Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 8
Текст из файла (страница 8)
е. ф=Ч'(Р, и). (5) Учитывая (5), сводим систему (2) — (4) к двум уравнениям двс ( дф (Ъ', и, Я) (6) — (р, и) дЧ' дф((г, и, Я) Р) Дифференцируя (6) по переменному Р' и учитывая (7), получаем с (~, 8) д и'(Р и) д Ч'(Р, и) (8) дра диа Будем рассматривать случай, когда величина р' функционально независима (как функция переменных )', Я) с давлением р (Г, 5), т. е.
(9) Руруз Рз ' Руу ~ О Если это так '), то в левой части (8) стоит функция трех переменных, а в правой — только двух. Поэтому равенство (8) возможно лишь в том случае, когда дач' (Р, и) д ч'(Р, и) ПО) дра диг ') Условие (9) исключает случай р =Р(р'+((Я)), где Р и 1 — нронансльные гладкие функции. гл. ь систамы квззилинвиных уРАВнвнии 40 Отсюда имеем общее решение системы (2) — (4) для ф(У, и, 5): зР(У, и, 5) =зР(р, и) = С,и+ С,р+ Сзир, (11) где Со С,, Сз — постоянные числа. Подставляя (11) в (6) и (7), получаем — = — Ср — С~: ~ =Сзи+С,. дч ду 3 ' дн (12) Из второго начала термодинамики (гл.
2, $1, п. 1, ф-лы (16) ) де(У, Я) — ду поэтому дф дз(У Я) дф Сз С~' — — Сзи + С' ду ду ди (13) Интегрируя уравнения (13), находим общее решение системы (2) — (4) относительно ф=ф(У, и, 5): ф(У, и, 5)= — С~У+ Сга+ Сз[а(У, 5)+ ~ )+ Р(5), (14) где 1(5) — произвольная функция энтропии. Величина а(У, 5) есть внутренняя энергия газа и, согласно второму началу термодинамики, определена равенством з(е = Т з(5 — р Й У.
(16) Итак, если выполнено (9), то мы нашли общее представление всех законов сохранения рассматриваемой системы ф = — Сг У + Сги + Сз [а + ~ ~ + ) (5), (16) ф=С,а+ Сгр+ Сзор+ О ) (5). (17) который соответствует случаю Сз = 1, С, = Сг = )(5) = О и носит название закона сохранения энергии. Отметим, что в случае, когда нарушено (9), система (1) может иметь дополнительные законы сохранения. Из нашего доказательства вытекает, что при выполнении условия (9) уравнения газовой динамики (1) не имеют никаких других законов сохранения, кроме известных законов сохранения массы, импульса, энергии и энтропии. Легко заметить, что формулы (16), (17) содержат как законы сохранения объема, импульса и энтропии, выраженные уравнениями системы (1), так и еще один независимый закон сохранения $ а консеРВАтиВные системы кВАзилиненных уРАВнении 41 В качестве еще одного примера рассмотрим систему д д2' д дЫ' (18) где 2'= Ы(и„..., и„), У' = Ы' (и„..., и„) — скалярные функции (см.
С. К. Годунов [1961а)). Система (18) является гиперболической, если матрица знакоопределенная. Система уравнений (18), очевидно, консервативна. Легко проверяется, что она имеет еще один закон сохранения, независимый с законами сохранения (18), если 2',„ — непостоянная матрица; ф= па'ха Ж ф= па~а У ° а — а аа Интересно отметить, что к виду (18) приводятся уравнения газовой динамики, а также некоторые другие системы уравнений математической физики. 3. Потенциал решения консервативной системы квазилинейных уравнений. Рассмотрим консервативную систему и квази- линейных уравнений — + — =г дф дФ д» дх Согласно определению консервативности д1фь..., ф„) д (ии ..., иа) Поэтому в качестве новых зависимых переменных можно выбрать величины ьч = ф;(х, 1, и) и рассматривать лишь консервативные системы специального вида: ди + дф(х, й и) д1 дх Пусть известно решение и(х, 1) ~ С, системы (1), Найдем вектор У" (х, 1) такой, что — А-' — =Р(х, 1, и(х, 1)).
Очевидно, вектор У (х, 1) определен неоднозначно; для определенности положим х,ш 42 ГЛ. Ь СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНВННЫХ УРАВНЕНИИ где х = хх(1) — гладкая кривая, однозначно проектирующаяся на ось х = О. Система (1) может быть переписана в виде д~ + д ]ф (х' х' и) ф (х, х)1 = О. Интегрируя это уравнение по области Ус, ограниченной контуром С, заключаем, что контурный интеграл $и х(х — (ф(х, С и) — У (х, 1)] й с обращается в нуль для любого кусочно-гладкого замкнутого контура С. Поэтому криволинейный интеграл ~х, О Ф(х, 1)= ~ ийх — (ф — У]й (3) Сх„С,> не зависит от пути интегрирования и определяет Ф (х, () ен Сх, если ф ~ Сь Р ~ См Из (3) вытекают формулы — и, — — — ф (х, (, и) + 1Р" (х, 1).
дФ дФ вектоп Исключая и и пользуясь формулой (2), находим х Теперь систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений (4) можно рассматривать самостоятельно, независимо от (1). Если известно решение Ф(х,1) ен С, системы (4), то дФ и = — В=С, есть решение системы (1). Сводя систему (1) к дх системе (4), мы можем рассматривать, таким образом, менее гладкие решения и(х, 1) системы (1) как производные решений Ф(х, г) системы (4), имеющих большую гладкость.
По этой причине такой прием находит применение при рассмотрении обобщенных (например, разрывных) решений систем квазилинейных уравнений. Вектор Ф(х, () будем называть потенциалом решения и(х, г) системы уравнений (1) (см. Б. Л. Рождественский (1958а]), Отметим некоторые частные случаи, Если г = О, то система (4) становится нелинейной системой типа Коши — Ковалевской.
Сведение системы (1) к системе (4) в этом случае следует сравнить с обратным приемом — сведением нелинейной системы Ь 6. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ КОШИ к системе квазилинейных уравнений ($2). В случае, если система (1) линейна, то линейна и система (4). Поэтому указанный процесс повышения гладкости решения для систем линейных уравнений можно применять и дальше. й 6. Постановка задачи Коши для системы квазилинейных уравнений гиперболического типа 1, Постановка задачи.
Для системы квазилинейных уравнений гиперболического типа (1) которую также будем записывать в характеристической форме 1 ~ — + $» — 1 — 1» (Й вЂ” 1, ..., п), рассмотрим следующую задачу: В некоторой окрестности дуги а ( т ( Ь кривой У х=х(т), 1=1(т) найти решение и(х,г) системы (1), принимающее на Ы задан- ные значения и (х (т), 1(т)) = и' (т), а ( т ( Ь. (2) Условия (2) называются начальными, вектор-функция и» вЂ” начальной функцией, а кривая Ы вЂ” начальной кривой, Задача (1), (2) называется задачей с начальными данными, или задачей Коши.
Задача Коши для уравнения (1) интерпретируется геометрически как задача построения в пространстве и+ 2 измерений переменных (х, Г, и) двумерной интегральной поверхности и = = и(х, 1), проходяшей через заданную кривую х = х (т), 1=1(т), и = и' (т), которую мы также будем называть начальной. Для уточнения постановки задачи Коши надо указать: а) гладкость матрицы А(х, 1, и), вектора Ь(х, 1, и) (либо 1», $», Г»), начальной кривой и функции и»(т) (эти величины мы будем называть входными данньсми задачи Коши); б) область 0 переменных х, 1, в которой ищется решение задачи Коши.
Эти вопросы будут рассмотрены в последующих параграфах при построении решения задачи Коши. Заметим, что, по определению, решение и(х, с) системы (1) иепреРывно диффеРенциРУемо (и ~ Сс). Если и(х, 1) обладает 44 ГЛ, Ь СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНВИНЫХ УРАВНЕНИЯ меньшей гладкостью, но в каком-либо смысле удовлетворяет системе (1), то функция и(х, 1) называется обобщенным решением системы (1).
В этой главе мы построим решение и(х, 1)еи С, для системы квазилинейных уравнений гиперболического типа; для линейной и полулинейной систем будет построено обобщенное решение и(х, 1)я С. Следуя К. О. Фридрихсу, мы будем называть последнее решением задачи Коши в широком смысле. 2. Разрешимость задачи Коши. Характеристики. Пусть х (т), 1(т), и'(т)ен С„1»(х, 1, и), $», 1» я С и некоторая вектор-функция и(х, 1)~ С, принимает на кривой Я' значение и'(т), а ее производные р, д удовлетворяют на линии Ы уравнениям системы (6.1.1).
Поставим вопрос о возможности определения (на линии 2') производных р, д по этим данным, т, е. вопрос о существовании функции и(х, 1)е= С„удовлетворяющей этим требованиям, На линии 2' имеем равенства и (х (т), 1 (с)) = и' (т), 1» [д + ~»р] = 1», (1) где 1», $», [м очевидно, являются известными на Я' функциями переменного т. Дифференцируя и(х(т), 1(т)) =и'(т) по т, получим лно (т) 1'(т) в + х'(~) р = = ф (т), и, следовательно, ф(т) ~ С. Уравнения (1) и (2) образуют систему 2п уравнений для оп- ределения (на линии,У) производных р, д.
Так как матрица ((1~)) неособая, то, исключая из уравнений (1), (2) вектор д, получим Р'(т) 5, — ' ( )] 1'р = ~1' (т) $, — ' (ТЦ Ф. = [, (3) (2) где 1» — непрерывная функция переменного т. Определитель Р(т) системы (3) легко вычисляется: л л Р (с) = ~Ре1 ((1~))) П [1'(т) $» — х'(т)] = Ре1 Л Ц [1' (т) $» — х'(т)]. » ! »-~ Он отличен от нуля, если при всех й=1, ..., п д ~ = —, Ф $»=$»(х(т), 1(т), и»(т)). (4) Мы предполагаем, что [х'(т) ]+]1'(т) ] Ф О. Если 1'(т) = О, то заведомо Р(т) чь О, так как ~» ограничены. Итак, если выполнены условия (4), то система уравнений (3) имеет единственное решение р = р(т) и, следовательно, произ- 4 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
