Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Характеристические направления системы квазилинейных уравнений 1. Производная по направлению. Пусть 7(х, () — диффереицируемая функция своих переменных. Рассмотрим в некоторой точке (хм 1и) выражение А ~~+В д д( д( (1) считая, что А, В не равны одновременно нулю. При любых А и В, непрерывных в некоторой окрестности точки (хо, 1и), можно найти гладкую кривую Г, проходяшую через эту точку и такую, что при ее надлежащей параметризации выражение (1) пропорционально производной функции 7(х, () на кривой Г по параметру т. Действительно, пусть кривая Г задана уравнениями Г: х=х(т), 1=1(т), х(то)=ха 1(то)=1а (2) Тогда на кривой Г функция ((х, 1) является функцией одного переменного т: 1(х(т),((т)) = Р(т). Потребуем, чтобы выражение (1) было пропорционально Р'(т), какова бы ни была функция ).
$ а хАРАктеРистические ИАпРАВления Это будет выполнено, если дх Ж вЂ” =аВ, — аА, дт (3) где а — любая непрерывная функция т. Ясно, что существенным условием, однозначно определяющим направление кривой Г в точке (х2,12), является уравнение дх д1 В А (4) а формулы (3) определяют соответствующую параметризацию. 17роизводной функции 1' ~о направлению Г называется производная г'(т) при натуральной параметризацни Г, когда а= 1 . В этом случае парат/А2+ В метр т есть длина дуги кривой Г. При а = 1 выражение (1) будем называть производной функции 1 по параметру т в направлении кривой Г.
Это простое понятие находит важные применения в теории уравнений с частными производными. Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение а А(х, 1) д, + В(х, () д =О, (5) предполагая, что функции А, В непрерывно дифференцируемы. Уравнения — =А(х, (), — „В(х, 1) (6) или уравнение (4) определяют однопараметрическое семейство кривых Г. Параметр т определяется вдоль каждой из этих кривых однозначно, если вдоль некоторой (произвольно выбранной) кривой у„пересекающей кривые Г, положить т = та (рис.
1.1). Поставим в соответствие каждой кривой Г значение некоторого параметра 22 (например, длину дуги кривой уа, отсчитываемую от произвольной точки на ней до точки ее пересечения с данной кривой Г). Тогда каждой точке (х, 1) соответствует одна и только одна пара чисел т, 22. Функцию и(х, 1) можно считать, следовательно, функцией переменных т, а; уравнения линий Г имеют вид в = сопИ, а уравнение (5), согласно предыдущему, запишется в виде ди(т, а) 11 дт 22 гл. !. системы квхзилинеиных телвнеиии Отсюда вытекает, что и = г" (!а) есть общее решение уравнения (5) и функция и(х, !) постоянна вдоль кривых Г. Направления кривых Г, определенные вектором (В, А), называются характеристическими направлениями уравнения (5), а кривые à — характеристиками.
Заметим, что форма (7) уравнения (5) уже не предполагает ди ди . существования производных —, —: уравнение (7) удовлетворяется произвольной функцией г'(!а), в частности, даже раз ° рывной. При этом функцию и = г'(а!) можно трактовать как решение уравнения (5) в обобщенном смысле. 2. Гиперболические системы квазилинейных уравнений. Рассмотрим систему квазилин!ейных уравнений (1) Умножая ее на вектор 1, получим скалярное уравнение 1 — +(А — =И. д! дх (2) Если 1 — левый собственный вектор матрицы А, то уравнение (2) записывается в виде 1(ф+~ф) =В, (3) где $ — соответствующее собственное значение матрицы А. В уравнении (3) все компоненты и; вектора и дифференцируются в одном и том же направлении. Действительно, записывая уравнение (3) в компонентах, получим Х1('д!'+ь д"„')=Е йо ! ! ! ! Обозначая через производную функции и;(х, !) по переменному 1 в направлении дх — видим, что уравнение (3) содержит линейную комби.
д! = /ди! 1 нацию производных ~ — ~( Уравнение ~д! (' дх д! определяет общее для всех функций и;(х, 1) направление дифференцирования в равенстве (3), которое называется характеристическим направлением системы уравнений (1). 9 Е ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ 23 Систему квазилинейных уравнений (1) будем называть гилерболичесхой в некоторой односвязной области 0 пространства переменных х, 1, и, если в каждой точке этой области выполнены следующие условия; 1) все собственные значения $ = $»(х, г, и) матрицы А = = А(х, 1, и) вещественны; 2) существует базис (Р(х, (, и), ..., !А(х, (, и)) в пространстве Е„составленный из левых собственных векторов матрицы А, подчиненных условию нормировки, т.
е. существуют нормированные собственные векторы Р, !», ..., !", удовлетворяющие условию (1.11). Отметим, что если система (1) полулинейна, то собственные значения $» и левые собственные векторы !» не зависят от и. Поэтому свойство гиперболичности для полулинейных систем определяется в некоторой области переменных (х, !) при произвольных и (в цилиндрической области). В связи с определением гиперболичности заметим, что часто к условиям 1), 2) добавляют еще требование определенной гладкости собственных векторов !» и собственных значений е».
Так, например, в книге И. Г. Петровского [19б1) система (1) называется гиперболической, если выполнены условия 1), 2) и, кроме того, й»(х, г, и), !»(х, 1, и) обладают той же гладкостью, что и элементы матрицы А(х, г, и). В дальнейшем нам, конечно, придется прибегать к предположениям о гладкости а», !». Мы их будем делать по мере надобности. Отметим в связи с этим, что та или иная гладкость 1», $» не всегда вытекает из предположения о той же гладкости матрицы А. Покажем это на следующем примере системы двух квазили. нейных уравнений: ди, дш ди» ди~ ди» вЂ” + и, — = О, — + а(и„и ) — + и» вЂ” = О. д! дх ' д1 дх дк Матрица А в этом случае имеет вид А =А(и) = О а(ин и») и, ее собственные значения $П $, определяются из уравнения ($ — и,) ($ — и») = О, откуда ~, = иь ~, = и,.
Собственные векторы Р, !» опреде. ляются из уравнений О. р ( а(и, и )Ц=О, О (,'+(и» вЂ” и,)!»=О, (4) ~и и)!г ( а(и и»)!» — О О ° !',+О !»=О, (5) 5 а хАРАктгРистические ИАНРАвления если в каждой точке этой области собственные значения $ь ет,..., е матрицы А вещественны и различны. В этом случае собственные значения могут быть упорядо. чены, и мы будем считать, что всюду в 0 выполнены неравенства »1 (х, Г, и) < е»(х, (, и) « ...
Ел(х, 1, и), Тогда, как указывалось в 5 1, собственные векторы (»(х, (, и) линейно независимы. Легко проверить, что в этом случае (»(х, 1, и), Е»(х, (, и) обладают той же степенью гладкости, что и элементы матрицы А(х,г', и), Итак, гиперболическая в области 0 система (1) путем умножения ее на левые собственные векторы (» приводится к виду (~(х, Г, и)[ — + $»(х, (, и) — )=7»(х, 1, и) (й=1, ..., и), (7) где 7»=1 Ь= ~ (аЬа.
Из условия 2) определения гиперболичности системы (1) следует эквивалентность системы (7) исходной системе (1). Уравнения (7) будем называть характеристической формой системы уравнений (1). Развернутая запись этой системы в компонентах такова: л 1', (х, Г, и) [ †" + Е» (х, Г, и) +~ = )» (х, Г, и) (й = 1, ..., и).
а ! Иногда мы будем записывать ее в следующем виде: (»(х, Г, и) ( — „" ) =)»(х, г', и) (й = 1, ..., л), где символом 1ч — ) обозначена величина тд)х ~пЛ 3. Гиперболическая система нелинейных уравнений. Рассмотрим систему нелинейных уравнений, записанную в нормальной форме: — +~р~~х, Г, о,— )=О ((=1, ..., и). (1) Положив (2) дл» =аь дх 26 ГЛ. !. СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ запишем систему (1) в виде до! — + ф,(х, 1, о, а) =0 (!'=1, 2, ..., а). (3) Пусть !рз(х, У, о, о!) ~ Сз.
Обозначим через А (х, г, о, в) квадрат- ную матрицу порядка и: А=~( ' '„' * ))=(Я). (4) — = — !Р(х,(, о, в), до дЕ д! + А (х, 1, о, в) д — — 1(х, Т, о, а), (6) где (с= — (ф~(х, 1, о, в)); — д„а, =(о! ° ° ° оо) в =(в..., вз), ф=(ф..., ф.), 1=0!, ., 1.), ) которую мы можем рассматривать как систему квазилинейных *) Во избежание недоразумений подчеркнем, что суммирование произ. дич тч з ди„ водится только по греческим индексам. НапримеР, ! $ — = ~ ! 3 о" дх Лз о" дх' ч ! а по латинскому индексу А суммирование не производится.
Систему нелинейных уравнений (1) будем называть гиперболической в некоторой области изменения переменных х, 1, о, а, если в каждой точке этой области собственные значения й = = $а(х, 1, о, в) вещественны, а из левых собственных векторов (з(х, 1, о, в) матрицы А может быть построен базис в Е,. Гиперболическая система нелинейных уравнений (1) сводится к системе квазилинейных уравнений гиперболического типа. Дифференцируя каждое из уравнений (1) по переменному х и учитывая обозначения (2), получим д до! д — — с+ — ср (х,1, о, в)= дх д! дх дв! дф! дв дф! = — + — — '+ — ° +(ф)'=0 (5) д! дво дх доз ч ! х В формуле (5) по греческому индексу и производится суммирование *) в пределах от 1 до и. В дальнейшем для упрощения записи мы часто будем пользоваться этим соглашением, Соединяя уравнения (3) и (5), получим систему из 2п урав- нений г г.
ИНВАРИАНТЫ РИМАНА ьдг ~А дх| ~А (й=1~..., и), )'А = 1'~. Итак, система (б) приводится к виду Г дв да 1 дог 1 ~ — +гьА — ~=ггА, — = — фг(х, 1, о, а) ). дг дх3 ' дг (8) (9) (/г = 1, ..., и), (10) откуда следует ее гиперболичность. дфг Если фА = фг(х, 1, а), т. е.
— = О, то первая группа уравдог пений (10) может рассматриваться независимо, как гиперболическая система и квазилинейных уравнений относительно и неизвестных аь ..., а . Разумеется, нельзя говорить об эквивалентности системы (10) и системы (1). Во-первых, не всякое решение ом аа системы (10) дает решение оА(х, 1) системы (1).
Действительно, решение оы аг системы (10) не обязано, вообще говоря, удовлетворять уравнениям (2). Как мы покажем в п. 3 $9, выполнение условий (2) сводится к выполнению их на прямой 1 = О. Таким образом, решения системы (10) приводят к решению о(х, 1) системы (1) лишь в случае удовлетворения условий (2). С другой стороны, неэквивалентность систем (10) и (1) проявляется также и в том, что решение системы (10), удовлетворяющее условиям (2), требует, чтобы о(х, 1)а= Сг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
