Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Если коэффициенты с" ,постоянны и удовлетворяют условиям са = — са сас' + са с' + са с' =О аа Ыа1 Ыа1 то совокупность операторов Ен , Е порождает р-параметрическую группу Ли таким образом, что любой оператор Ей)=ЛЕ1(~1)+ ... +ЛРЕРйР) с постоянными коэффициентами Лн..., ЛР порождает однопараметрическую группу (см. Л. В. Овсянников (1962)). 3. Продолженная группа. До сих пор все переменные х" были равноправны.
Определим некоторое пространство Х„= = (х"), соответствующее выделению в точечном пространстве Х +,(х', х', и',..., й") двумерных многообразий и'=и'(х', х') (1=1, ..., т). (1) Точка х= (х',..., ха) ен Х„будет определяться координатами х* = х', х'+' = и', (2а) ди' ди~ Ха+м+~ — р1 ХЬРЬа+~ р1 (26) дхт Рн дх~ (з = 1, 2; 1= 1...,, т; и = Зт+ 2). Среди всех преобразований в пространстве Х„выделим преобразования, оставляющие инвариантными формы й'(х, ах)=Их'+' — х'+а +'с(ха (с'=1, ..., т; р=1, 2). (3) Такие преобразования будем называть касательными. Для них сохраняются неизменными соотношения (2б).
Среди касательных преобразований выделим подкласс продолженных преобразований, которые характеризуются тем, что подпространство Х +г — — (х', хз, хз, ..., х~+2) ~ Х„остается инвариантным. Преобразования в Х +а будем называть точечными. Покажем, что точечные преобразования полностью определяют продолженные.
Пусть $=($, ..., $ + ) — направляющий вектор точечного преобразования 6, (В) в Х +„$ = Я...., ь' ', $ ° аа+И ..., $ у — направляющий вектор соответствующего продолженного преобразования О, $). В 12, ГРУППОВЫЕ СВОИСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 125 Из инвариантности Х +2 следует, что $ = е (2 = 1... „т + 2).
(4) Из условия инвариантности 0' относительно О,($) находим 2+~ 2+В +~ ~ВВ 22+В +2 (хз (5) Отсюда следует д~2+1 д22+~ Г В В Е22+ви+! 1 а ' ~ + дхв даа в В дхв д а в~ (з, 3=1, 2; 1, а= 1, ..., т). Утверждение доказано. Конечно, можно рассматривать дальнейшие продолжения группы в пространстве компонент производных второго и выше порядков. 4. Группы преобразований, допускаемых системой дифференциальных уравнений.
Для простоты изложения мы ограничимся квазилинейными уравнениями. Пользуясь обозначениями (13,3.2), запишем систему квазилинейных уравнений да2 даа ду+ а~~ (х~, х~; п~, ..., и ) д — ~= 1~ (х~, х~1 п~...,, м ) (1) (1, а= 1, ..., т) в виде уравнений в дифференциалах: 4)'(х с(х)=дх2+' — Х2+в'"+'азха=О (1=1, ..., т; 3=1, 2) (2) и конечных соотношений: Р' (х', ..., х") = х' +'+' + а,'х'"+'+а — 1' = О (1, а = 1, ..., т).
(3) Тогда интегральное многообразие системы (2), (3) можно определить как поверхность в пространстве Х„= Хз +2 переменИЫх Х2,..., Хз ~+2. х' = х' (х', хз) (1 = 1, ..., и = Зт + 2), (4) на которой формы й' обращаются в нуль и которая сама лежит на многообразии Ф, заданном уравнением (3). Система (1) допускает группу 6,($) в простРанстве Х +2 пеРеменных х' (1= 1,, т+ 2), если соответствующая ей продолженная группа 62($) оставляет инвариантным многообРазие Ф, т. е.
группа 6,($) переводит интегральную поверхность )26 Гл. ь системы кВАзилинеиных уРАВнении уравнения (1) в интегральную поверхность. Совокупность групп б, Я) образует множество допустимых преобразований системы (1). Условие инвариантности многообразия Ф имеет вид аз«+2+2 + 2~т+2+а 1 а Еа И+2+а да2 д!' дх" дка (р= 1, ..., т+ 2; ю, а = 1, ..., т).
Подставляя в (5) выражения для 5~+а +' из (13.3.6) и выражая с помощью (3) х' "2+'=р,' через х'"+'+'=р,', мы приходим к системе уравнений А2+Асра+А2 р«,ра, О (1 а а, а =1 т) (6) где А'=Ь2аа(х', ..., х +') 2„+де'(х', ..., х"+')В' дха А~2 = Ь)а (х', ..., х*+ ) — „+ Ьга(х', ..., х +~)$а, Аьп=дььа(х', ..., х + ) ~„+Ьг|д,а(х', ..., х +~)е~ ха (2',1,1,,12=1, ..., т; а, р=1, ..., т+2); (7) коэффициенты Ь(х) зависят от даа (к) дтг (х) а«(х), 1 (х), дха дка (1, а=1, ..., т; И=1, ..., т+2).
На (2т+2)-мерном многообразии Ф независимыми параметрами являются величины х', ..., х +2, р,', ..., р',". Так как соотнощения (6) должны выполняться тождественно относительно этих параметров, то из (6) следует А'=О, А,'=О, А„',а,+А„',«,=0 (г, а, аи ах=1, ..., т). (8) Уравнения (8) составляют линейную однородную систему уравнений относительно $', ..., $"'+', эта система называется определяюп(ей и является, вообще говоря, переопределенной. Выполнение (8) необходимо и достаточно для того, чтобы группа 6~($) была допустимой для данной системы (1).
Рассмотрим ряд примеров. Л. В. Овсянниковым [1962) на основании указанного алгоритма была исследована группа преобразований для системы А 13. ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 127 одномерных уравнений газовой динамики и политропного урав- нения состояния: ди ди 1 ар — +и — + — — =о, д2 ах р ах= — +и — +Р— =О др др ди д4 дх дх +и + ур — =о. др др ди д2 дх дх (9) Система (9) при любом значении у допускает операторы Е= —, Е= —, Е=7 — + —, Е=7 — +х —, д д д д д а а2' 2 дх' 2 дх ди' 4 дг дх' д д д д д Е = — 7 — +и — — 2р —, Ез=р — +р —. д2 ди др' др др' При у= 3 система (9) допускает еще один независимый оператор: Е = 7 — + 7х — + (х — 7и) — — 7р — — 37р —.
(11) д д д д д д4 дх ди др др ' Операторы Ен Е2 суть операторы сдвига по осям х, Е оператор Е, соответствует преобразованию Галилея, оператор Е4 — оператор подобного преобразования (гомотетии) в плоскости х, Е Эти операторы имеют место для любого уравнения состояния.
Операторы Ем Еа соответствуют политропному уравнению состояния, оператор Е2 — специфическому значению у = 3. Уравнение Эйлера — Пуассона (12) допускает операторы д д Е2= — + —, ах~ дх2 ' Е,=хх — +х' д 2 д дх, 2дх д д Е2 Х! +Х2 —, дх~ дх2 ' ди Еи ~р(Х1 х2) ди где 4р(хн хх) есть произвольное решение (12). Оператор Е1 есть Оператор согласованного сдвига по осям хн х2, Е2 — оператор гомотетии в плоскости х„ х2; Ез — оператор инверсии.
ОпераТОР Ез содержит в своих козффициентах две произвольные функции одного аргумента и порождает в совокупности с оператоРами Еь Е2, Ез, Е4 бесконечномерную группу Ли. Покажем, следуя Л. В. Овсянникову, как знание группы преобразований, допускаемых уравнением Эйлера — Пуассона (12), позволяет определить для него функцию Римана. 128 гл. !. системы кВАзилинеиных уРАВнениЙ Как известно (см. и. 2 $ 12), функция Римана есть решение и(й1, $,; х1, хз) уравнения (12), удовлетворяющее условиям и $1, Ц $„хз) = и ($1, $,; х1, кх) = 1.
(14) Операторы Е1, (.и 7., порождают трехпараметрическую группу согласованных дробно-линейных преобразований ах!+ Ь ах!+ Ь (15) где а, 6, с, г( — произвольные константы и ас( — Ьс Ф О. Так как уравнение (12) допускает операторы 7.1, (.м (.м то преобразовайия (15) оставляют его без изменения. Пользуясь этим, подберем преобразование (15) таким образом, чтобы значениям х! = = $1, хз = $з отвечали х,=О, хз=оо. Это достигается преобразованием х! — $! - х! — $! Х! = —, Х,= —. (16) х,— 1! ' х! — $! В результате решение и($1, $М х1, ха) задачи (12), (14) переходит в решение о(х„хз) задачи д!о а +,о=О, ~ дх! дх! (х, — х,)' (17) о(0, х,)=1, о(х„оо)=1.
/ Задача (17) допускает оператор растяжения (.з и тем самым является автомодельной. Ее решение можно искать в виде о (х1, х2) о (е), (18) Подставляя (18) в первое из соотношений (17), приходим к уравнению (1 9) где штрих означает дифференцирование по $. Искомое решение о(х1, хх) о(й) удовлетворяет второму и третьему из условий (17), если о (0) = 1. (20) Представим а в виде а = иг (лг — 1). (21) Уравнение (19) приводится к гипергеометрическому уравнению подстановкой о=(1 — $) гв (22) и принимает вид $($ — 1) и!" + [ — 1+ (2т+ 1) Я и!'+ т11гв = О. (28) 4 ск гййпповьсв своистай днФФаганцнальных кеавссвссни 1зй Параметры а„р, у этого уравнения находятся из соотношений у=1, а+и+1=2т+1, ай=то (24) и имеют значения а=р=т, у=1, (25) Таким образом, имея в виду (20), находим пс = со (т, т, 1, $), (28) где Р(а, й, у, $) — гипергеометрическая функция.
После этого, возвращаясь к функциям о($), о(х,, хс), иаэс, $с; хс, хс), имеем о $) = (1 — $) Р (т, сп; 1, $), (2с) о(хн х,) = (1 — =') Р(т, т; 1, — '), (28) и($с, $,; хс, х,) = В случае консервативных систем возможно строить преобразования не только в пространстве продолженной системы, но также и в пространстве потенциалов.
Консервативную однородную систему с с с и о —,+ '",' —,+ „— 1- 0 (с,а=1,2,...,и) ди ди (и,..., и) ди до ди дхс дк дк ди" дк (30) можно, введя потенциал срс (см. п. 3 й 5), преобразовать к системе уравнений в дифференциалах: асс=с(срс — и'с(хс+ о'(и', ...„и") с(хи=О. (31) В пространстве х', хс, и', срс (с=1,..., и) рассмотрим оператор с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
