Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(д+ — о.)+ ь, (б+ — б';) = о, 84 ГЛ. Е СИСТЕМЫ КВАЗНЛИНЕИНЫХ И'АВНЕННИ системы квазилинейных уравнений гиперболического типа, распространяясь вдоль характеристики, не может ни возникнуть, ни исчезнуть, если только решение и его первые производные остаются ограниченными, В случае системы, гиперболической в узком смысле ($2, п. 2), характеристика х=х(!) является простой. Поэтому система (9) превращается в одно обыкновенное дифференциальное уравнение, Уравнения (9) носят название транспортных уравнений для слабого разрыва. Замечая, что У,+У+ — У„У = Ч,»1е+ У,пз+ Уь Ч„, системе (9) можно придать следующий вид; ( —.":,=:.
«ч» — „,'), =У,ч„+ У'„[ч,чз+ У,чз+ Уз ч,1 (10) (й=), !+1, ..., !+гп — 1). Система (10) нелинейна. Из нее можно сделать вывод, что величина слабого разрыва т) может стать бесконечной за конечное время. Действительно, например, для систем, гиперболических в узком смысле, система (10) превращается в одно уравнение типа Рикатти или типа Бернулли. Однако величины»)» обращаются в бесконечность лишь одновременно с У», У»+. Поэтому этот эффект не специфичен для слабого разрыва решения, а является следствием общего свойства неограниченного возрастания производных решения системы квазилинейных уравнений гиперболического типа.
Для системы двух квазилинейных уравнений, гиперболической в узком смысле, транспортное уравнение в форме (10) было получено Дж. Нитше (1953). Мы установили, что для системы, гиперболической в узком смысле, слабый разрыв отличен от нуля во всех точках характеристики. Следовательно, слабый разрыв решения задачи Коши возникает лишь в случае, когда начальные функции обладают разрывом первых производных. Произвольный разрыв производных начальных функций распадается на слабые разрывы, которые распространяются, вообще говоря, по всем характеристикам, выходящим из точки разрыва производных начальных функций, удовлетворяя на каждой условиям (9).
Иногда этот эффект называют распадением произвольного слабого разрыва, 2. Неограниченность производных. Градиентная катастрофа. Согласно п. 1 5 8 рост решения и(х, г) и его первых производных с увеличением ! оценивается с помощью решения мажорантной системы (8.1.2), (8.1.3). Эта система является нелинейной $ РХ ПОВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ РЕШЕНИЯ системой двух обыкновенных дифференциальных уравнений, и из нее непосредственно вытекает, что при достаточно большом значении 1) 0 величины У(»), »1(1), вообще говоря, одновременно обращаются в бесконечность.
Таким образом, оценка роста решения и его производных с помощью решения мажорантной системы приводит к выводу о том, что для произвольной системы квазилинейных уравнений гиперболического типа решение и(х, 1) и его производные р(х,1) с ростом г, вообще говоря, стремятся к бесконечности. Этот вывод относится к произвольной системе квазилинейных уравнений. Однако представляют интерес и частные классы систем квазилинейных уравнений, например, системы, решения которых остаются ограниченными при любых значениях переменного Д Таким свойством обладают, например, системы линейных уравнений, а также системы, приводяшиеся к инвариантам, т.е. представимые в виде дг» дт — „'+Ь вЂ”,„'=~~(~,1, ) (й=1, ..., ), (1) если при этом ~» не слишком быстро растут с ростом г, например, если при любых х, 0 г !"'- ,'~'~~С (й,)=1...
), ~l Нетрудно заметить, что решения г(х, 1) систем такого типа остаются ограниченными при любых значениях г, однако их производные тем не менее неограниченно возрастают по абсолютной величине, если Е»(х, г, г) сушественно зависят от г = = (гь ..., г,). Эффект образования неограниченных производных при ограниченности решения системы квазилинейных уравнений называют градиентной катастрофой.
Поясним зто простым примером. Рассмотрим однородную систему двух квазилинейных уравнений, коэффициенты которой ие зависят явно от х, й Она приводится к инвариантам и может быть записана в форме +е»(г) дх 0 (й=», 2), (2) д$» Предположим, что — ) О, и рассмотрим для системы (2) задг» дачу Коши с начальными условиями, поставленными на всей оси 1=0: г,(х, 0)=г»»(х), гз(х, 0)= г'(х)=г„'=сопз1, (3) 86 ГЛ. !.
СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Пусть гО (х) ~ С„~ гО (х) ~ ( М. Решение з адачи Коши (2), (3) сводится к задаче Коши для одного квазилинейного уравнения: — + $ (», г') — — О, г,(х, О) — г',(х). Согласно 5 9 решение г!(х, 1) втой задачи задается неявно формулой г (х, 1)=г'(х — $!(г!(х,1), гО) 1), дг! . Вычислим производную — : дх ' дг! (ХО) дг! дхО да! дг~! (хО) 1+ — (г! (х, !), гз) дг! (хО) где х х — $!(г!, г') ° О Отсюда следует, что при „< О дг! производная — монотонно убывает с ростом 1 на характеридх стике х=хО+ 6!(г„гО) ° 1 и при — 1 лг д >Π— й (~(.,).
О) становится неограниченной. д$» Таким образом, если — ~ О, то, как правило, производдг, ные решения г(х, 1) системы (2) с ростом переменного 1 неогра- ниченно (по модулю) возрастают. Для системы (2) эти же выводы можно получить более дг, формально. Обозначая рх = †, получим дифференцированием уравнений (2) (4) Вводя функции о !Р! (гн г,) = ехР1 — ~ — '(г!, »,) О(гз ( д$! дгО ' $О (г!, »О) — 6! (гь »О) (5) чЬО(гь гз)=ехР ) — '(г!, »з) 1 д$О 1 г„], дг! !' З ЕО(гь »О) — $! (гь »О) $!а пОВедение пРоизВодных Решения вт получаем из (4), (5), (2) следующие следствия: д д д2 (ф'~ 1) + ~' дх (ф'~ 1) д2 (ф2рз) + 22 дх (ф2'о2) д2 (фзрз) = — н2 (го Г2) (фхр22 аЮ,.
где н~ —— — ' /фь дг Продолженная система (6) исходной системы (2) легко позволяет судить об образовании градиентной катастрофы, а также об условиях, при которых в целом существует классическое д1 решение системы (2). Например, пусть — ) 0 при всех гь гз,. дк~ тогда из (6) следует, что если пипгп(п(р2(х, 0)) (О, к то производные решения системы (2) становятся неограниченными при конечном значении г ) О. Если при тех же условиях на систему (2) пинии'п(р2 (х, 0)) ) О, к в противном случае систему (10.2.1) будем называть сильно-нелинейной.
Согласно определению слабо-нелинейная система двух квазилннейных уравнений записывается в виде — + $, (х, 1, г2) — — ~1 (х, С го г2), дг1 дг1 — + 222(х, 1, г~) — — ~2 (х, 1, гн г2). (2) Заметим, что если — Ф О, — Ф О, то система (2) приводится д$~ д$2 дк2 ' дг1 к виду дг1 дк1 дк2 дг2 — + г2 — = )Н вЂ” + г, — = 22. д2 д» ' д2 дх то производные решения остаются ограниченными при любом 1) О, Следовательно, в этом случае существует классическое решение задачи Коши при любом 1) О. 3. Сильно- и слабо-нелинейные системы квазилинейных уравнений. Систему квазилинейных уравнений (10.2.1) будем называть слабо-нелинейной в некоторой области пространства переменных х, 2, г, если в этой области = — 0 ()2 = 1, 2, ..., П), (1) 88 ГЛ, Е СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ Р ) га (х, 1) ( ~= Я, (3) и система (2) — гиперболическая в узком смысле**), т, е.
$з(х, 1, г~(х, 1)) — е1(х, 1, гз(х, 1))>в >0 при 0<1<Т, (4) дг дга и функции $а, )а ~ Со Тогда производные —, — ограничены дх' д1 при ОК~1<Т, если они ограничены при 1=0, Доказательство, Решение г(х, 1) будем считать реше- нием задачи Коши для системы (2) с начальными условиями г (х, 0) = г' (х) ( — со < х < со), Согласно условиям теоремы ~,(е~са. $" о)/ск.
Пусть х = х,(1, хо) — уравнение характеристики системы (2) первого семейства, проходяшей через точку х = х, оси 1= О. Перепишем первое уравнение системы (2) в виде ( )= + $~ (х 1 га(х 1)) ~~ (х 1 г гз), дг1 Х дг~ дг~ дт )~ дт дх Если считать функцию гя(х,1) известной, то определение г1(х,1) сводится к решению задачи Коши для системы двух обыкно- венных дифференциальных уравнений — = ~~ (хн 1> гз (хн 1))ю (5) — =1,(хь 1, г„г,(х„1)) (г,=г,(1, хр)) (6) с начальными данными х, (О, х ) = х„г, (О, хо) = г', (х ), Если г1(1, хо) есть решение задачи (5) — (7), то формула г,(хз(1, хс), 1) =г, (1, х,) определяет решение г~(х, 1), (7) (8) ") Как мы отмечали, условие (3) будет выполнятьси автоматически, если ~ д)' ~;с.
") Нам достаточно выполнении условия (4) дли данного решении г(х, 1). Конечно, система (2) может быть гиперболической в узком смысле тождественно, т. е. при любых гь га. Мы покажем сейчас, что производные решения слабо-нелинейной системы (2) остаются ограниченными при любых значениях 1, если ограниченным остается само решение г(х, 1). Теорем а. Пусть решение г(х, 1) системы (2) ограничено* ) и и 0<1<Т: г !О, ПОВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ РЕШЕНИЯ 89 Обозначим х~(1> хо) — — х, (1, х,) д дхо и продифференцируем по параметру х, уравнение (5), Мы получим — '=( — Ц~(х, (, гг(х,1))]~ хг(г, хо).
(9) Так как то дг + гг дх = 1г(х 1. г) д$1 д1~ (10) где (г д,, ~г+ Еи+ ЕАх. Вычитая из (!О) равенство найдем дх Аналогично предыдушему получим (11) Преобразуем равенство (11) с помогцью тождественных преоб- разований: д~й 1~ — 1, дх Подставляя к виду это равенство М~ (й хр) хг(х, 0) — 1~ (х, г (12) + ь — й (г — ! Ь-4 Ь вЂ” 11 Фг — о1 + ( — „!и 1$г(х, 1, г1) — $,(х, х, гг))) . в уравнение (9), преобразуем его ,(,0)1х „,<, „„ (г-11 =1 -1,, огхх-х,(к хд 90 Гл. е системы ЕВАзилинеяных уРАВнения Из начального условия (7) имеем х,(0, хр) =1; поэтому, интегрируя уравнение (12) от 0 до (, получим хр(г хо)Г1»(х»,О, кР~(хр)) — 11(хо О,кр(х»)н (' 1 — ) [1» (х, Е к~ (х, ))) — 11 (х, Е кр (х, ))))к р $» — 1, о (13) Из предположений (3) об ограниченности решения и непрерывности функций )», [», $» следует, что сушествует число М > 0 такое, что [~,!<ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
