Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Для этого уравне кия доказаны существование, единственность и непрерывная зависимость обобщенного решения от входных данных, показана эквивалентность определений обобщенного решения с точки зрения закона сохранения, с одной стороны, и как предела «вязких решений», с другой. В то же время, как и в газовой динамике, изучение обобшенных решений систем уравнений наталкивается на большие трудности, и здесь получены пока лишь весьма скромные ре. зультаты. Основная задача, которая подвергается сейчас все. стороннему исследованию, — это задача о распаде произволь. ного разрыва.
С помощью этой простейшей задачи можно изу. чить структуру обобщенного решения, а для случая системы из двух уравнений, опираясь на нее, можно даже построить обоб. щепные решения. Следует отметить, что в последние годы усиленно изучаются и более общие задачи для системы квазилинейных уравнений. вввдвнив В главе 4 изложены основные результаты, полученные для одного квазилинейного уравнения, рассмотрена задача о рас. паде разрыва для произвольной гиперболической системы ква. зилинейных уравнений, и приведены некоторые результаты, относящиеся к более общим случаям.
В заключение этой главы описан ряд задач из различных областей науки, связанных с теорией систем квазилинейных уравнений и, в частности, разрывных решений таких уравнений. Из сказанного выше должно быть ясно, что математическая теория разрывных решений систем квазилинейных уравнений н, в частности, уравнений газовой динамики, хотя и имеет много замечательных результатов и достижений, далека еще от сво. его завершения.
Мы надеемся, что наша книга даст читателю представление о современных методах решения и исследования систем квазилинейных уравнений и в то же время побудит его к дальнейшим исследованиям в этой интересной, быстро раз. вивающейся области прикладной математики. Книга разделена на главы, параграфы и пункты, Нумерация формул — самостоятельная в каждом пункте, поэтому при ссылках наряду с номером формулы указывается номер пункта и номер параграфа, так что формула (2.7.18) означает формулу (18) в пункте 7 5 2 данной главы.
Лишь в случае, когда ссылка не выводит за пределы данного пункта, указывается только ио. мер формулы. Глава 1 Основы теории систем квазилинейных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными й 1. Основные определения В этой книге мы ограничиваемся рассмотрением дифференциальных уравнений для функций, зависящих лишь от двух независимых переменных. Система соотношений ди, ди„дш ди„к У (х 1,и~,и ... и —, ...,—,—,...,— )=0 дх ' '''' дх ' д~ ''''' дЬ ) ((=1, 2, .... пь), связывающая значения неизвестных функций и, (х, (), иэ(х, 1),... ..., и„(х, () и их первых производных— дие — называется системой дифференциальных уравнений первого порядка относительно функций ио ..., и„.
Система (1) называется определенной в случае т=п. Мы ограничиваемся рассмотрением только этого случая. Вводя векторы и=(ио ..., и„), можно записать систему (1) короче: У~(х, Г, и, д„. ~",)=О ((=1, 2, ..., и). (2) Функции ьи = ьи(х, Г), обладающие непрерывными первыми производными и удовлетворяющие уравнениям системы (2), называются решением этой системы уравнений. Если систему нелинейных дифференциальных уравнений (2) удается представить в форме, разрешенной относительно производных функций иь ..., и, по какому-либо переменному (например, 1): — =сР,(~х, У, и, д ) ((= 1, 2, ..., п) (3) з к. основныв опгедвлвния 17 то такую форму системы (2) называют нормальной формой.
Систему (3) называют системой типа Коши — Ковалевской. Заметим, что при приведении системы (2) к нормальной форме допускается преобразование переменных х, й Система (2) называется системой квазилинейных уравнений, ди ди если функции У к линейны относительно величин †, — если дх' д| ' ди же функции У к линейны по совокупности переменных и, дх ' — то система (2) называется линейной. ди д| ' Система квазилинейных уравнений первого порядка может быть записана в виде О ан д| + Ьк| д„=с (к=1, 2, ..., и), (4) ди| ди | ! где коэффициенты ан, Ьу, ск зависят от х, 1, и.
Если коэффи- циенты ан, Ьн не зависят от и, то система (4) называется полу- линейной (если при этом ск линейно зависят от и, то она ли- нейна). Можно несколько упростить запись системы (4), если ди ди ввести в рассмотрение определенные выше векторы и, —, —, дк' дк вектор с = (с„..., си) и матрицы ап...аь ~ А = = ((ак|)) В = ((Ькк)) а„, ...а„„1 При пользовании матричными обозначениями полагают, что символы Аи и иА означают векторы, компоненты которых вы. числяются по правилам: (Аи)» = 2 ащир (иА), = ~ а|„и| —— (А'и)» (5) (й = 1, 2, ..., и), где А' — транспонированная матрица. Если матрица А симметрична, то А' = А, и Аи=иА. Ниже мы будем рассматривать действительные матрицы и векторы.
Скалярное произведение векторов и, в задается формулой ив=(и, о) = ~ икок. к-! Поэтому из формул (5) следует о (Аи) = (оА) и = оАи, 1В гл. ь системы квлзнлинеиных ичвнении Под нормой з и йвектора и мы будем понимать величину 'Зи) = ~/(и, и) = г~/ ~„ие Нормой матрицы А назовем наименьшее число ~~ А ~~, которое для любых векторов и удовлетворяет неравенству ~! Аий~(~! А !П!и)).
Нетрудно видеть, что 1!А~1= 1/Х, где Х вЂ” наибольшее собственное значение матрицы АА' (или А'А, что то же). Так как Х < Ьр АА', то 'з А !1~~ 2 ан с/-1 Напомним еше несколько определений линейной алгебры. Вектор 1= (1ь ..., 1,) и число $ называются соответственно левым собственным вектором и собственным значением матрицы А, если 1А = К ~) 1)~ Ф О.
(б) Аналогично, вектор г называется нравьзм собственным вектором матрицы А, если Аг = $г, '1' г 1' Ф О. (7) Согласно формулам (б), (6), собственное значение ~ матрицы А является корнем характеристического уравнения Пе1 Иац — $би)) = О, (8) где бн — символ Кронекера (би = 0 при (Ф1 и бн = 1 при 1= 1).
Каждому собственному значению $ матрицы А соответствует линейное пространство левых собственных векторов и правых собственных векторов г. Размерность этих пространств равна и — (1, где и — ранг матрицы А — сЕ = ((аи — ~бн)). (й) Ранг матрицы (9), как известно, не меньше, чем и — а, где ив кратность корня с уравнения (8). Предположим, что собственные значения $ матрицы А вещественны. Занумеруем их в порядке возрастая~ни, т. е. будем считать, что 11<52<" <$' (10) Знак равенства в (10) допускается ввиду возможности крат~ ных корней уравнения (8), а каждый кратный корень С повтс1. рвется в (10) столько раз, какова его кратность.
э ь основныв опгвдялвния 19 Если для любого собственного значения й матрицы А кратности а ранг матрицы (9) равен и — а, то собственные векторы, как левые 1, так и правые г, отвечающие всем собственным значениям, образуют базис в пространстве Е.. Итак, в этом случае мы можем считать, что существуют собственные векторы 1', 1», ..., 1», образующие базис в пространстве Е„, т. е. удовлетворяющие условию 1~ ...1„' 1» 1» бе( Л = 6 е1 ((1~ )) = 6е1 Ф О. (1 1) Индекс левого собственного вектора 1» при этом соответствует номеру собственного значения 5»', последние упорядочены с помощью неравенств (10).
Если в» Ф 5, то 1» и г~ ортогональны. В самом деле, пусть 1»А =К~1», Агг=$ г~. (12) Скалярно умножая первое из равенств (12) на г~, второе на 1» и вычитая, получим ($» — Ц) 1~г~ =(1»А) гг — 1» (Аг~) = 1» (Аг~) — 1» (Аг~) = О, (13) Так как $» Ф $ь отсюда следует ортогональиость 1», г~. В случае, когда все собственные значения матрицы А просты, знак равенства в неравенствах (10) исключается и левые и правые собственные векторы образуют биортогональную систему, т. е.
1"г~= ',»„1~~г~ =0 при й Ф 1. (14) » ! Если матрица А симметрична, то можно считать, что г» = 1». Потребуем, чтобы левые собственные векторы 1» матрицы А Удовлетворяли условию нормировки: '» 1» 'з = 1 (й = 1, ..., и). (15) Тогда, если для любого собственного значения 5 = 5» ранг матРицы (9) равен и — а, собственные векторы 1» образуют нормированный базис в Е„и удовлетворяют, конечно, условию (11); если при этом матрица А симметрична, то базис (1») может быть выбран ортонормированным. Матрица А называется неособой, если э = 0 не является ее собственным значением, и особой — в противном случае.
Ограничившись этими краткими сведениями из линейной алгебры, запишем систему (4) в виде А — +  — =с. ди ди д» дх (16) Гл. с системы кВАзилинейных РРАВнении 20 В случае, когда матрица А неособая, система (16) приводится к нормальной форме (3) и может быть после преобразований записана в виде ди ди — + А~ — =Ь, д1 дх где А1 — — А1(х, (, и), Ь = Ь(х, (, и) — некоторые новые матрица и вектор соответственно. В дальнейшем мы ограничимся изучением систем (16), приводящихся к нормальной форме (17). Выше мы сделали предположение о матрице А(х, 1, и) системы уравнений (16). Однако А зависит от и, т. е.
от решения, которое нам, как правило, неизвестно. Поэтому договоримся, в каком смысле мы будем делать предположения о коэффициентах систем (16), (17). 1) Либо мы будем считать, что решение и = и(х, () систем (16), (17) задано как функция переменных х, й Тогда выполнение тех или иных ограничений, накладываемых на матрицы А, В, А~ и векторы с, Ь, проверяется непосредственно. 2) Либо эти ограничения удовлетворяются тождественно (прп любых значениях и = (и„..., и„)) в некоторой односвязной области пространства (х, (, и), в которой будут рассматриваться система квазилинейных уравнений и ее решения. В этой главе мы будем накладывать ограничения в основном во втором смысле. й 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
