Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В то же время определение решения о(х, 1) системы (1) требует лишь его непрерывной дифференцируемости. Поэтому эквивалентность системы (10) системе (1) может иметь место лишь для решений о(х, 1) системы (1) из класса Сг. 5 3. Инварианты Римана 1. Инварианты полулинейной системы уравнений. В каждом Уравнении характеристической формы (2.2.7) функции и;(х, 1) дифференцируются в одном направлении. В некоторых случаях ~озможно дальнейшее упрощение характеристической формы: заменой переменных можно добиться, чтобы в каждом из уравнений относительно 2п неизвестных и= (ио ..., игв) = (ОН ..., О„; ан ..., ав) = Покажем, что система 2п квазилинейных уравнений (б) является гиперболической.
Умножая вторую группу уравнений (б) на левый собственный вектор И(х, 1, о, а) матрицы А(х, 1, о, а), получим 28 Гл. ь системы кВАзилинеиных уРАВнении уравнений (2.2.7) дифференцировалась лишь одна функция пере. менных х, г, и. Рассмотрим сначала случай полулинейной системы. Тогда уравнения (2.2.7) могут быть записаны в виде (.
),=., или Х дл дл„ дс )и д1 +ах дх иа (~ ~~ ° ° ° ~ и). (() где а~а Г д!а д!А 1 аах=)А+и ~ д ) =(А+ил ~ +аьл — "1. (2) аа ха,й~х~дслд„ Так как для гиперболической системы Ре( Л = Ре( (((~~)) Ф О, то =Ре(Л Ф О (3) д [ив ° ., ил! и величины га(х, с, и) могут быть взяты в качестве новых неизвестных функций. Выразим из уравнений (2) и„..., и„через г„..., г„: и =Лиг,=айаг, (4) где через г мы обозначаем вектор (гн ..., г„), а Х» — коэффициенты матрицы Л ', обратной матрице Л: Л=(((е(х, ~))), Л-'=И)А(х, ~))). Подставляя формулы (4) в правые части системы (2), придем к системе уравнений дга дг †' + $ д — — а (х, г', ) (й = (, ..., и), (б) которую будем называть системой, записанной в инвариангах.
Проиллюстрируем понятие инвариантов на примере волнового уравнения д'и , д'и — = а' — (а = сопз(). дп дх' Оно сводится к гиперболической системе ди а да ди ди — +а — =О, — + — =О, дС дх ' д1 дх характеристическая форма которой имеет вид $ а инВАРилнты РимлнА Следовательно, определяемые формулами (2) инварианты таковы: г1 — — и — ао, га = и + ао. (3аметим, что мы воспользовались здесь ненормированными векторами 11, (х.) Система, записанная в инвариантах; дг| дг, дга дгг — — а — =О, — +а — =О, д1 дх ' дг дх показывает, что инвариант г, постоянен вдоль прямых х+ а( = = сопз(, а гх — вдоль линий х — а( = сопз(; поэтому Г, = 1" (Х + а1), Г, = Аг (Х вЂ” а(), Гдс )' И Аг — ПРОИЗВОЛЬНЫЕ фуНКцИИ. Возвращаясь к функции и, получаем известное общее реше- ние волнового уравнения; 1 (х + а1) + и (х — а1) 2 В случае системы квазилинейных уравнений векторы 1А зави- сят от х, 1, и.
Рассмотрим дифференциальные формы гах (х, (, и, г(и) = 1А (х, 1, и) г(и = 1А (х, 1, и) 1(и . (6) Пусть каждая из этих форм, рассматриваемых при фиксирован- ных значениях переменных х, 1, имеет интегрирующий множи- тель )х» = )хл(х, г, и), так что для любого и = 1, ..., и имеем дг (х,1,и) )АА(х, (, и) мл (х, 1' и' аа) = )хи(аг(иа = ди 1(иа (7) (напоминаем, что суммирование производится лишь по грече- ским индексам; в формуле (7) номер й фиксирован). Уравне- ния (2.2.7) после умножения на )Ал принимают вид ( '„),=„' дг (х, 1, и) Х дгх дгх ) = — л+$А — л =дл(х, 1, и) (й=!, ..., и) (8) и йх = РЛ(Л + ГЛ1 + ХЛГЛх (9) В формуле (9) величины г'„г', суть частные производные функций гх(х, 1, и) соответственно по х и ( при фиксированных значениях переменных и = (иь иа).
Пользуясь снова независимостью функций гл(х, 1, и), выражаем через них переменные и, после чего получим из (8) систему квазилинейных уравнений дгх дгл + ьл зги (» 1 г) (й 1 ' и) (1О) ЗО Гл. !. системы кВАзилинейных уРАВнении Величины г» называют инвариангами (инвариантами Римана), а систему (!О) — системой в инвариангах. Впервые понятие инвариантов ввел в своей классической работе Б, Риман [18761 Если системы (2.2.1), (2.2.7) однородны и не зависят явно от х, ! (А = А (и), / = О), то уравнения (10) также однородны: — «+5«(г) — »=0 (й =1, ..., п), (1 1) т. е. функции г«(х, !) постоянны вдоль интегральных кривых уравнений — =$«(г(х, !)), (12) называемых характеристиками системы уравнений (11).
2. Системы двух и трех квазилинейных уравнений. Известно, что не всякая дифференциальная форма ог«(и, г/и) имеет интегрирующий множитель. Исключение составляет случай и = 2, когда этот множитель существует всегда. В этом случае инварианты Римана могут быть определены следующим образом, Пусть уравнения ы,(', !', и, и) =0 (й=1, 2) имеют интегралы гР«(хл, !о, и)=сопа1 (/!=1, 2). Тогда, очевидно, в качестве инвариантов Римана могут быть взяты функции г« =гр«(х, !, и).
Рассмотрим теперь случай п = 3. Известно (см. В. В. Степанов (19591), что в этом случае произвольная дифференциальная форма пг»(х, !, и, йи) =/'(х, !, и) г(и (1) (х, ! фиксированы) может быть представлена в одном из видов: а) г(1/, б) УЖ/, в) г((/+ УЛУ, где 1/, У, 'йУ вЂ” функции от х, !, и. Случаи а), б), в) следуют друг за другом в порядке общности, Если формы оз«относятся при й = 1, 2, 3 к типам а), б), то это означает наличие интегрирующего множителя )г» для каждой формы оз», т.
е. возможность приведения системы квазили нейных уравнений к инвариантам "). ч) Известно (см. В. В. Стеканоп (!959)), что фоРма !ог/и пРинадлежит к типу а), если го(!" = О, н к типу б), если !'го( и = О, причем зтн условня необлоднмы н достаточны (операцня го( берется по переменным по из, и,). э 4. ПРеовРАВОВАния систем кВАзилинейных УРАВнений $1 В общем случае формы оэ» принадлежат к типу в) и система приводится к виду *[ —,» ) + у'» ( —,') =д» ([з=[, 2, 3), (2) где [7», [[У», ['» — функции переменных иь из, из, х, й Пусть Уз = О, т. е. фоРма оэз(х, 1, и, 4[и) имеет интегРиРУющий множитель н система квазилинейных уравнений имеет один инвариант Римана гз — — [7з.
Тогда уравнения (2.2.7) приводятся к форме (3) (4) где [7» = [7»(х, [, и). Если формы оэ»(х, 1, и, 4[и)(й = 1, 2) рассматривать на поверхности [7» = [7з(х, э, и) = сопз[, х = хо, 1 = эо, то онн имеют интегрирующий множитель. Отсюда следует, что р»(х, [, и) оэ» (х, [, и, 4[и) = = <П3»(х, ~, и) — —,Жlз — —,4[[ — — „4[х (й = 1, 2), Ю» дИ» д[7» доээ где предполагается, что ['» (х, [, 14) = ['» (х, э, и1, из, [[з (и1, из, 14з, х, [)).
Система квазилинейных уравнений в атом случае может быть записана в следующей характеристической форме: где т[», й» вЂ” функции переменных [7»(х, 1, и), х, [. $ а. Преобразования систем квазилииейных уравнений 1. Преобразование систем по решению. Преобразованием за. висимых и независимых переменных х'=х'(х, [), ['=['(х, Г), о=о(х, [, и), (1) Имеюзцим обратное, т. е. таким, что д [к', Н[ д [оь оэ, ..., оэ[ д[к, 4] ' д [ио иэ, ..., и„) система квазилинейных уравнений гиперболического типа переводится в некоторую новую систему квазилинейных уравнений зз гл 1 систвмы квхзнлинвпных кглвнннин гиперболического типа.
Характеристические направления гиперболической системы являются ннвариантами преобразования (1). Нк Это означает, что если направление — = $к являлось характе- (Й ристическим для исходной системы, то после преобразования (1) направление дк' дк' дк' ~ д~ дк — + — $ дк дп — + — $ д1 дк к будет также характеристическим. Рассмотрим преобразование независимых переменных, применяемое в газовой динамике, которое будем называть преобразованием независимых переменных по решению, Пусть новые переменные х', 1' связаны со старыми х, Г формулами Нх' = ф1 (х, 1, и) Нх — ф1 (х, 1, и) Й, ') Й' = ф, (х, Г, и) г(х — фа(х, Г, и) й.
/ (2) Чтобы линии х' = сопз1; Р = сопз( образовывали регулярную сеть при любых решениях и = и(х, () исходной системы, т. е. чтобы каждой точке х, ( соответствовала одна и только одна точка х', (', достаточно, чтобы в рассматриваемой односвязной области переменных х, ( выполнялись условия л фаз фзф! Ф 0' (4) В равенствах (3) и = и(х, Г) — произвольное решение исходной системы; при дифференцировании должна учитываться зависимость и от х, й Так как равенства (3) должны иметь место для любого решения и = и(х, 1) исходной системы, онн сами должны быть ее следствиями.
Предположим, что это имеет место и выполнено (4). Тогда из (2) следуют формулы дифференцирования ди ди ди ди ди ди дк дк' Р1+ др Рм д1 дк' ~' д~' (5) По формулам (5) производные —,, — „линейно выражаются ди ди ди ди чеРез †,, †,, и после подстановки в исходную систему, очевидно, снова получится система квазилннейных уравнений. Преобразование (2) — более обшее по сравнению с обычным преобразованием независимых переменных (!). Для его применимости, однако (в случае зависимости фь ф; от и), необходимо, $ а ПРеоВРАВОВАния систем КВАзилинеиных уРАВнений зз чтобы система квазилинейных уравнений имела в качестве следствий специальные уравнения.
Как мы увидим в $5, не всякая система квазилинейных уравнений имеет в качестве следствий хотя бы одно уравнение типа (3). Приведем пример преобразования независимых переменных по решению. Система уравнений газовой динамики (см. гл. 2, $ 2) ре р(р, 5) — + — =О др дри д! дх ди ди 1 др — +и — + — — =О, д! дх р дх дз дх — +и — =О д! дх (6) д Г[Х ди ди др дл —,( — ) — —,=О, —,+ —,=О, —,=О. (8) дн ~р ) дх' ' д!' дх' ' д!' В газовой динамике переменные х, ! носят название эйлеровых, а переменные а[ = х', !' = ! — лагранжевых. 2.
Преобразование годографа. Для однородной системы квазилинейных уравнений, коэффициенты которой не зависят явно от х, [, в случае и = 2: д! +А(и) д =О, и= (иа, иа), (1) поменяем ролями зависимые будем считать, что х = х(иа, ления приводят к результату ди, л д! диа д! ди,, д! дх диа ' дх ди! ' где и независимые переменные, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
