однозначно проектируется на плоскость и = О при 1) О. В случае и < О и ) и+ и картина характеристик в проекпии на плоскость (х, 1) имеет вид, изображенный на рис. 1.9. Все характеристики (6) при а (хо ( Ь сходятся в точке х= =х,= — —, 1=1о = — >О.
В зоне 7 и(х 1) и-, в зоне П о а Ф В зоне П, при а+ и 1(х ( Ь+ и+1, уравнение (6) разрешается относительно х,: х- В1 хо= 1+ 78 ГЛ. Е СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИЙ и(х,1) = и+. В зоне 111 и(х, 1) =, однако так как и ( О, 1 + о1 то зта формула не определяет решения и(х, 1) при 1 а ' Наконец, в зоне 1У, функция с1 (1, х (х, 1), ис(хс (х, 1))) трехзначна и принимает значения; и1(х, 1)=и, ип(х, 1)= "+, игн(х, 1)=и . ах+ й Итак, в случае а ( 0 непрерывное решение и(х, 1) задачи Коши 1 (16), (17) существует лишь при 1 < — —, а интегральная поверхность 5 определена при всех 1) 0 (рис. 1.10); однако при Рис 1.9. Рис. 1.10.
1 1 ) — — она не проектируется однозначно на плоскость а и = О. 2. Одно нелинейное уравнение. Задача Коши для нелинейного уравнения дс д1+~Р(х, 1, о,с')=О, д ' о(х, 0) = оо(х) (() в случае ~р~ Сз, о,(х) ~Си сводится после дифференцирования по х уравнения (() к задаче Коши для системы двух квазилииейных уравнений э о. зхдхчх коши для одного тяхвивиия с начальными условиями о (х, 0) = о,(х), в(х, 0) = о,'(х). Последнее условие (в(х, 0) = о'(х)) гарантирует, что при любом 1, при котором существует решение системы (2), будет выполнено условие в(х, т) = дк будет приведено в следующем пункте для этим, перепишем систему (2) в виде Доказательство этого более общего случая.
Воспользовавшись д1 +ро дк р+ри до , до Р (3) дв , дв / — +т — = — % ° в — Ч. до одк о к (4) ния (1): «х,р (х! У а) «; = ар„'(х, 1, У, а) — р (х, ~, У, а), «" = — ар'„(х, 1, У, а) — р', (х, 1, У, а), известно ее решение Х=Х(1, х„оо, ао), У = У(1 хо оо ао) а= а(Г хо оо во) удовлетворяющее начальным условиям Х (О, хо. оо во) = хо, У (О, хо оо ао) = оо* а (О хо оо ао) = ао. (6) то решение о(х, 1) ен С, задачи Коши (1) задается формулой о ~Х (т хо оо(хо) «„а ), 1) =У (1, хо. оо(хо) «„а ) ° (т) Система уравнений (3), (4) характерна тем, что в каждом из уравнений функции о и в дифференцируются в одном и том «к же направлении, т.
е. характеристическое направление — = ~р„ И о для этой системы является двукратным. Системы подобного типа называются системами с одинаковой главной частью. Эти обстоятельства позволяют свести поставленную задачу к интегрированию системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений.
В самом деле, если для характеристической системы уравне- во Гл ь систгмы КВАзилинеяных уРАВнения которая параметрически определяет функцию о(х, 1). Если хз = = х,(х, г) есть результат однозначного разрешения уравнения х= Х(Г, хв оз(хе), — „'( ' ) (8) относительно параметра х„то из (7) следует явная формула для решения о(х, г) задачи Коши (1): о (х, 1) = У(Г„хз(х, Г), оз(хз(х, 1)), ор(хз(х, 1))).
(9) д, +у(х, 1, о, в)=0, дь о(х, О) = о'(х), (1) (2) (3) будем предполагать, что у ен См о' е Сь Тогда, согласно п. 3 $ 2, функции о, в являются решением системы д, — — — ф (х, г, о, в), д, + А (х, г, о, в) д — — 7 (4) до дв дв (см. $3, п. 2), где матрица А = — = ~~ — д. Если для си- стемы (4) мы поставим начальные условия о (х, О) = па (х), в (х, О) = вз (х) = — „„" то вопрос о том, является ли функция о(х, Г), определенная в результате решения задачи Коши (4), (5), решением исходной задачи (!), (2), есть вопрос о выполнении равенства (3) при любых (х,1)~ О. Формула (9) определяет однозначную функцию о(х, 1) ен Сз лишь в тех точках (х, 1), в которых уравнение (8) однозначно разрешимо относительно х,.
Решение задачи Коши (1) получено нами лишь для случая оз(х) ен Сз, Простые примеры показывают, что если о'(х) лишь непрерывна, то, вообще говоря, не существует решения о(х, Г) ен ен С1 задачи (1). Постановка задачи Коши (1) в случае начальных функций оз(х) ен С~ нуждается в уточнении, 3. Гиперболическая система нелинейных уравнений. В случае задачи Коши для системы нелинейных уравнений гиперболического типа 81 $ !О.
ПОВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ РЕШЕНИЯ Дифференцируя первую группу уравнений (4) по х, вычитая из полученных результатов вторую группу уравнений (4) и учитывая, что 1= — <р'„— +а (см. формулу (2.3.7)), найдем (! =1, ...„и) (6) и, согласно (5), ди, — (х, О) = а, (х, О). (7) На основании следствия из леммы 1 (п.
5 $ 6), из (6) и (7) следует, что до~ — (х, !) = — а, (х, !), (8) т. е. равенство (3) выполнено тождественно. Так как существование решения системы квазилинейных уравнений доказано нами лишь в классе Сь то для систем нелинейных уравнений гиперболического типа построенные решения принадлежат классу Сь й 10. Поведение производных решения системы квазилинейных уравнений 1. Слабый разрыв, Транспортное уравнение.
В Я 7, 8 было построено решение задачи Коши для системы квазилинейных уравнений, обладающее непрерывными первыми производными. Рассматривая липшиц-непрерывные начальные данные, мы пришли к некоторому обобщению классических решений — к липшиц-непрерывным решениям задачи Коши, обладающим первыми производными почти всюду в области определения. Рассмотрим более частный класс обобщенных решений и(х, !) системы квазилинейных уравнений — класс непрерывных, обладающих кусочно-непрерывными первыми производными, функций и(х, !). Допустим, что вектор-функция и(х, !) непрерывна и обладает непрерывными первыми производными всюду, кроме некоторых кусочно-дифференцируемых линий, на которых первые производные р, д терпят разрыв первого рода; допустим, что вне линий разрыва первых производных и(х, !) удовлетворяет системе квазилинейных уравнений ~1 д~ дк] (1) где 1, (х, 1, и), $ь (х, 1, и), ~ь (х, 1, и) ~ С,.
Пусть х= х(!) — уравнение линии разрыва первых производных функции и (х, !)! 82 Гл. е системы квлзилинеиных уРАВнений обозначим р» = р»е(х(Г), Г) =р»(х(Г) ~0, Г)= — (х(1)~ О, !), ди о»» — о»»» (х (1), 1) — о» (х (1) -+ О, 1) — — (х (Г) ~ О, Г). Если р+Фр, но решение и(х, Г) непрерывно на линии х= = х(~), то такую особенность решения называют слабым разрывом, а линию х = х(Г) — линией слабого разрыва. Из условия непрерывности и(х, Г) на линии слабого разрыва х = х(Г) следует х'(1) р + о =х'(1) р++д+, т. е. [о] х' (Г) = — [о], [р]=р+ — р [о]=о+ — о . (2) где По предположению, функция и(х, Г) слева и справа от линии х = х(Г) удовлетворяет системе (1); поэтому в точках этой ли- нии где ~» ара Исключая отсюда с помощью (2) (д+ — о-), получим [$, — х' (г)] [У»] = [»» — х'(г)] (У»а — У» ) = 0 (й = 1, ..., и).
(4) Обозначим У'» — ~» = Р'»1 = Т1». Если х'(Г) ~~» при всех й=1, ..., п, то У»~=б»». Ввиду линейной независимости собственных векторов 1», в этом случае р, =р~+ при всех 1=1, ..., и, т. е. разрыв производных отсутствует. Поэтому х'(г) =а,(х(1), 1, и(х(1), 1)). (б) Это уравнение означает, что линия слабого разрыва х = х(1) является характеристикой системы (1). Этот вывод, естественно, согласуется с определением характеристики как линии, че- 1 (и++Ълр+)=[ 1 (й +»ь»р )=Ь (3) (величины 1», $», [» непрерывны на линии х=х(Г)). Вычитая из первой группы уравнений (3) вторую, получим 1".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
