Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Очевидно, что равенства (10) — (12) могут быть переписаны в виде рх' г(х — рих' й = О, с эрих'с(х — (р+ рит) х'й = — ~ ~ архе-' г(хй, с 0с р ~В+ 2 )Х С(х — рм(Е+ + )Хтй=О, с (13) (14) (15) если контур С имеет вид, указанный иа рис. 2.9. м м По своему физическому смыслу величины ~ рх'г1х, ~ рих'дх, сочно-непрерывные функции ") переменных х, 1, приходим к заключению, что соотношения (13) — (15) будут выполиеиы для любого замкнутого кусочно-гладкого контура С и ограниченной им области Ос. 4. Интегральные законы сохране- г обозначает начальное положение хг хг Х частицы газа, например, в момент Рис.
2.9. Г = 0; х = х(г, Г) — положение этой же частицы в момент времени й Лаграижева координата г и эй. лерова х связаны, как мы видели в п. 3 3 1, соотношением х=г+ ~ и(г, т) с(т=х(г, г). о ') В случае сферической и цилиндрической симметрии ограниченность этих величин может нарушиться на прямой х = О. Это, впрочем, несущественно для дальнейшего. р (в+ — ) х'с(х — непрерывные функции переменных О хи хт, к, а и и а ~ рих' й, 1 (р+ ри=1 х' й, 1 ри (в+ р + — ) й — непрерывные р 2) и с, функции переменных х, 1ь 1я. Поэтому, предполагая, что вели- чины и, р, в, р — ограниченные и ку- 188 ГЛ.
З. ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА В (1) скорость и = и(г,() задана как функция лагранжевых переменных. При известной скорости и(г, () уравнение (1) определяет траекторию частицы, Очевидно, что масса газа, заключенная в объеме, ограниченном сечениями х = х(га, (), х = = х(г, (), остается постоянной во времени, Поэтому мы можем записать *): з(г, (1 г р(х, ()х'((х= ~ ро(г)гчс(т=М=сопз(, (2) л(гн Г) гн гДе Ро(г) Означает плотность в момент вРемени ( = О. Дифференцируя (2) по переменному г, получим дк(г, () г Ро(г) дг хт Р(г О так как, очевидно, Р(х(г, (), г) = Р(т ().
Формула (3) показывает, что отображение лаграижевых координат г на эйлеровы х взаимно однозначно при условии р (г, () ч~ О. В областях, где р = О (области вакуума), точкам х, ( ие отвечают никакие лагранжевы координаты г, (, т. е. через эти точки не проходят траектории течения. Согласно формуле (1) ' =и(г. 1) (4) Поэтому из формул (3), (4) заключаем, что переход от эйлеровых координат х, ( к лагранжевым г, ( задается соотношением (6) Подстановка формулы (5) в закон сохранения массы (2.3.13) превращает его в тождество. Однако из (5) следует интегральное соотношение $ х'с(х= Р' тт((т+и(т, ()хт И=О, 3 Р(г О (6) с с эквивалентное закону сохранения массы, так как оно есть следствие соотношения (2). В равенстве (6) С вЂ” произвольный кусочно-гЛадкий замкнутый контур в плоскости переменных г, О х = х(г, () определяется с помощью формулы (1).
Заметим, что равенство (6) называют также интегральным законом сохранения объема, занятого газом. ') Величина М имеет размерность масси лишь в случае сферической симметрии. $ а уРАвнення гидРОдинАмики ОднОмеРных течении )59 Переходя от переменных х, ! к лагранжевым переменным г, ! в уравнении (2.3.14), получим ирв(г)г йг — рх'(г, Г)йГ= — ~ ~трх' ' й ' й= $ ° дх(г, 1) дг = — ) ~чрх' — ййг= — ) ') тр — ' ййг (7) хт Р (г !) 3 5 х (Г, 1) Р (г, !) ос ос (3+ — ) рР (Г) Г аг — ирх (Г, !) й= О. $ с (8) Уравнения (6) — (8) представляют собой законы сохранения объема, импульса и энергии в переменных Лагранжа.
Заметим, что они могли быть получены непосредственно, применением законов сохранения к фиксированной массе газа, без перехода от эйлеровых координат к лагранжевым. Законы сохранения (8) — (8) несколько упрощаются, если ввести обозначения 1Г(г,!)=)Г= —; д=д(г)=~рз(г)г йг. ! (9) Величина д совпадает с М и называется массовой лагранжевой координатой. Переходя к этим переменным, получим ф Р йд + х' (д, !) и й = О, нийд — рх'й= — ~ ~ Р адой с ос (з+ в') д — ирх й=О.
$ с (12) В уравнениях (10) — (12) С вЂ” произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур в плоскости переменных д, и — уравнение сохранения импульса. В формуле (7) С вЂ” контур плоскости г, 0,0с — ограниченная им Область этих переменных. Наконец, закон сохранения энергии (2.3.15) записывается в пе- ременных Лагранжа в виде 160 ГЛ. Х ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА (2) (5) В уравнениях (4) †(6) эйлерова координата частицы х должна рассматриваться как функция лагранжевой координаты д и времени Г, т.
е. х = х(д,г); из формулы (2.4.4) получаем дифференциальное уравнение для х(4,1) (7) Уравнения (4) — (7) описывают в лагранжевых координатах гладкое одномерное течение газа. Уравнения (1) — (3) преобразуются к виду — + — + — — О, др дри ири (8) ди ди ! др — +и — + — — =О, д~ дх р дх дл дл — +и — =О, дГ дх (9) (10) 5. Дифференциальные уравнения для одномерных течений. Предположим, что в некоторой области переменных х, 1 функ- ции и, р, р, е, описывающие течение газа, являются непрерывно дифференцируемыми.
Тогда по формуле Грина контурные инте- гралы в равенствах (2.3.13) — (2.3.15) преобразуются в инте- гралы по области 6с, при этом подынтегральные выражения бу- дут содержать первые производные от и, р, р, е. Ввиду произ- вольности области Гхс эти подынтегральные выражения должны обращаться в нуль. Поэтому для гладких течений (и„р, р, е ен С~) из выполнения интегральных законов сохранения (2.3.13)— (2.3.15) следует выполнение дифференциальных уравнений дг (х'Р) + д (х'Ри) = О, д д — (х'Ри)+ — „( '(р+ Риз)) = чх' 'р, д х д дг [х'Р(е+ ~ )1+ д„[х'Ри(е+ — + ~ )1=0.
(3) Дифференциальные уравнения (1) — (3) записаны в эйлеровых координатах х, Г и справедливы для гладких течений. Анало- гично из законов сохранения (2.4.10) — (2.4.12) следуют диффе- ренциальные уравнения в лагранжевых координатах 9„0 — — — х'и=О дР д д1 дч (4) ди д трр — + — ххр = —, д~ дд х — „(е+ —,)+ д (ир с)=О. (6) э 2, РРАВнения гидРОдинАмики ОднОмеРных течении 1е1 где 5 — энтропия, определяемая уравнением Тг(5=с( + Р г( Аналогично, комбинируя уравнения (4) — (7) координатах, получим в лагранжевых дз(ч '! О д! Это уравнение показывает, что энтропия 5 каждой частицы газа остается постоянной во времени во всей области гладкости течения.
Отсюда следует, что если течение является гладким, то энтропия каждой частицы газа остается постоянной. Отметим, что если газ обладает конечной вязкостью и теплопроводностью, то уравнения (1) — (3) для вязкого теплопроводного газа заменяются на следующие: — (х Р) + д„(х Ри) = О. д д (1 1) т("Р')+ дх[" (Р+Ри "д М='х' (Р "тх) д' [" ( + — "в)1+ д'. ["Р" ( + — '+ — "в) - " й = д дт = — х~и —, (13) дх дх' где и ) О, х ) Π— соответственно коэффициенты вязкости и теплопроводности, Т вЂ” температура газа. Соответствующие уравнения в лагранжевых координатах имеют вид (17) д1~ д — — — х'и=О, д! дч — и + — [хи (Р— ррхи " $~ — ~ [р — Ррхи — «~, (18) д! (в+ в ) + д, [их (Р— Ррх' д )] =- д„[х"Рх д ~.
(16) Теперь, комбинируя аналогично предыдущему уравнения (11)— (13), найдем: дд дз р /диев 1 ! д идТ вЂ” +и — = — ~ — ) + — —,— нх'— д! дх Тр 1,дх) Т кир дх дх или, в лаграпжевых координатах, дд(д, О ррх (ди ~ 1 д дТ д! Т ХдЧГ Т дд дЧ ' = — ( — ~ + — — нх"р —.
(18) Из уравнений (17), (18) следует, что для всякой теплоизолиро- ванной массы газа, обладающего вязкостью и теплопровод- ностью, ее полная энтропия не убывает с ростом времени !. ГЛ, В ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА В самом деле, записывая уравнение (18) в виде и интегрируя его в пределах от д=д, до д=дм получим дг д о ф дзи и ~ ж-- т) и (21) дТ йг где 1(К= в ххах'р — — поток тепла, величина в — поток энтропии. т Таким образом, неравенство (21) указывает, что для любой массы вязкого теплопроводного газа производство энтропии превосходит ее приток через границы этой массы газа. Если масса газа, заключеннаЯ междУ сечениЯми д = дь О = дх теплоизолирована, то х — х р = 0 при д = дн д = дх Поэтому из (20) дт следует, что Ф)о (22) Таким образом, если рассматривать движение газа, лишенного вязкости и теплопроводности, как предельное движение вязкого и теплопроводного газа при р, х-» О, то из уравнений (17), (18), (20) следует, что 5(и, Г) = 5(и, 0) лишь в том случае, — ди — дТ если ~/р — -»О, ~/х — -»0 при р, х- О.
Как мы увидим дд ' дд позже, движение газа, лишенного вязкости и теплопроводности, не является гладким, так как в газе образуются области, где ди дТ градиенты —, — не ограничены. По этой причине, если расдд ' дд сматривать течение невязкого и нетеплопроводного газа как предельное при и, х-» О, то сохранение энтропии 5 для каждой частицы газа имеет место лишь до тех пор, пока траектория частицы находится в области гладкости течения.
Обозначая через 5Р= ~ 5(д, г) г(д полную энтропию данной массы газа, получаем из (20), что з к уРАВнения ГидродинАмики ОдномеРных течении 1зз Если же траектория частицы проходит через зону неограниченности градиентов либо через поверхность разрыва гидродинамических величин, то энтропия этой частицы возрастает.
Этот принцип возрастания энтропии при прохождении частицей поверхности разрыва (зона неразновесности) будет нами в дальнейшем использован ($4) для отбора устойчивых разрывов при изучении течения газа, лишенного вязкости и теплопроводности, Заметим теперь, что для однозначного определения течения к уравнениям (1) †(3) либо (4) †(6) для невязкого и нетепло- проводного газа, а также к уравнениям (11) †(13) либо (14)— (16) для газа с вязкостью и теплопроводностью должны быть присоединены уравнения состояния газа. Мы будем в дальнейшем задавать уравнения состояния в одной из следующих форм: р=р(р, Т), е=е(р, Т); (23) е=е(р, р) либо р=р(р, е); (24) е= е()г, 5), р=р(У, 5) либо р= р(р, 5).
(25) Уравнения состояния можно задавать в любом из этих видов, однако в случае газа с вязкостью и теплопроводностью особенно удобно применить их в виде (23), так как это позволяет выбрать в качестве основной термодинамической переменной температуру Т. В случае, когда в движении участвуют различные газы, мы должны считать, что эти зависимости различны в областях, занятых разными газами. Так как эти области заранее неизвестны, то мы не можем, вообще говоря, задать эти зависимости в виде функций от эйлеровых координат х, б Отметим в связи с этим преимущество лагранжевых координат, в которых уравнения состояния (23) — (25) можно считать заданными в виде функций от д, й например: (26) е= е(у', р, 4).
В этом случае зависимость (26) следует считать разрывной по переменному д в точках д = йч = сопз(, которые являются границами раздела различных газов. 6. Изучение уравнений в эйлеровых координатах. Характеристическая форма. Характеристики. Будем считать, что уравнение состояния задано в виде (2.5.25): р=р(р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
