Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 2
Текст из файла (страница 2)
$3. Исследование устойчивости разностных схем............ 396 !. Спектральный метод последования (396). 2. Прннцнн замороженных коэффициентов и локальный алгебраический метод (399). 3. Метод мажорантных итн априорных оценок (405). 4. Практический подход к проблеме устойчивости вычислений. Применение метода Пикара для нодавлення неустойчивости (410). $4. Анализ простейших разностных схем 1.
Схемы для одного уравнения нг+ аи 0 (4!7). 2. Схемы сбегущего» счета для уравнений акустики (423). 3. Схема «крест» н неявная схема с ассами (424). 4. Схема Лекса (425). 5. Симметричная схема второго порядка точности (схема преднктор — корректор) (426). $6. Методы построения разностных схем для уравнений газовой динамики . 427 1. Общие замечания (427).
2. Способы описания газодинамических течений н построения разностных схем (429). 3. Граничные условия в задачах газовой динамики НЗО). $6. Метод характеристик . 432 1. Метод характеристик для гладкнк течения (432). 2. мет зд характеристик в окрестности контактной границы (436). 3. метод характеристик в окрестности Улерной волны (436). 7.
Явные схемы бегущего счета . . 439 8 Однородные разностные схемы. Схемы с псевдовязкостью .. . .. 444 1. Способы единообразного описания газодннамнческнк течений (444), 2. Разностная схема «крест» для системы урааненнй с вязкостью (450). 3. Разностнме схемы Лаков, Лакса — Ве|шрофа, преднктор †коррект (458). 4. Схемы С.
К. Годунова н В. Ф. Куропатенко (465). 5. Схемы повышенной точности (475). Схемы в вйлеровых координатах и неявные схемы 1 Схемы а зйлеровых координатах М78). 2. Неявные схемы (484). $10. Особенности рвзностного решения . 496 1. Поведение рвзиостнмх решеицй вблази разрьшв (496). 2, Замечаивя (502)' ОГЛАВЛВНИВ Гл а в а 4.
Обобщенные решении систем квазилннейных уравнений гиперболического типа . 505 $ !. Постановка задачи Коши в классе разрывных функций....., 565 1. Общне замечания (505). 2. Условна Гюгонно (507). 3. Устойчивые н неустойчивые разрмвы. Условна устойчивости (510). 4. Необратимость процессов, ацнсываемык разрывными решеннямн систем квазнлннейных урввненнй (519).
$ 2. Окно квазилинейное уравнение . 522 1. Обзор результатов (522). 2. Построение 3. Хопфа (525). 3. Задача Коши для гг УРаваенна и!+Фл 0 пвн Условны Фяц>0 637). 4. Залача Кашн дла неодноРоднога закона сохранения (5%). 5. Единственность обобщенного решения прн услогг еан В >О (556). 6.
Аснмптотнческое поведение обобщенных решеннй прн ял !+ о«(566). 7. Метод вязкости (574). $3. Система квазилинейных уравнений. . 583 !. Вводные замечания (563). 2. Автомодельные решения снстемы квззнлннейных уравненнй (564). 3. Задача о распаде произвольного разрыва (594). 4. Прнмер неедннственностн автомодельного решения задачи о распаде (600). 5. Задача о распеде для снстемы двух кзазнлннейных уравненнй (603).
6. Задача Гурса для системы двух квазнлннейных урзвненнй (6!2). 7. Построение разрывных решеннй снстемы двух квазнлннейных уравненнй (624). 6. Замечания о едннствеяностн разрывного решення системы двух уравнений (634). 9. Теорема Глнмма (636). 10. Метод вязкостн для системы квазнлннейных уравнений. Феномены метода вязкости (644).
$4. Приложения общей теории систем квазилинейных уравнений гиперболического типа .. .. . ... .. .. ... .. . .. .. . . 656 1. Теория «мелкой воды» (656). 2. Плоское установившееся течение сжнмаемого газа (659). 3. Хнмнчаская сарбцня н задачи хроматографии (66!).
4. Прнложення к днффереяцнальвой геометрнн(665). 5. Уравнения магнитной гндродннамнкн (667). Литература . 672 Предисловие ко второму изданию Со времени выхода в свет первого издания нашей кнвгн прошло 10 лет. За это время было получено много новых интересных результатов по рассматриваемым в книге вопросам, и особенно по разностным методам решения задач математической физики и газовой динамики. Во второе издание внесены некоторые исправления текста, а также значительное число дополнений, призванных отразить имевший место прогресс. Однако, как и в первом издании, на отборе материала сказались общий план и стиль изложения книги, Особенно это относится к новым материалам главы 3, посвященной разностным методам. Огромное число работ по разностным методам и по необходимости небольшой объем главы 3 заставили нас отказаться от изложения ряда теоретических вопросов, уже достаточно подробно освещенных в доступных монографиях и учебниках.
При работе над вторым изданием мы снова пользовались помощью наших друзей и товарищей по работе, а также наших учеников. Мы выражаем всем им нашу глубокую благодарность. Из предисловия к первому изданию При написании книги авторы общались с различными коллективами советских математиков.
Среди них мы отметим кол. лективы, возглавляемые М. В. Келдышем, А. Н. Тихоновым и А. А. Самарским, И. М. Гельфандом. На наши взгляды и точки зрения неизбежно влияло общение с друзьями и товарищами по работе; ряд результатов известен нам от них из устных сообщений. Каждый из нас читал в течение ряда лет спецкурс для.студентов по теме этой книги. В результате работы над книгой было получено несколько новых результатов, которые впервые здесь и публикуются.
Настоящая книга возникла в процессе многолетней работы, во время которой мы постоянно пользовались помощью многих наших друзей и товарищей по работе, а также многих наших учеников. Мы благодарны А. Н. Тихонову, советами которого мы постоянно пользовались. Особенно ценной была для нас помощь Л. В. Овсянникова, который не только просмотрел рукопись всей книги и сделал ряд ценных замечаний, но и предоставил в наше распоряжение материалы, использованные нами при написании з 13 главы 1.
А. А. Самарский прочитал рукопись главы' 3 этой книги'и сделал ряд ценных замечаний, Большую помощь нам оказал Н. Н. Кузнецов, который прочитал всю рукопись, сделал ряд ценных замечаний и как редактор этой книги во многом способствовал ее улучшению. Мы выражаем им всем нашу глубокую благодарность. Введение Для описания поведения сплошной среды (газ, жидкость, твердое тело) теоретическая физика использует различные модели, которые в большинстве случаев приводят к нелинейным дифференциальным и интегро-дифференциальным уравнениям с частными производными. Механика сплошной среды — это основная, но не единственная область практического применения систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
При описании большинства реальных физических процессов мы приходим к нелинейным уравнениям, и только существенные дополнительные предположения о малости амплитуд волн поля или ампли. туд колебания среды, амплитуд отклонения от состояния равновесия и т. п. приводят к линейным уравнениям, которые изучены более глубоко. В главе 4 этой книги приведено несколько примеров задач физики, химии, математики, которые связаны с нелинейными уравнениями.
Изучение общих свойств нелинейных уравнений и методов их решения представляет собой быстро развивающуюся область современной математики. При всем обилии интересных фактов и многообразии оригинальных и остроумных методов исследования и решения нели. нейных уравнений эта область математики до сих пор не имеет столь же основательного теоретического фундамента, как теория линейных уравнений. Это связано в первую очередь с тем, что к нелинейным дифференциальным уравнениям неприменим пРинцип суперпозиции решений, так что многообразие решений не является линейным. Среди гиперболических систем нелинейных уравнений с частными производными наиболее простыми являются системы квазилинейных уравнений. Наиболее изучены системы уравнений с двумя независимыми переменными; эти системы описывают, в частности, неустановившиеся одномерные и сверхзвуковые двумерные установившиеся течения сжимаемых газов и жидкостей.
Но даже и для этих систем в настоящее время нет достаточно полной теории, нет общих теорем существования и един. ствеиности решения задачи с начальными данными. 1О вввдвнив Это объясняется тем, что для гиперболических систем нели. нейных уравнений решение задачи Коши в целом связано с существенным осложнением как самой постановки этой задачи, так и методов ее решения. При этом почти все основные возникающие здесь трудности представлены уже для случая двух независимых перемененных, и можно ожидать, что решения много.
мерных уравнений газовой динамики локально имеют в основном те же особенности, что и решения одномерных. Таким образом, изучение гиперболических систем нелинейных уравнений с двумя независимыми переменными составляет совершенно необходимый и пока еще не преодоленный этап в исследовании более общих нелинейных уравнений. Исходя из этих соображений, авторы решили ограничиться в основном теорией гиперболических систем с двумя независимьгми переменными и изучением одномерных неустановившихся течений сжимаемых жидкостей и газов.
Поэтому, как правило, об одной из независимых переменных мы будем говорить как о времени и обозначать ее буквой б Поясним здесь кратко современное состояние вопроса о раз. решимости задачи Коши для гиперболических систем квазилинейных уравнений и трудностях, возникающих при попытке построить решение этой задачи в целом. Основным методом решения гиперболических систем квазилинейных уравнений является метод характеристик, подробно изложенный в главе 1. С его помощью доказаны существование, единственность и непрерывная зависимость от входных данных классического решения задачи Коши. Полученные результаты являются в высокой степени удовлетворительными в том смысле, что классическое решение строится во всей области переменных 1, х, где оно существует.
Заметим, что область существования классического решения, вообще говоря, ограничена, так как решения нелинейных уравнений, в отличие от уравнений линейных, обладают свойством неограниченного возрастания величины производных, которое называют градиентной катастрофой. Смысл этого свойства состоит в том, что даже при сколь угодно гладких начал|ьиых значениях первые производные решения остаются ограниченными, вообще говоря, лишь в течение конечного времени. При некотором 1а > О они становятся неограниченными, и при 1 ) 1а классического решения поставлен. ной задачи Коши уже не существует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
