Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Если представить себе теперь газ, для которого ' > О, др (У, 3) в термодинамическом равновесии при постоянном давлении, го такое равновесие окажется абсолютно неустойчивым, так как малейшее отклонение от равновесия приведет к тому, что одни части газа будут сжиматься, другие расширяться, не возвращаясь к исходному состоянию. Иначе обстоит дело в случае газа, удовлетворяющего условию 1.
При адиабатическом сжатии он будет увеличивать свое давление и препятствовать сжатию. При отклонении от равновесия в газе возникают колебания, которые приводят его в исходное состояние. Таким образом, свойство 1 является условием устойчивости термодинамического равновесия и выполнено для всех реальных веществ в стабильном состоянии. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением газов, уравнения состояния которых удовлетворяют, помимо термодинамнческих соотношений п. 1, справедливых для любых веществ, ряду предположений, не вытекающих из требований термодинамики.
Именно, будем требовать, чтобы удовлетворялись свойства 1 — Ч: 1. ) <О. (16) дар ()г, д) (17) дке р(Ч, 5)-воо при Ч вЂ” вО. (18) 1Ч. (19) Ч. си= дг ) О. дв !'н', Т) » !, ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМЫХ ГАЗОВ !4Т Г п5 = !(е + р г(У следует в силу Ч дд(У, Т) ! д«(У, Т) су дг Т дТ Т (22) Отсюда др(У, Т) др (У, 8) дд(У, Т) дТ дд дТ (23) Принимая во внимание формулы (21), (22), находим )О (24) дУ Последнее неравенство означает, что изотермы и адиабаты А образуют регулярную сеть того же типа, что и в случае идеального газа (см.
рис. 2.2). Дифференцируя тождество 5=5(У, р) =5(У, р(!', 5)) по переменным У, 5, получим дз (У Р) др(У 5) дз(У Р) д» ()', Р) др(), ») О (2б) др д3 бует, чтобы эта кривая была обращена выпуклостью вниз; свойство 111 требует, чтобы У = О была асимптотой любой адиабаты Пуассона; наконец, свойство !Ч Означает, что адиабата Пуассона, отвечающая большей энтропии, лежит выше в плоскости переменных У, р (см. рис. 2.1), т.
е. дд() р) О дд() Р) ~ О (21) др ' дУ Рассмотрим поведение поверхности 5 = 5(У, р) в трехмерном пространстве переменных 1', р, 5, предполагая, что уравнения состояния удовлетворяют свойствам 1 — Ч. В соответствии со свойствами 1 †!Ч каждое горизонтальное сече- и ние «рельефа» энтропии есть моно тонная выпуклая кривая с асимптотой У = О. Каждое сечение плоскостью У = сопз! или р = сспМ есть монотонная по р, соответственно по У, кривая. Таким образом, любое вышележащее горизонтальное сечение проектируется внутрь нижележащего сечения (рис, 2,4).
Из основного соотношения (1.1,7) Гл, а ОДнОмеРнАя ГА30ВАя динАмикА 1АВ а дифференцируя второе уравнение (25) по переменному )т, находим 5 .+25 р +5 р'= — 5р ~<0. (26) Подставляя (25) в (26), получим 5 5» 25 5 5 +5 5г 5зр <О. (27) Рассмотрим характер изменения энтропии 5 вдоль прямых р = р»+ а1.
(т = )то+ Ь1 (28) в плоскости переменных )т, р. Справедливы утверждения: а) Если а) О, Ь'= 0 (а(0; Ь(0), то (29) Это следует из неравенств (21). б) Если ( — „) =О, то ( ),,— д»5 х д»5 з д»5 д'5 — = — аз+ 2 — аЬ + — Ьз < О. йР )~ ~ др» дрдР д1т» (ЗО) тд55 д5 д5 д5 Действительно, из ~ — ) = — а + — Ь = 0 имеем — = ~дГ 3~, др ди др д5 ЙЬ, — = — йа, где й — некоторый множитель пропорциональ! д5 1 д5 ности. Подставляя Ь = — —, а = — — — в (30), полу- А др' Адт' чаем (27). в) Если — (О при г = О, то — „< 0 при г > О. д5 д5 Предположим противное.
Тогда существуют Г, Ъ О, е > 0 тад5 д5 кие, что — „< 0 в промежутке 0(Г < Гь — = 0 при дГ д5 »25 — > 0 при т, < г < О + а. Следовательно, —,) 0 при г=гн что противоречит свойству б), Утверждение доказано. Заметим, что свойства а), б), в) легко следуют из характера «рельефа» функции 5(1', р) (рис, 2.4), В силу свойств 1, П адиабат Пуассона луч, проходящий че- рез точку )те, р» адиабаты 5 = 5е, не пересечет ее более ни в какой точке, если он лежит в 1 и 111 четвертях (рис.
2.5), и пе- ресечет ее еще в одной точке, если он лежит во 1! и 1Ч четвер- тях (сюда включается случай, когда луч касается адиабаты А, и мы тогда будем считать точку касания сдвоенной точкой). эх грхвнзния гидродинхмики одномзвных твчвнип 149 В первом случае 5 есть монотонная функция параметра 1, во втором случае 5 имеет единственный максимум. Точка максимума есть точка касания лучом некоторой адиабаты. Заметим при этом следующее: точка 5 = 5,„на луче делит его на две половины, так что произвольная адиабата пересекает дт ) алоо Рис.
2.6. Рис. 2,6. его верхней ветвью в верхней половине, нижней ветвью — в нижней (рис. 2,6). В верхней половине луча имеем др(а, 3) ~ р — ро дк (У(У,„); (31) в нижней половине луча имеет место обратное неравенство др 1'а'. Л) р ро (у (32) )а — ро 2 2.
Интегральные законы сохранения. Уравнения гидродинамики одномерных течений 1. Общие предположения о течении сжимаемых газов. Движение газа мы представляем как движение сплошной среды в трехмерном пространстве хь хм хо. В соответствии с $ 1 движение полностью определено, если известны зависимости и = и (х, 1), р = р(х, 1), р = р(х, 1), е = е (х, 1), 5 = 5(х, 1).
Почти всюду в этой главе мы будем предполагать, что в газе отсутствуют внутреннее трение и теплопроводность, т, е. частицы газа теплоизолированы друг от друга. При этих условиях каждый элемент жидкости не участвует в теплообмене и не теряет свою энергию на трение. Поэтому при плавных изменениях состояния энтропия каждого элемента должна оставаться постоянной. 150 ГЛ, К ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА Мы, однако„хотим особо обратить внимание на то, что это следствие справедливо лишь при медленных, плавных изменениях параметров частицы газа. Поэтому, если частица газа резко изменяет свои термодинамические параметры, то ее энтропия уже не остается постоянной во времени.
В соответствии с ~ 1 мы считаем, что всюду, кроме поверхностей разрыва, течение является достаточно плавным (квази- равновесным). Поэтому частица изменяет свою энтропию, лишь пересекая поверхности разрыва; вне поверхностей разрыва определены понятия температуры, давления, энтропии, которые вместе с заданными уравнениями состояния удовлетворяют всем термодинамическим соотношениям.
Итак, мы будем рассматривать жидкость, лишенную внутреннего трения и теплопроводности; однако частицы жидкости могут изменять свою энтропию, пересекая поверхности разрыва. На самом деле поверхность разрыва параметров течения представляет собой узкую зону (зону неравновесности), в которой влияние вязкости и теплопроводности существенно, как бы малы они ни были. Действительно, как мы говорили уже в ~ 1, изменение энтропии определяется величинами пб)чи, когад Т, которые в этой узкой зоне конечны.
При нашем же рассмотрении этих зон больших градиентов как поверхностей разрыва термодипамических параметров мы отказываемся от детального рассмотрения неравновесного течения в этих зонах; однако учитываем эту неравновесность в целом, что и приводит к повышению энтропии частицы прн пересечении ею поверхности разрыва (зоны неравновесности). Впоследствии ($5) мы увидим, что учет вязкости и тепло. проводности в жидкости и дальнейший переход к пределу при р, к-э.О приводят нас именно к такой картине течения. Итак, течения жидкости, которые мы в основном будем здесь рассматривать, суть предельные течения вязкой и теплопроводящей жидкости при стремлении коэффициентов вязкости и теплопроводности к нулю. С другой стороны, подобное описание течений требует применения лишь общих законов, справедливых одновременно как для равновесных, так и для неравновесных процессов.
Таковыми являются основные законы сохранения физики: закон сохранения массы жидкости, закон сохранения импульса и закон сохранения энергии, к выводу которых мы приступаем в п. 2. 2. Законы сохранения массы, импульса и энергии в трехмерном пространстве. Мы будем изучать одномерные течения сжимаемых газов. Однако для единообразного получения уравнений при различных видах симметрии течения (плоская, сферическая, цилиндрическая) сначала получим уравнения для $ а уРАВнения ГидРОЛиНАмики ОДномеРНых течений 151 произвольного трехмерного неустановившегося течения, а затем из них выведем интересующие нас уравнения для одномерных течений. Итак, пусть газ движется в трехмерном пространстве с декаРтовыми кооРдинатами (хс,хи хо), отсчитываемыми в некоторой инерциальной системе. Такие координаты будем называть эйлеровьсми. Будем предполагать, что отсутствуют внешние силы, действующие на газ, а также что в занятом газом пространстве нет источников массы, импульса и энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
