Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

иа), ! = !(иь иа). Простые вычис- — = — Л вЂ” — = да —, (2) ди, дх диа дх д! диа ' д! ди1 ди! дх ди! д! д [и!, иа] (3) д[х, !1 диа дх диа д! 2 В, , Л, Роаадеетаеаеааа, Н, Н, Яаеаае содержит три уравнения с тремя неизвестными р, и, 8. Рассмотрим преобразование а[х' = р а[х — ри ![1, Ж' = а[!. (7) В этом случае ф! = р, ф! = ри, фа = О, фа = — 1; условия (3) выполнены в силу первого уравнения (6), а условие (4) приводит к требованию р ) О.

Итак, если р» О, то д д д д д д д — =р —,, — = —,— ри —,= —,— и —, дх дх' ' д! дк дх' дб дх ' и система (6) переходит после преобразования (7) в новую систему: 34 ГЛ, Ь СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИЙ (2) где д1» ~» = дг д1» / дГ» дГ» диа диВ В д1» 1' дГ'„дг,» диа д1» 1Р»= дк Если Л Ф О, то, подставляя формулы (2) в (1), приходим к линейной системе двух уравнений: д — ан(™) ди +а1г(™) — „„=О, ~ ди агн(и) ди +ам(и) ди =О дк дг дг где ап(и) — элементы матрицы А(и). Такое преобразование переменных носит название преобразования годографа; оно используется в газовой динамике. 3. Продолженная система.

Систему квазилинейных уравнений гиперболического типа запишем в характеристической форме: 1 (х.1, и)~ —,+$»(х,1, ) — |в ~[дг +а» дк 1 Во многих исследованиях наряду с системой (1) полезно рассматривать систему уравнений, в которой неизвестными являются также производные решения и(х, 1). Эта система получается дифференцированием (1) и является ее дифференциаль.

ным следствием. Мы будем называть систему (1) и ее дифференциальные следствия продолженной системой, Обозначим ди ди / ди ди тогда система (1) может быть записана в виде 1»(д+$ р)= 1»(а„+5,р,)=), (й=1, ..., и). (3) Дифференцируя каждое уравнение (3) по переменным 1, х, получим 1'®+~,ф)=У,, 1'а+3, ~"')=У;, (4) 5 С ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Зб Из (2) следуют, как условия интегрируемости, уравнения дп др дх дт' (6) и, следовательно, уравнения (4) могут быть переписаны в виде где У», У» являются, согласно (5), функциями от х, 1, и, р, 41.

Уравнения (2), (7) будем называть продолженной системой. Продолженную систему можно записать в другом представле. нии. Уравнения д4 9' 'чд4 +в» дх) (8) 4в4 — 1»р 1», Гт 1», (9) и переходя в уравнениях (7) к переменным Р4», Ц», получим — » + $~ — » = У~ (х, 1, и, У, 4'4), (10) где Г дт", д»,' д4» »+"'" 1 дт + с» дх + ди (да+ с»РБ)э4 ' Г д»в» д»» И', дпа (1 1) ')чы ь ° * у * .3 а г ио»тио добиться того, что й» ~ О при всех» = 1, ..., и.

представляют собой продолженную систему из 2В уравнений, если входящие в У» величины р исключены с помощью уравнений (3). При этом предполагается, что В» чь 0 '). В такой форме продолженная система была введена Р. Ку. рантом и П. Лаксом [19491 Остановимся на замечательном свойстве продолженной системы. Как было показано, гиперболическая полулинейная система приводима к инвариантам. Для систем квазилинейных уравнений это, вообще говоря, не имеет места. Однако продолженная система любой системы квазилинейных уравнений гиперболического типа уже обладает этим свойством, т. е.

приво- дима к инвариантам. Действительно, обозначая Гл. ь системы кВАзилинвпных уРАВнении Так как 1)е1Я1~)) ~ О, то величины р, д однозначно выражаются через У, Ц и могут быть исключены из У А, Уь Присоединяя к уравнениям (10) уравнения дии дии (12) получаем систему 4п квазилинейных уравнений, записанную в инвариаитах. Можно уменьшить число уравнений до 2п, если, например, к первой группе уравнений (1О) присоединить первую группу уравнений (12), т.

е. рассматривать систему 2п уравнений в инвариантах: да' д9'А ди А+а А У- А д~ дх А' дх А а (13) и считать, что в функциях УА величины д исключены с помощью (3), а р — с помощью (12). Однако вторая группа уравнений (13) неудобна для исследования. Мы преобразуем ее. Из уравнений (3) имеем (14) которая также записана в инвариантах, а функции У А суть функции от х, 1, и, У. Продолженную систему (15) запишем в окончательной форме: +ааи д =УА(х 1 и У) да.и дУА ди — — РА(х, 1, и, У). (16) (17) Из формул (15), (11), (5), (3) следует, что У А = У (х, 1, и)+ У а (х~ 1~ и) Уа+ У аа(х~ 1, и) УаУВ (18) РА=РА(х, 1, и)+ РА(х, 1, и)У (19) где У, У'„У,а, Р, Р,— некоторые функции, зависящие лишь от х, 1, и.

Формулы для этих величин довольно громоздки, и мы не будем их здесь выписывать. Отметим, однако, что Р, Р, выражаются через коэффициенты исходной системы, а У, У, У,а — через коэффициенты и их первые производные по переменным х, 1, и. Поэтому вместо системы (13) можно рассматривать систему да. да.

ди, Д~ + 5А дх А' д~ 4А а~а а~а а э ь консВРВАтиВныв систамы кВАзилинвиных уРАВнвнип зт Продолженная система (16), (17) будет нами в дальнейшем использована для оценки роста решения системы квазилинейных уравнений и его производных (см. 5 8). Согласно 5 2 система и нелинейных уравнений гиперболического типа приводится к системе 2п квазилинейных уравнений. Продолженная система для произвольной системы квазилинейных уравнений гиперболического типа сводится в свою очередь к уравнениям в инвариантах.

Поэтому система и нелинейных уравнений гиперболического типа приводится к системе не более чем 4п квазилинейных уравнений в инвариантах с помощью образования продолженной системы. й 5. Консервативные системы квазилинейных уравнений 1. Определения.

Если уравнение дф[х, Ь и) + дф[к, С и) д) является следствием системы квазилинейных уравнений (2) для любых решений системы (2), то мы назовем его законом сохранения системы (2). Пусть система (2) имеет т законов сохранения (1), соответствующих функциям фь ..., ф,; фь ..., ф . Эти законы сохранения будем называть независимыми в области Р, если функ.

пии 1, ф1(хы Гы и), ..., ф„(хы Гы и) линейно независимы при всех хы 1ы и из рассматриваемой области Р. Если ф = ф(х, 1), то, согласно этому определению, равенство (1) не является независимым законом сохранения. Если система (2) имеет и независимых законов сохранения, удовлетворяющих условию ф» 1 ~ О д [и» ..., и»1 то мы назовем ее консервативной, в противном случае — неконсервативной. Итак, консервативная система (2) может быть приведена к виду дф[х, Ьи) + дф[х, С и) (8) дх где под ф, ф, р мы понимаем теперь векторы с и компонентами. Заметим, что систему типа (3) часто называют «диверзентной», иногда этот термин относят лишь к случаю г" = О.

Получим уравнения, которые служат для определения всех законов сохранения системы (2), т. е. функций ф, ф. для этого 38 ГЛ. !. СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ умножим систему (2) на вектор а = и(х, 1, и) = (а!, ..., ал) и потребуем, чтобы результат имел форму (1). Приходим к уравнениям а' д ' ~ ага!!= д (!=1 ..., и) л Р= ~ а,.Ь,+ ф,'+ ф„', (4) для которой легко устанавливается, что система (5) не имеет нетривиальных решений (см. Б. Л. Рождественский [1959а)).

2. Законы сохранения газовой динамики. В качестве примера (см. Б. Л. Рождественский (1957)) рассмотрим систему уравнений газовой динамики в лагранжевых координатах (гл. 2, $2, п. 8), которую запишем в виде — — — =О, — + ' =О, — =О. ду ди ди др(У, Я дх д! дх ' д! дх ' д! (1) Поставим вопрос об отыскании всех законов сохранения этой системы уравнений (очевидно, система (1) уже записана в виде законов сохранения и является поэтому консервативной).

Исключая из этих уравнений величины аь получим систему, в которую входят лишь две неизвестные функции ф(х, !, и), ф(х, !, и): л д Ха(!(х' г' и) д (!=1, 2, ..., и). (5) / ! Переменные х, ! входят в коэффициенты этой системы как параметры. Множество линейно независимых решений системы (5) определяет множество независимых законов сохранения системы (2). Если система (2) линейна или полулинейна, то она консервативна. В самом деле, в этом случае А = А(х, () и система (5) имеет п независимых решений: фх(х,г, и)=и„фх(х, (, и)=а„(х, !)и, (й=1, ..., а), При п ( 2 система (5) является либо недоопределенной, либо определенной и имеет бесчисленное количество решений.

При и ~ 3 система (5) переопределена и не имеет, вообще говоря, ни одного решения ф, ф, которое зависело бы существенно от и. Доказательство этого утверждения можно получить на примере системы — +и — =Π— +и — =О ди ! ди, дих дих д! хдх ' д! здх й а. консеРВАтиВные системы кВАзилинеиных уРАВнений 99 Будем предполагать, что давление р = р( у', Я) является дважды непрерывно дифференцируемой функцией удельного объема Г и энтропии 5. Для системы (1) выпишем соответствующую ей систему уравнений (5.1.5) относительно ф = ф( р; и, 5) и ф = ф ( р', и, 3): — =Р ()г Я— др (2) дф дф ди д(г ' (4) Будем искать дважды непрерывно дифференцируемые функции ф, ар, удовлетворяющие системе уравнений (2) — (4), Комбинируя равенства (2) и (4), получим Р,'()', 5) дУ вЂ” Р',()г, 5) дд =О, что означает функциональную зависимость при фиксированном переменном и величин ф, р, т.

Характеристики

Список файлов книги