Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Каждое из уравнений (3) может быть проинтегрировано. В самом деле, если обозначить через х = х»(хо, !о, т) решение задачи дх» — =$»(х», т), х»~ „=хо, д - д то выражение — + $» — есть оператор дифференцирования по переменному ! в направлении характеристики х= х»(хо,!о,!); поэтому Г (х, !) = Г' (х, (х, (, О)) + ~ д» (х» (х, г, т), т) Г(т, (4) О 5 а постАыовкА 3АдАчи кОши где г', равны, в соответствии с (3.1.2), г0А (х) =1' (х, О) й (х) = 1" (х, О, й (х) ) й (х). Ввиду гиперболичности системы (1) матрица ((1,)) неособая, поэтому из (4) может быть определена и(х, (): ии (х, () = !(„(х, () г, (х, (), 1(„= 1(,„(х, (, и (х, ()) (см. формулу (3.1.4) ). Однако решение и(х, !) нам неизвестно и, следовательно, неизвестны величины 1А, $», (А.
Поэтому, за исключением простейших случаев, построение решения и(х, 1) не сводится к указанной несложной процедуре, а требует применения метода последовательных приближений. Пусть в полосе О ( ( ~ )А известно приближенное значение (в и(х, !) решения задачи Коши (1), (2). Тогда мы сможем оп(и) (8) (!) -и ределить величины 1, $А, (А и указанным выше способом (и+!) найти следующее приближение и (х, 1). ('(-!) Таким образом, приближение и (х, !) можно рассматри(и) вать как результат применения к и (х,() некоторого оператора Т: (8+!) (и) и (х, () =Ти(х, !).
Этот оператор является нелинейным н содержит операции дифференцирования по х, ( и интегрирования вдоль характеристик. Решение и(х, 1) задачи (1), (2) при таком подходе удовлетворяет уравнению и (х, 1) = Ти(х, 1), которое, очевидно, символически описывает задачу Коши (1), (2). Для доказательства сходимости последовательных прибли(и) жений (и(х, 1)) прежде всего необходимо установить их равномерную ограниченность в некоторой полосе О ( 1 < 1(). После этого доказательство сходимости сводится к установлению полной непрерывности оператора Т (т. е. того, что он отображает всякое ограниченное множество в компактное).
Наконец, показывается, что предел обладает нужной гладкостью и является Решением нашей задачи. Обычно этот последний этап связан (8) с исследованием последовательности производных — . Эти ди дх ' вопросы детально изучаются в следующих двух параграфах. Гл. ь системы квлзилинепных уелвнвнип Первые результаты по существованию и единственности решения задачи Коши были получены методом Коши — Ковалевской для систем уравнений типа Коши — Ковалевской в предположении аналитичности входных данных задачи Коши. Эти обременительные ограничения снижают ценность полученных результатов, так как задачу Коши для уравнений гиперболического типа желательно рассмотреть при минимальных требованиях гладкости входных данных. Г.
Леви (1927) показал, что, по существу, решение системы линейных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными сводится к решению задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта работа положила начало классическому методу характеристик *). Мы кратко изложим здесь результаты, полученные в последнее время в вопросе о разрешимости задачи Коши для систем уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными. К.
О. Фридрихе (1948) рассмотрел вопрос о существовании и единственности решения задачи (1), (2) для систем линейных, полулинейных и квазилинейных уравнений. Для линейной системы К. О. Фридрихс предполагает непрерывную дифференцируемость (е(х, 1), липшиц-непрерывность ~а(х, 1) и непрерывность ) (х,1, и)=)а(х, 1)+)а(х, 1)и,, При этих условиях он устанавливает существование решения в ш и р о к о м с м ы с л е в предположении лишь непрерывности ие(х) (понятие решения в широком смысле будет рассмотрено в $7).
Для системы квазилинейных уравнений Фридрихс требует, чтобы 1», $ енС„ 1а я Сь и'(х) ен Сз. При этом доказывается существование решения и(х, 1)~ Сз. Р. Курант и П. Лакс (19491 пользуются представлением продолженной системы в инвариантах. Несмотря на изящество доказательств, в этой работе делаются более жесткие предположения о гладкости входных данных. Так, например, от начальных функций и'(х) требуется существование третьих производных. В работах А. Дуглиса (1952] и Ф.
Хартмана и А. Винтнера (19521 решение задачи (1), (2) строится в предположении непрерывной дифференцируемости входных данных, А. Дуглис строит решение сначала для более гладких входных данных; указанные входные данные рассматриваются с помощью предельного перехода.
Ф. Хартман и А. Винтнер строят решение при указанных предположениях непосредственно методом характеристик. Существенную роль в их построении играет лемма 2, которая приводится в следующем пункте. '1 Для одного уравнения метод характеристик омл развит раньше. $ К ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ КОШИ и пусть при О Г(1, ~ А (1)!( »А, ~ В И 1 ~( В Уо ~ О. Тогда при 0 ((1 имеет место оценка Пи(1)П(» гпах Пи(т) П(»(7,еа'+ у(еа' — 1). о<«~г (2) Итак, минимальное требование к входным данным, при котором в настоящее время доказаны существование и единственность решения и(х,г)~ Сь — это требование их непрерывной дифференцируемости.
К этому следует добавить, что, как показывают простейшие примеры, решения и(х,1)енС, не существует, если входные данные недифференцируемы. Заметим, что некоторые теоремы существования могут быть получены как специализация на случай двух независимых переменных более общих теорем. Так, например, в работах И. Г. Петровского (1937), С. А. Христиановича (1937] были получены общие результаты, из которых, в частности, вытекают теоремы существования для интересуюшего нас случая.
Отметим, однако, что при этом требования, предъявляемые к входным данным, естественно, завышены. Наконец, сделаем несколько замечаний по поводу изложения этих вопросов, принятого в этой книге. Задача Коши для линейной системы изучается на базе работы К. О. Фридрихса; теорема существования доказывается при тех же предположениях. Для систем квазилинейных уравнений за основу принят метод характеристик в изложении Ф. Хартмана и А.
Винтнера. Несколько существенных деталей отличают, однако, наше изложение. Упомянем некоторые из них. Доказательство ограниченности последовательных приближений и их производных обычно весьма громоздко в методе характеристик. Оценки роста с помощью «мажорантной системы», употребляемые нами, по существу, значительно упрошают и делают более общими эти оценки, избавляя от необходимости арифметического подсчета.
Другое отличие нашего изложения состоит в доказательстве равномерной сходимости в области определенности б не только последовательных приближений, но и последовательностей их первых производных. 5. Две леммы. Л ем ма 1. Пусть непрерывная на отрезке О (1( (ь вектор- функция и(1) = (иь ..., и„) удовлетворяет неравенству Пи(1) П~(11ь+ $ 1А(т)+ В(т) гпах Пи(П)П)дт, (1) ьк;ь<« 1 е ЗАдАчА кОши для линейнОЙ и полулинеинои систем 55 Доказательство. Вычислим, например, производную —. дг дх Имеем: [1(х+ Ьх, 1) — 1(х, 1)]= о — — ~ ~и(х+Ьх, 1, г) до(х+Ьх, Ь т) до(х, Ь т)) — Ьх 3'1 дт д дх о о и (х+ Ьх, Ь т) — и (х, Ь х) до (х+ Ьх, Ь х) Ьх дх о $7. Задача Коши для линейной и полулинейной систем 1. Существование и единственность решения задачи Коши в широком смысле.
Рассмотрим полулинейную систему д, +А(х, 1) д =6(х,г, и), (1) и пусть система дг дг, — + $А(х, 1) — — ЯА(х, 1, г) есть запись системы (1) в инвариантах. Пусть на некотором отрезке [а, Ь] оси 1=0 для системы (1) заданы начальные условия и(х, О) =ио(х). (3) Заметим, что отрезок [а, 6] может быть неограниченным. Обозначая г' (х) = 1А (х, О) и'(х), получим начальные условия г(х, О) = го(х) (4) (2) для системы (2), о + Ь ~ и (х, 1, т) дт [о (х+ Ьх, 1, т) — О (х, 1, т)] ит. 1 д а Производя в последнем интеграле интегрирование по частям и переходя к пределу при Ьх — О, получим — = и(х, 1, 1) о„(х, 1, 1) — и(х, 1, О) о„(х, 1, О) + + ~ [и„ (х, 1, т) о, (х, С т) — и,(х, 1, т) о„(х, 1, т)] с(т. (3) о Формула (3) доказывает лемму 2 и одновременно дает правило для вычисления производных функции ! (х, 1).
ГЛ. 1. СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ (7) Предположим, что функции А, $», 1»~С1 в 6 (напомним, что 6 обозначает область определенности нашей задачи), 1», — еи Со в области 6 Х (и ! — оо < 1! и!~ < оо), ио(х) ~ С, на [а, Ь], д(» дно де» Тогда д», — ~ Со в области 6Х(г ~ — оо< 1~ г!| < оо), го(х) ~ Со на (а, б!. Непрерывные в 6 функции г(х,() называются решением за- дачи Коши (2), (4) в широком смысле, если г(х,0) = го(х) и каждая из функций г»(х,() непрерывно дифференцируема по переменному 1 вдоль соответствующей характеристики х = = х» Я, с, 1), причем — „, г»(х»($, т, 1), 1)=д,(хм 1, г(х», 1)). и (5) Вектор и(х, (), полученный из вектора г(х, 1) по формулам (3.1.4), будем называть решением в широком смысле задачи Коши (1), (3). Докажем единственность решения в широком смысле. Пусть в 6 существуют два решения в широком смысле и(х, 1) и й(х,1) задачи (1), (3). Им соответствуют два решения в широком смысле г(х,1), г(х,() задачи (2), (4).
Введем разность о (х, 1) = г (х, () — г (х, 1) (о (х, О) = О). (б) Вычитая из уравнения (5), записанного для функции г(х,(), это же уравнение, записанное для г(х,1), получим д»(»йт00 =д»(х», 1) о (х», 1), где через д" (х, 1) обозначены величины 1 д»(х, 1) = ~ —,' (х, 1, г (х, 1) — А,в (х, 1)) д)о. о Согласно определению решения в широком смысле, функции г, г, о непрерывны в 6.
Поэтому функции р» — непрерывны в 6 и ограничены в любой полосе 0(1( 1». Интегрируя уравнение (7) по 1 от 0 до т с учетом условия (5), получим о»(е, т) = $ д~~(х», () о (х, 1) д1 (Уг 1, ..., и), о Ввиду ограниченности матрицы ((д»)) отсюда после примене- ния леммы 1 из $ б следует, что всюду в 6 '1 о (х, 1) 1 = 0 о к 3АдАчА коши для линвинои и полулинвйнон систем 57 и, следовательно, г(х, 1) = у(х, 1), и(х, 1) = — й(х, 1), Теорема доказана. Из этой теоремы, конечно, следует, что единственно также и классическое, т. е. непрерывно дифференцируемое, решение задачи Коши.
Докажем существование решения в широком смысле для линейной системы. Решение задачи (2), (4) для линейной системы будем строить методом последовательных приближений. Пусть у (х, 1, г) =д»(х, 1)+ д»(х, ()г„. Согласно формуле (5) решение г» удовлетворяет уравнению г» (х, 1) = га (х (х, 1, 0)) + ~ д~(х» (х, 1, т), т) ((т+ о + ~ д»(х» (х, 1, т), т)г (х (х, 1, т), т)((т. (8) о Применяя метод последовательных приближений, положим (о+ и [а) ( (и г (х, () = г„(х, 1) + ) д~ (х (х, 1, т), т) г, (х (х, Е, т), т) ((т (9) а (З=О, 1, ...), где [а) г» (х, 1) =г",(х, (х, (, 0)) + ) у (х (х, 1, т), т) ((т.
а (о+ !) Отсюда видно, что г» (х, 1) определены и непрерывны в 6 и имеют непрерывную производную по ( в соответствующем характеристическом направлении. Докажем равномерную сходи(м мость последовательности (г (х, 1)). Из формулы (9) следует (84.!) [и ( (А) О-П г (х, 1) — г (х, 1))1~(В~ впр1 г — г 1((т, (10) о где через 6, обозначено пересечение 6 с полосой 0 ~ [ ( т, а  — константа, ограничивающая в области 6 норму матрицы М)). Обозначая (и )! (о+ и (5) 1/(1)= вцр 1 г» (в, т)) — г»й т))1!» и, !вяо( 58 ГЛ. 1.
СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ запишем (1О) в виде 'У) (() ( (В ~ 'У' (т) Ж. О Тогда (В!)в ") )в(!)( —,')в(!)-~0 при з- свв, (в) и, следовательно, последовательность (г (х, У)) равномерно сходится к непрерывной функции г (х, 1 ), если область 6 конечна по переменному й Если же область 6 бесконечна по й то после(!) довательность (г(х, 1)) равномерно сходится в любой ее конеч* ной (по !) подобласти 61,. Переходя в равенстве (9) к пределу при з-) со, получаем, что г(х, !) удовлетворяет уравнениям (8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
