Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 9
Текст из файла (страница 9)
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ КОШИ водные р, д функции и(х, 1) однозначно определяются на линии 2' из условий (1). Пусть теперь и(х, 1) я Сг,' х(т), 1(т), и'(т) я См 1», э», 1» я С,. Если и = и' на Ы, первые производные и(х, 1) удовлетворяют на 2' уравнениям (6.1.1), а вторые производные и(х,1) удовлетворяют на Ы дифференциальным следствиям системы (6.1.1) (т. е. уравнениям, полученным формальным дифференцированием системы (6.1.1) по переменным х, 1), то при соблюдении условий (4) на Я однозначно определяются также и вторые производные и(х, 1). Точно так же, если выполнены условия (4), можно определить на 2' производные любого порядка а» функции и(х, 1), если выполнены условия (1) и, кроме того, все производные и до порядка т включительно удовлетворяют на 2' всем дифференциальным следствиям уравнений (6.1.1) до порядка т включительно.
При этом, конечно, входные данные должны быть достаточно гладки. Заметим, что, как нетрудно сообразить, в этих рассуждениях достаточно говорить ие о всех дифференциальных следствиях, а лишь о тех, которые получаются дифференцированием уравнений (6.1.1) в каком-либо фиксированном направлении, не со. впадающем с направлением кривой 2' (так называемом выводяи(ем направлении). Таким направлением является, например, направление нормали. Подобная процедура определения производных может быть продолжена как угодно далеко, если входные данные аналитичны, и позволяет построить для таких данных аналитическое решение задачи (6.1.1), (6.1.2).
Это обстоятельство составляет аналитическую основу хорошо известного метода Коши — Ковалевской. Если при всех й = 1, ..., и на кривой 2' выполнены условия (4), задачу Коши будем называть нормальной. Кривую Ы, заданную в пространстве л+ 2 переменных х, 1, и уравнениями х = х (т) 1=1(т) и =и'(т) (5) называют характеристикой номера й» системы (6.1.1), если на этой кривой выполнено равенство — ""~ = — — ",1') =~,( (),1(), "()). (6) Е случае, когда на Я совпадают несколько характеристических значений Э», кривая я может оказаться характеристикой сразу нескольких номеров /г. Иногда мы будем называть характеристикой также и проекцию кривой (5) на плоскость переменных (х,1), имея, однако, в виду выполнение на ней равенства (6).
ГЛ. Ь СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕННЫХ УРАВНЕНИИ 46 Пусть кривая 5." в условиях задачи Коши — характеристика номера йш Левая часть уравнения системы (3), соответствующего й = йа, обращается тогда в нуль. Если при этом правая часть этого уравнения )а (т) не обращается тождественно в нуль, то система уравнений (3) вообще не имеет решений. Поэтому не существует функции и(х, 1)~ С„принимающей на м. заданные значения и'(т), которая удовлетворяла бы на Ы' системе (6.1.1). Тем более не существует решения и(х, 1)~ С, задачи Коши (6.1.1), (6.1.2).
Таким образом, если начальная кривая — характеристики, то начальные условия (6.1.2) и система (6.1.1), вообще говоря, противоречат друг другу, и задача Коши неразрешима*), Чтобы задача Коши имела смысл и в этом случае, необходимо потребовать, чтобы у (т) = — О. Итак, если начальная кривая есть характеристика номера йа, то начальные данные нельзя задавать произвольно; они должны удовлетворять условию "1а (т)=Г'(т) )а (х(т), 1(т), и'(т)) — (а (х(т), 1(т), паф) — =О, (7) которое называется условием разрешимости. Пусть начальная кривая Ы вЂ” характеристика номера йа и выполнено условие разрешимости (7).
Тогда система (3) совместна, но имеет бесконечно много решений. Следовательно, решение и(х, 1) задачи Коши не определяется однозначно начальными условиями (6.1.2) и существует бесконечно много решений системы (6.1.1), удовлетворяющих одним и тем же начальным условиям. Таким образом, мы приходим к общему определению характеристики системы (6.1.1); Характеристикой называется такая кривая ж., для которой задача Коши либо неразрешима, либо разрешима, но не единственным образом. Для однозначного определения решения и(х, 1) в случае, когда кривая х — характеристика и выполнены условия разрешимости, можно поставить некоторые дополнительные условия, Примеры таких задач рассматриваются в $11.
С задачей Коши связан вопрос о продолжении решения и(х, 1) через кривую с'. Пусть решение и(х, 1) ен С, известно по одну сторону от кривой 2' и его требуется продолжить по другую сторону. Эта задача сводится к задаче Коши с кривой х". в качестве начальной. ь) Иэ этого рассмотрения следует другое определение характеристики как кривой .У, на которой линейная комбинация уравнений рассматриваемой системы содержит лишь внутренние производные, т.
е. производные по параметру т в направлении кривой 2'. 4 а постАИОВкА 3АдАчи кОши Если Ы не является характеристикой, то эта задача Коши нормальна и вопрос о продолжении решения решается однозначно. При этом из условия непрерывности продолжения следует непрерывность всех производных и(х, 1), которые существуют на линии Ы, в частности, следует, что и(х, 1)~ Сь Если же кривая 2' — характеристика, то соответствующая задача Коши тем не менее разрешима, ибо условие разрешимости (7), очевидно, выполнено (так как и(х, 1) — решение по одну сторону от .У). Однако решается она неоднозначно. Рассмотрим, например, непрерывное продолжение. Как мы видели, значения и(х, () на кривой 2' не определяют однозначно ее первых производных р, д; поэтому непрерывное продолжение решения с разрывом первых производных на характеристике Я возможно бесчисленным множеством способов.
Если же потребовать непрерывности на Ы первых производных, то разрыв могут испытывать производные более высокого порядка, так что и в этом случае продолжение определяется неоднозначно. Итак, характеристика — это линия, через которую решение продолжается неоднозначно. Задача продолжения решения и(х, 1) через характеристику .Р однозначно разрешается лишь в случае аналитических решений, как, очевидно, всякая задача об аналитическом продолжении функции. Теперь основное внимание уделим нормальной задаче Коши.
Преобразованием переменных х' = х'(х, 1), 1' = 1'(х, 1), переводящим кривую Ы в отрезок оси 1' = О, общая задача сводится к задаче Коши специального типа, с начальными условиями, заданными на оси ( = 0: найти решение и(х, 1) системы (6.1.1), удовлетворяющее начальным условиям и(х, 0)=и«(х), а~(х(Ь. (8) Из ограниченности величин з«следует, что такая задача Коши нормальна. Мы будем решать задачу Коши (6.1.1), (8) лишь в полуплоскости 1) О. Построение решения и(х, 1) в полуплоскости Т ( 0 проводится аналогично. 3.
Область зависимости и область определенности. Понятие о корректности задачи Коши. Пусть известно решение и(х,1) системы (6.1.1), принимающее начальные значения (6.2.8). Через точку,Ж = (х«, 1«) полуплоскости ( ) 0 проведем характеристики х = х«(х', Т«, т), заданные уравнениями и« вЂ” «=а«(х«, т, и(х«, х)) (й=!, 2,..., п), до пересечения их с осью 1 = О. Пусть они пересекают ось 1=0 в некоторых точках, крайние из которых обозначены а' и Ь' 48 ГЛ.
!. СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕН!!И (а' ( Ь') (рис. 1.2). Отрезок начальной оси 1 = 0 а' ( х ( Ь' называется областью зависимости решения и(х, 1) в точке Ж. Областью определенности 6 решения задачи Коши называют часть полуплоскости 1) О, состоящую из всех точек (х,1), для которых область зависимости а' ( х ( Ь' принадлежит начальному отрезку [а, Ь], т. е. [а', Ь'] ':-' с= [а, Ь]. Наконец, областью влияния отрезка а' ( х ~ Ь' начальной оси называют область 6' полуплоскости 1 = О, состоящую из всех точек (х,г), область зависимости которых имеет непустое пересечение с отреза а' Ь' Ь а' ком [а', Ь'].
Рас. 1СЬ Поскольку характеристики си- стемы могут быть найдены лишь одновременно с решением и(х,1), определение области определенности представляется трудной задачей. Дело обстоит значительно проще в случае полулинейной системы, когда е» = = $»(х, 1). В этом случае область определенности О задается условиями О: 1) О, Х„(1) ч-х~(Х! (1), где через Х!(1), Х„(1) обозначены решения дифференциальных уравнений — !пах Ц, (Х„(1), 1)), — '1) = ппп 5~ (Х! (1) 1)] » !, ..., » и! » !, ..., » принимающие при 1 = О значения Х„(0) = а, Х! (0) = Ь. В случае системы квазилинейных уравнений априорное определение О затруднительно. Однако, если известно, что 11 и(х, 1)[[ » (У, то справедливо утверждение: Ос=;О где О:1>О, Х„(1)<х<Х,(1), — тах шах (з»(Х„(1), 1, ио Х»(0) =а »-!,..., » 1»1~о — ппп т1п Я»(Х!(1),1, ио, Х,(0)=Ь.
» !, ..., » !!»1~У Задачу Коши называют корректной или корректно поставленной, если ее решение и(х,г) существует, единственно и непрерывным образом зависит от входных данных. Разумеется, вопрос о метрике, в которой имеет место непрерывная зависимость, зависит от классов рассматриваемых решений и входных $ О ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ КОШИ 40 — + А — =О. ди ди дГ дх (1) Инварианты » а а (2) удовлетворяют уравнениям дг» дг — +Ь д — — о (Ь=1,..., а), Рис. 1.3.
т. е. система (1) распадается на а независимых уравнений. Характеристики системы (1) — прямые х = х„= хо + з 1. Следовательно, область определенности решения задачи Коши для системы (1) есть треугольник б: 1~0, а+$„1-=.х~Ь+$А а область зависимости решения в точке я'(х, 1) есть отрезок [а', Ь') оси 1= 0, где а'= х — $„1, Ь'=х — $,1 (рис. 1.3). Функции г»(х, 1) легко определяются: г» (х, 1) = 1» (х — $»1), где )» — произвольные функции.
Если поставлены начальные условия и (х, 0) = ио (х), то, согласно (2), г,(х, 0) =1»ио(х) =г',(х) Отсюда г, (х, 1) = го (х — Ц 1) 1»ио (х — $,1) = 1»ио (х — $»1). Возвращаясь по формулам (2) к функциям и, получим Из этой формулы непосредственно вытекает непрерывная зависимость решения задачи Коши системы (1) с постоянными коэффициентами от входных данных — матрицы А и начальных функций и'(х). данных и решается в каждом из этих классов по-разному.
При доказательстве теорем существования решения задачи Коши будет указано, в каком смысле имеет место непрерывная завчсимость решений от входных данных, Поясним введенные понятия на примере линейной системы с постоянными коэффициентами: Гл. ь системы кВАзилинеяных уРАВнения 4. Метод характеристик и обзор результатов. В Я 7, 8 будет подробно изложено применение метода характеристик к доказательству основных теорем о разрешимости задачи Коши. Здесь мы лишь кратко опишем идею метода характеристик с тем, чтобы читатель, не интересующийся деталями, имел представление о методе характеристик и полученных результатах, не читая доказательств соответствующих теорем.
Пусть для системы (х, 1, и)~д! +»»(х ! и) д 1=!»(х' !' !4 (1) поставлены начальные условия и(х, О) =ио(х) (2) Для простоты считаем, что а = — со, Ь = оо; величины 1», 5», (», и' предполагаем достаточно гладкими функциями своих переменных. Допустим, что в полосе 0 < ! ='(о известно гладкое решение и(х, !) задачи (1), (2), Функции 1" (х, !)=1»(х, (, и(х, !)), $»=$»(х, (, и(х, !)), 1»=)»(х, (, и(х, !)) можно тогда считать функциями переменных х, 1, а систему (1) рассматривать как систему линейных уравнений и записать ее в инвариантах: дг дг — „+$» — „=а~(~, !) (3) Здесь функции я»(х, !) выражаются через и(х, !), 1»„1», й» и первые производные от 1».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
