Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Так как и(хь хз) — произвольное решение (8), то оно, вообще говоря, зависит от одной произвольной функции одного аргумента. Поэтому утверждение доказано. Для отыскания ф мы должны решить переопределенную систему (!5) при ! =! илн 1 = 2, Здесь мы можем воспользоваться методом исследования совместности, рассмотренным в примере 2, для линейной однородной системы с одной неизвестной функцией, каковой является система (15).
4 !ь АнАлитические методы Выделения Решении ЮТ (17) М. Мартином [1953б], К. Ладфордом [1955], Ю. С. Завьяло- вым [1956] был проведен анализ совместности системы (7), (8) для частного случая Ь=!, а =О, а=[г(х!, х), (16) который находит применения в газовой динамике. Приведем результат, который получен в указанных работах. Для того чтобы система (7), (8) при условиях (16) была сов- местна и ее решения зависели от произвольной функции одного переменного, необходимо и достаточно, чтобы функция [(х!, хг) была представима в одном из двух видов: [= 1/Р (а!х!+ агхг), (! 8) где Р— произвольная функция одного аргумента, а!, аг — про- извольные константы.
Для этих ) (х!, хг) найдены <р (х,, х„и, р, д)! !Р = агР— ану -Ь д (а!х! + а,хг), если ) задана в виде (!7), и !р=-и — р (х!+ а,) — !)(хг+ аг) ~ 9("' "' ), если [ имеет вид (18). В обоих случаях 9(0) связана с Р(0) соотношением д'(О) = ~УР'(О). Наконец, если [= О, то !р=Ч'(р !)) Эти результаты были использованы М, Мартином [1953б], К, Ладфордом [1955] и Ю.
С. Завьяловым [1956] для получения обобщенных волн Римана (см. гл. 2, 3 9, п. 3). Пример 4. Рассмотрим также случай Ь = О задачи (7), (8), когда уравнение (7) заменяется линейным уравнением вто- рого порядка. В обозначениях (9) оно имеет вид анг + 2а!гз + аггг+ Ь р + Ьгд + с = О. (19) Мы будем рассматривать случай, когда коэффициенты ам, Ь|, с зависят лишь от хь хг.
Присоединенное уравнение (8) или (11) сужает класс реше- ний уравнения (19); мы хотим найти такие функции !р(х!, хм и, р, д), чтобы система (19), (11) была совместной п допускала функциональный произвол в решении. Для этого не- обходимо, чтобы система уравнений (13), (19), линейная отно- сительно вторых производных г, з, г, содержала не более двух 1ов ГЛ, Е СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ линейно независимых уравнений, Это требование приводит к двум однородным уравнениям для функции йе Чф, — ф,=О, (20) а1111ф„+ а 1р, +(ан11р+а д)ф„— (Ь1р+ Ь,9+ с)1р =О, (21) где Ч = Ч (х1, хз) — корень характеристического уравнения а,л' — 2а1тт) + аы = О. Уравнения (20), (21) будем рассматривать как переопределенную систему для ф.
Совместность этой системы исследуется с помощью образования скобок Пуассона (см. пример 2). Скобка Пуассона для операторов уравнений (20) и (21) приводит к уравнению для 1р: (а„— а„т)') 1р, + (а„т)т)„+ аззт)„) 1р, + (Ь1т! — Ье) фа О. (22) Скобка Пуассона для операторов из (20) и (22) тождественно равна нулю, а для операторов (21) и (22) приводит еще к одному уравнению: т1фи + тефр + тзфр О (23) в котором величины У1 определяются только через коэффициенты уравнения (19) и их производные.
Для того чтобы система трех уравнений (20), (21), (22) была полной, необходимо, чтобы уравнение (23) было алге. браическим следствием уравнений (20) и (22). Это требование приводит к уравнению, связывающему коэффициенты ал(х1, хз), Ь1(хь хз) и их производные. Если оно выполнено, то для ф мы имеем полную систему из трех уравнений, которая имеет решения, зависящие от одной произвольной функции двух аргументов.
Если ф(х1, хь и, р, д) есть решение этой полной системы, то равенство ф = 0 называется промежуточным интегралом уравнения (19), так как любое решение уравнения ф = 0 есть одновременно решение уравнения (19). Поэтому для некоторого класса уравнений (19) поиск промежуточного интеграла в виде (8) приводит к построению частных решений (19). Сравним класс решений, полученных выше, с классом так называемых функционально-инвариантных решений (см. В. И. Смирнов, С. Л. Соболев (!932]). Решение и = и(х1,хе) уравнения (19) называется функционально-инвариантным, если при произвольной функции Р(и)ен сз г = Р(и(х1, хз)) также решение (19). Рассматривая случай с = О, обнаруживаем, что если и = и(х1, хз) — функционально-инвариантное решение (!9), то (24) $ !К АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ 109 Изучение совместности уравнений (19) и (24) приводит к выводу, что класс уравнений (19), имеющих функциональноинвариантные решения, является более узким, чем класс уравнений, обладающих промежуточным интегралом.
2. Решения, характеризуемые дифференциальными связями. Для выделения класса частных решений заданного дифференциального уравнения или системы уравнений мы вводили выше дополнительные алгебраические или дифференциальные уравнения и требовали, чтобы решения исходной задачи удовлетворяли этим дополнительным условиям.
Следуя работе Н. Н. Яненко [1964), будем называть дополнительные дифференциальные уравнения дифференциальными связями, а наивысший порядок входящих в них производных — порядком связи, Пусть задана система двух квазилинейных уравнений, записанная в инвариантах: дг! — +е!(х, 1, г,, г,) — =!г!(х, 1, г„гз) (!=1, 2). (1) Будем искать решение системы (!), удовлетворяюшее диффе- ренциальной связи первого порядка г" (х, Т, г„г„р,, р,) = О, (2) дг! = р, г(х+ д! Т(Т = р, дх+ (~! — $!р!) с(( (!'= 1, 2) (3) и условия интегрируемости (3) дс дя! д„+Е! д„=д! (г=,2) чс! /д( де т (4) а ! Уравнения (4) есть, очевидно, уравнения продолженной системы исходной системы (1).
Дифференцируя уравнение связи (2), дг! где р,= —. Очевидно, что уравнения (1) позволяют исклюдх дг! чить из уравнения связи производные д! — — — — — !! — е!р!, поэтому достаточно рассмотреть лишь случай (2). Найдем условия, при которых семейство решений системы (!), удовлетворяющих дифференциальной связи (2), имеет функциональный произвол.
Имеем равенства Гл. !. системы ЕВАзилинеиных уРАВнений по получим Р„+~~' (Г, р +Г, —,) =О, а ! 2 р;+~ (р; д.+р; +дР;)-О. а ! Для того чтобы решение имело функциональный произвол, необходимо, чтобы в системе из четырех уравнений (4), (5) было не более трех линейно независимых, так как в противном случае из нее определяются четыре производные —, — как дРа дРа дк' д! функции х, 2, г„, ра и решение в соответствии с п. 1 имеет не более чем константйый произвол. Таким образом, мы требуем, чтобы ранг расширенной матрицы системы (4), (Б), линейной относительно величин — , †, был равен 3. Это приводит дРа дРа дх' д! к двум условиям, первое из которых имеет вид Р,' ° Р', ($,— $,)=0.
Пусть $!Ф$2, тогда возможны два случая Р' — = 0 и Р' =О. Рассмотрим лишь случай Р' = — 0; тогда второе условие записывается в виде (6) А+ Вр,=О, где А = е,Р„'+ Р,'+ !, Р,', + !, Р,', + Р,', (!,'. + (г;„— е,'„) р, — 1,',,р'-,), (7) в = р, — й ) р; + (7;„— ~'„р,) р,'. (8) Если равенство (6) не выполнено тождественно, то оно позволяет определить р2 или рь в этом случае мы снова приходим лишь к константному произволу. Следовательно, для функционального произвола должны выполняться линейные уравнения для Р А=О, В=О. (9) Задача о совместности этих двух линейных уравнений и о степени произвола их решений снова решается с помощью образования скобок Пуассона.
Поскольку в рассматриваемом случае (Р' 0) функция г" зависит от пяти аргументов, то для существования решения системы (9) с функциональным произволом достаточно, чтобы ранг полной системы, образованной присоединением к (9) скобок Пуассона, был равен 4, А !2 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ 1!! Аналогичным образом рассматривается случай дифферен. циальной связи произвольного порядка, когда в уравнение связи входят производные старших порядков от решения системы (1).
Можно рассмотреть консервативную систему квазилинейных уравнений, для которой в уравнение связи входят значения потенциалов Ф!(х, !) решения этой системы (см. п. 3 $6 гл. !). Пример связи подобного типа рассмотрен в п 3 $9 гл. 2 В заключение этого пункта применим понятие дифференциальной связи к линейному уравнению Дарбу: д2и — = ! (х„х2) и, дх! дх2 (10) которое встречается в задачах гидродинамики, Дифференциальная связь первого порядка ди ди <р (х„х„и, Р, д) = О, р = —, и = —, дх! ' дх2 ' (11) дх =!Р(х! хм Р) дя (12) с уравнением Дарбу (10), которое запишем в виде дх ! (х! х2) и др Условие совместности уравнений (12) и (13) имеет вид Р„+ Р, д' = Р„+ Р, 1 и= 1„п+ Ь, (13) оно будет тождественно выполнено, если Рч=1 Р! Отсюда следует, как условие совместности (14), что д2 1и ! дх! дх2 14) (16) уже рассматривалась нами в предыдущем гункте (см.
пример 4). В этом случае дифференциальная связь дает промежуточный интеграл уравнения Дарбу. Условия совместности уравнений (10) и (11) приводят к требованию !рр !р = О. Пусть, например, <рч = О. Тогда ди х !2(х!, хн' — О, <р — <р(х!, Р) — !р (х!,— дх! У' т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
