Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

С точки зрения газовой динамики это соответствует образо. ванию ударной волны (скачка уплотнения) из волны сжатия. Таким образом, если мы хотим определить решение задачи Коши при любых 1) О, т. е. в целом (а именно так стоит проблема, например, в газовой динамике), то мы должны прежде рсего дать определение решения, так как решение системы вввданив уравнений в обычном смысле — классическое решение, — как мы говорили выше, при 1 ~ 1а не существует. В большинстве физических задач и, в частности, в газовой динамике определение обобщенного решения диктуется самой постановкой задачи.

Так, например, в газовой динамике основными физическими законами, из которых мы выводим все следствия, являются законы сохранения массы, импульса и энергии. Эти законы сохранения имеют характер интегральных соотношений, и оин применимы не только к гладким (дифференцируемым) течениям. Напротив, дифференциальные уравнения газовой динамики получаются из этих законов сохранения при предположении о гладкости течения. Таким образом, мы определяем обобщенное решение уравнений газовой динамики как течение (возможно, даже с разрывными параметрами), удовлетворяющее основным законам сохранения: массы, импульса и энергии. К этомудобавляют требование термодинамики о возрастании энтропии каждой замкнутой в тепловом отношении системы.

Широко распространено мнение, до сих пор не опровергнутое ни одним примером, что так определенное решение существует, единственно и удовлетворяет всем разумным требованиям. Чрезвычайно существенным здесь является требование термодинамики о возрастании энтропии, которое показывает возможное направление процесса быстрого изменения состояния газа. Это требование не фигурирует при рассмотрении классических решений уравнений газовой динамики для газа, лишенного вязкости и теплопроводности, так как в гладких течениях энтропия системы сохраняется в силу тех же основных законов сохранения.

Хорошо известен в газовой динамике и другой подход к обобщенным (разрывным) течениям идеального газа, лишенного вязкости и теплопроводности. Поскольку газ без диссипации является идеализацией газа, обладающего диссипативными процессами, естественно рассматривать его разрывное течение как «предельное течение> вязкого теплопроводящего газа при стремлении к нулю коэффициентов вязкости и теплопроводности. При этом предполагается, что вязкие течения всегда описываются классическими решениями дифференциальных уравнений, а предел при стремлении диссипативных коэффициентов к нулю существует и единствен в разумном смысле.

И действительно, до сих пор это предположение не опровергнуто ни одним примером, хотя точные доказательства получены к настоя» щему времени лишь для весьма частного случая стационарной ударной волны. При этом следует принять во внимание, что во многих слу* чаях реальные газы обладают достаточно малой дисоипацией, ввадвнив так что их можно «приближать» недиссипативными газами. Однако наличие диссипативных процессов, хотя бы и малых, прив~дит к возрастанию энтропии системы.

Таким образом, требование возрастания энтропии в разрывном течении идеального газа связано с представлением этого течения в качестве «предельного» течения вязкого теплопроводного газа. Отметим, что с математической точки зрения требование возрастания энтройии есть требование, гарантирующее единственность обобщенного решения, его устойчивость по отношению к возмущениям. Хотя подобная постановка задачи о течении сжимаемых газов известна уже более века и еше Риман изучал простейшие разрывные течения, имеется сравнительно небольшой прогресс в исследовании общих свойств обобщенных решений уравнений газовой динамики.

Так, и мы уже упоминали об этом, до сих пор нет удовлетворительных теорем существования и единственности. С другой стороны, требования практики, обусловленные настоятельной необходимостью практического изучения разрывных течений, а также новые вычислительные возможности, связанные с применением быстродействующей вычислительной техники, привели к тому, что, невзирая на наши недостаточные сведения об общих свойствах разрывных течений, создавались и использовались различные численные алгоритмы, позволяющие удовлетворительно рассчитывать течения с ударными волнами.

Нужно отметить, что при создании этих численных алга. ритмов большинство гипотез, о которых мы говорили выше, принимались за достоверные. Ввиду того, что непосредственное и строгое обоснование различных предположений об обобщенных решениях в газовой динамике представляется трудной задачей, возникает естественное желание провести проверку наших взглядов хотя бы на модельных уравнениях и системах уравнений, которые в какой-то сте. пени имитируют уравнения газовой динамики. Следствием этого желания явилось возникновение за последние десятилетия так называемой теории обобщенных решений систем квазилинейных уравнений или, короче, теории систем нвазилинейных уравнений (при этом обычно имеют в виду системы гиперболического типа).

Эта теория ставит своей задачей ввести по аналогии с газовой динамикой понятие обобщенного решения для «произвольной» системы квазилинейных уравнений в частных производных гиперболического типа, доказать его существование, единственность, непрерывную зависимость от входных данных задачи, изучить свойства таких решений. По крайней мере формально такая теория является более об. введение 1з щей, чем одномерная газовая динамика, и включает последнюю как частный случай.

Она привлекла внимание многих математиков, и ряд результатов, полученных усилиями советских и иностранных ученых, позволяет надеяться на ее дальнейшее развитие. Исходя из такого представления о развитии теории обобщенных (разрывных) решений систем квазилинейных уравнений, авторы ограничились случаем лишь двух независимых переменных и включили в книгу следующие основные вопросы; 1. Методы построения классических решений систем квази- линейных уравнений; доказательства теорем существования, единственности, непрерывной зависимости классических решений; аналитические методы построения решений систем нелинейных уравнений; условия образования разрывов в решениях произвольных систем квазилинейных уравнений. Эти вопросы изложены в главе 1 книги.

Здесь приведены результаты, полученные для классических решений систем квазилинейных уравнений за последние годы. 2. Классические и обобщенные решения уравнений газовой динамики для одномерных нестационарных течений. Этот вопрос освещается в главе 2 книги. Авторы сочли целесообразным подробно рассмотреть некоторые вопросы газовой динамики, освещенные во многих руководствах. Излагаются основы термодинамики, вывод уравнений газовой динамики при различной симметрии одномерного течения, условия Гюгонио, общие свойства течений, теория ударного перехода, автомодельные и аналитические решения газовой динамики.

Включение в книгу этих традиционных вопросов газовой динамики позволяет изложить с единой точки зрения некоторые математические задачи, которые возникают в газовой динамике; кроме того, на этом материале фактически основано большинство численных методов в газовой динамике. Подробно рассматривается основная задача теории разрывных решений уравнений газовой динамики — задача о распадении произвольного разрыва, а также взаимодействие ударных волн друг с другом, с бегущими волнами, с контактной границей.

3. Глава 3 книги посвящена разностным методам решения УРавнений газовой динамики. Эти методы в наше время стали основным средством исследования задач газовой динамики, поэтому прогресс в изучении разрывных течений в значительной мере связан с разностными методами. В этой главе мы вынуждены изложить основные понятия теории разностных методов.

К сожалению, большинство утверждений этой теории относится лишь к случаю линейных уравнений. вввдвнив Современное положение с обоснованием разностных мето. дов, применяющихся для численного решения задач газовой динамики, кратко говоря, заключается в следующем. Классические решения (гладкие течения) могут быть рассчитаны с практически произвольной точностью. Основной метод — численный метод характеристик — для классических решений достаточно обоснован. В то же время численные методы, применяемые для расчета разрывных течений, строго не обоснованы и в большинстве своем используют те или иные гипотезы о поведении решений, об аппроксимации одних уравнений другими и т.

п. Для проверки тех или иных предположений чаще всего пользуются простыми уравнениями, для которых поведение разрывного решения хорошо известно. Не случайно в этой главе в большинстве случаев каждая схема подвергается проверке на одном простейшем квазилинейном уравнении, решение которого может быть явно выписано.

Такое положение с обоснованием разностных методов показывает, что прогресс в этой области в значительной мере связан с прогрессом в исследовании общих свойств обобщенных решений систем квазилинейных уравнений и, в частности, уравнений газовой динамики. С другой стороны, разностные методы дают экспериментальный материал и сильнейшим образом стимулируют развитие теории обобщенных решений. 4. Глава 4 посвящена теории обобщенных решений систем квазилинейных уравнений гиперболического типа и содержит основные результаты, полученные в этой области за последние годы. Основным успехом здесь следует считать построение теории обобщенного решения одного квазилинейного уравнения, которую можно считать почти законченной.

Характеристики

Список файлов книги