Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Так как х» (х, Г, т) = х» (хм Г„т), если точка (хм 1») лежит на этой характеристике, то равенства (8) можно переписать в виде г» (х» (хм гм 1), !) =г~(х„(хм (м 0))+ ~ Д (х»(хм Гм т)в т) ((т+ о + ~ к!в(х»(хо ~!) т)' т)г!в(х»(хо ~о т) т)((т (11) о Из непрерывности подынтегральных функций следует непре- рывная дифференцируемость правой части (11) по переменному !. Следовательно, г»(х, 1) непрерывно диффереицируема вдоль характеристики х = х», при этом выполнено равенство (5). Та- ким образом, г»(х,)) — решение задачи (2), (4) в широком смыс- ле. По формулам (3.1.4) может быть получено решение и(х,() задачи (1), (3). В случае полулинейной системы последовательные прибли- жения задаются аналогично (9): (!+1! (о) ! (в) г» (х, 1) =г»(х, !)+ $ д»(х»(х, 1, т), т) г(х»(х, 1, т), т) ((т, о и равномерно сходятся в подобласти 61, области 6, в которой они равномерно ограничены. Таким образом, построение решения в широком смысле для полулинейной системы отличается от линейного случая лишь тем, что в качестве области сходимости последовательных при- ближений выступает область б,„в которой решение полулиней- ной системы остается ограниченным.
Рассмотрение вопроса об ограниченности решения мы отложим до 5 8. 5 е 3АдАчА кОши для линеинои и полклинеинои систем зэ 2. Существование классического решения задачи Коши для линейной системы. Пусть система (7.1.1) линейна: () (х, 1, и) = =Ь) (х,1)+ В(х,1)и. Тогда в системе (7.1,2) до (х, 1, г) = яо(х, 1) + д" (х, 1) г„ причем до (х, 1) = 1ойн а Г д(й д1ао ) д~(х, 1)=уо(х, 1)+1 — +$А — )Х~(х, 1), (1) где ух=1'В ).о (см. формулы (3.1.2)). Предположим, что 1А, $А, В, ~С( в 6. Тогда, очевидно, и Я, у,'еиС) в 6.
Пусть также и'(х) ~С(, г (х)~СИ Покажем, что построенное выше решение является при этих предположениях непрерывно дифференцируемым в 6 и, следовательно, дает решение задачи (7.1.2), (7.1.4) в обычном смысле В случае (1) формула (7.1.9) принимает вид е+и (о) Г (и г (х, 1) — г (х, 1)+ уо(х (х, 1, т), т) г (х (х, 1, т), т) (1т+ о + $~ — Я(хо (х, 1, т), т))Аа(хо(х, 1, т), т) г (х (х, 1, т), т)(1т. (2) о Очевидно, что из сделанных предположений вытекает непрерывная дифференцируемость в 6 первых двух членов правой части (2), если в 6 непрерывно дифференцируемо приближение (о г (х, 1). Что касается последнего члена формулы (2), то он так(а) же непрерывно дифференцируем в 6, если г(х, 1)е="Сн Это следует из леммы 2 $ 6.
Дифференцируя (2) по переменному х (последний член — по формуле (6.5.3) ), получим (х+ () (о) (о) дго дг Г дх (х, 1, т) Гдух (х) дг 1 дх дх з дх ~. дх а а дх 1 о д (о) +~ — 1(,(,, ), )~ Д(,) (,)— (о дх а ( (х 1 т) т)) Х (х (х, 1, О), О) г (хо (х, 1, О), О) + +)(Йч(*(*' ') ')).(",(*' ') ')Цй~я(*,(*' ') ))— о — — ~Ла(хо(х, 1, т), т)г (х (х,1, т), т)~~ — 1„"(х (х, 1, т), т)]~(1т. Гл. ). системы кВАзилинепных уРАВнений 60 Отсюда следует, что ! (у+и (о ~ — — — "А' (х, 1) 1 г (х, 1) — г (х, 1) 1+ 1(8) ( -ПИ Г 1 (8) (8-0 ~ + $ Ат(х, 1, т)шах)) г — г )(((т+ ~ Аз(х, 1, т) гпах~ — — — ~((т, а дх дх О о т а функции А', А', А' непрерывны и ограничены в 6. (8) Так как последовательность (г (х, 1)) сходится в 6, а величины А', Аз, А' ограничены в 6, то аналогично предыдущему доказывается равномерная сходимость в 6 последовательности (8) Значит, построенное выше решение в широком смысле дг ) дх А' непрерывно дифференцируемо по переменному х.
Аналогично доказывается непрерывная дифференцируемость г(х,1) по Впрочем, это вытекает уже из непрерывности в 6 комбинации производных дг, дг, — +~„— — дА(Х, 1, ). Таким образом, при выполнении сформулированных условий решение г(х,1) в широком смысле является и решением задачи Коши (7.1,2), (7.1.4) в обычном смысле. Переходя по формулам (3.1,4) от г к и, заключаем, что полученная функция и есть решение системы (7.1.1) в обычном смысле. Совершенно аналогично доказывается для полулинейной системы утверждение: если в области 6(, решение и(х,1) задачи (7 1,1), (7 1,3) ограничено и ЕА, 1' ~ С,; )А (х, 1, и) ~ Сн иа(х) ~ Сн то построенное выше решение в широком смысле непрерывна дифференцируемо, т.
е. и(х,1)ен С). Непосредственным дифференцированием системы уравнений (7.1,2) убеждаемся, что при указанных предположениях производные р, а удовлетворяют в широком смысле уравнениям подолженной системы. 3. Некоторые свойства решений линейной и полулинейной систем. Решение задачи Коши в широком смысле для линейной и полулинейной систем равномерно непрерывно в 6, если область 6 конечна; если 6 — неограниченная область, то равномерная непрерывность имеет место в любой конечной части 6.
При этом в случае полулинейной системы равномерная непрерывность решения в широком смысле имеет место лишь в области 6), ограниченности решения. Эти свойства легко выводятся из формул (7.1.8), определяющих решение г(х, 1). $ х 3АдАчА кОши для линепнои и полулинейной систем 5! В случае классического решения (и(х, г) ~ С,) производные р, д удовлетворяют в широком смысле уравнениям продолженной системы (см.
п, 3 $ 4). Замечая, что в случае полулинейной системы продолженная система линейна относительно производных р, д, заключаем, что производные решения полулинейной системы остаются ограниченными в области О,„в которой остается ограниченным само решение. Пусть теперь и(х, г) и й(х, Г) — два решения в широком смысле задачи Коши, входные данные которых обозначим соответственно через 1», 5», )», ии(х) и 1», $», г», й'(х). Будем предполагать, что входные данные удовлетворяют условиям, сформулированным при доказательстве теоремы существования решения в широком смысле.
Легко видеть, что при ~», ~»~СО й»(х, (, т)- х,(к Г, ) если $»- е»; поэтому при Ь»-«$» 6-«6. Из формулы (7 1 я) следует, что если $» — «й», 1»-«1» и т. д., то 7»(х, 1)-«г»(х, 1), й»(х, ~) — и»(х, г) Таким образом, решение задачи Коши в широком смысле непрерывно зависит (в норме С) от входных данных этой задачи. Таким образом, задача Коши в такой постановке корректна. Если входные данные непрерывно дифференцируемы, то, как мы видели, решение обладает непрерывными производными и является классическим.
Разумеется, сказанное выше о непрерывной зависимости распространяется и на эти решения. Если, далее, не только входные данные, но и производные входных данных равномерно стремятся друг к другу, то не только й-«и, но и дд д» дп ди дк дк' д~ дГ' Это вытекает из того, что производные решения удовлетворяют в широком смысле уравнениям продолженной системы, которые линейны относительно производных, Аналогичные заключения можно сделать и о производных более высокого порядка, если соответственно усилить требования иа гладкость входных данных. Построение решения задачи Коши сводится к построению отображения, переводящего начальную функцию в решение задачи Коши в момент времени г'. Рассмотрим для определенности линейную систему (7.1.1) с б = Ви. Тогда решение и(х, 1) задается формулой си» где оператор 5 линеен. Областью определения этого оператора служит, очевидно, множество непрерывно дифференцируемых ГЛ, 1 СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ функций.
Будем рассматривать Я как отображение С-> С. Тогда оператор 5 определен на всюду плотном множестве (каким является в С множество непрерывно дифференцируемых функций) и ограничен на этом множестве. Согласно известной теореме функционального анализа 5 допускает непрерывное расширение с сохранением нормы на все пространство С. Пусть Я* — результат этого расширения. Тогда с» >~С есть решение задачи Коши в широком смысле, существование которого было нами доказано независимо. Отсюда следует, что для построения обобщенного (в смысле расширений операторов) решения достаточно приблизить начальную функцию м>(х) элементом всюду плотного множества и'(х) (т. е.
«Сгладить> начальную функцию), построить гладкое решение и =Яи' и перейти к пределу при б->0, пользуясь соответствующей метрикой. Аналогичные рассуждения проходят и в полулинейном случае. Они лишь осложняются тем обстоятельством, что оператор Я, задающий решение задачи Коши: и с (по) теперь нелинеен. Он определен, ограничен и непрерывен, как оператор из С в С на множестве непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих неравенству !! и'!! < У „Уь = сопз( (!) (О » (((» — полоса, в которой рассматривается решение).
Совершенно аналогично предыдущему случаю, оператор 5 может быть расширен до непрерывного ограниченного оператора, определенного на всем множестве элементов С, удовлетворяющих неравенству (1). Результат такого расширения, как и в линейном случае, есть решение в широком смысле, Подчеркнем, что обобшенные решения линейных и полулинейных уравнений являются, таким образом, пределами классических решений в той или иной метрике. $8. Задача Коши для системы квазилинейных уравнений Б Оценка роста решения и его производных.
й»ажорантная система. Для системы квазилинейных уравнений (» = (» (х, Е, и); Ц» = з»(х, ~, и). В этом случае построение решения задачи Коши усложняется по сравнению с линейной системой. Укажем основные отличия этого случая: 5 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
