Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 23
Текст из файла (страница 23)
= $~ — + а~~о — „+ ан~~~" — (а = 1,..., кч 8 = 1, 2). (32) а д Оператору Ь соответствуют допустимые преобразования, если производная Ли от форм асс равна нулю: ь с Евс О (33) Из условия (ЗЗ) следует сса"" +' — и' Нй'+ о' с(~~ — й'+' ссх'+ аД~+' с(х = О. (34) 5 а. Л. Роинесснснснни, н. Н.
яненко ГЛ. 1, СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕПНЫХ УРАВНЕНИИ 1ЗО Отсюда приходим к уравнениям для $! (1=1, 2, ..., 2ц+2) д«па+2+! ~«21 да«2 дх! ц1 + о! 2«2~-1 дГ 1"'"! д1! д12 1 +. — — и — + о' — = — а!$ дхп дхп их' (35) где д с1х 1 + р« д дх д + ра дх д д †„ + иа диа дра ' д д оа диа дфа (36) диа ра дхп (а=1, ..., и; а=1, 2). (3!) Величины р,' связаны, в силу (30), соотношениями да! р! = — а!ра а! = — (1= 1 ... Н). 2 а 1' а диа Подставляя (36) в (35), находим др +2+' д1«+2+' . т' д1! да! ~ +иа — и'~ — +и« + дх д!ра дх' дфа ! Тд1 д1 2, !'дз"+ и! ! д1~ д12 'и +О' ~ —, + иа —,) + р,' ~ — „— и' — + О' — ) = 22+1, дх дф диа диа диа ) д1«+2+! д1«+2+! Г дп! дп! ~ 38 1() 2+« = — а4 Требуя выполнения (38) тождественно относительна р",, приходим к системе определяю!Них уравнений д$«+2+! да«+ + 1 д$ д$~ ~ ца и1~ 1 иа + дх' дфа О1~ + ца — ~2+! 1/д$2 д12 ~ дх1 дфа) дйп+2.Р! дйп+2+! ~ др! д1! ~ — — оа „вЂ” и'~ —,— оа —,)+ (39) дх д!ра ~ дх' дфа) + О!( — — Оа ~= — а!Р2+а ; / д$~ дйп и д1«+'+! ! д1' ! д$' — — и' — + о' — =О.
диа диа диа $!к ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ !3! 5. Частично инвариантные и инвариантные решения. Будем искать на многообразии Ф, задаваемом уравнением (13.4.3), подмногообразия !ран Ф, инвариантные относительно некоторой совокупности допустимых преобразований. Не входя в детали, наметим путь нахождения инвариантных подмногообразий и соответствующих допустимых преобразований. Пусть х' = ф! (х'... хх +а) (!' = 1, ..., Зт + 2) (1) есть параметрическое представление Ф, хГ=!р!(о!, ..., Ои) (1'=1, ..., 2т+2) (2) — параметрическое представление искомого многообразия !р и б!(й) индуцирует на !р группу 6!(!1), и = (Ч!...,, з1,), Соответствия (1), (2) переводят формы 11! из (13.4.2) в формы Го!=с!(о)!(оа (1=1, ..., т; а=1, ..., р).
(3) Здесь коэффициенты с„' суть известные функции от !р! (Г= д!р! =1, ..., 2т+2) и линейные функции от — (й=1... р). дох Условия инвариантности форм Го! относительно б!(П) имеют вид доа — '" не!(Оа+ с! !(Ча=() (1=1, ..., т; а, 8=1, ..., р). (4) доа В силу соответствий (1), (2) р, н связаны зависимостью $ = — — х.ч' дх' др' дха до (Г=1, ..., Зт+2; а=1, ..., 2т+2; р=1, ..., р), где дха дх ба дха (а, р=1, ..., 2т+ 2).
В частности, при Г=1, ..., т+2 имеем д~р~ ди дор (7) Подставляя (7) в определяющую систему (13.4.8), получим некоторую линейную Однородную систему уравнений первого по. рядка для н Вйт! — '"„+ Вр!'!Ч'=й Е= 1... „р; = 1, ..., р), (8) 1ЗЕ ГЛ. Ь СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ козффициенты В которой зависят от !р! и линейны относид~р! тельно — ~ (!=1, ..., 2т+ 2; у=1, ..., р). дет Из условий (4) находим дс!~ дча — Че+с' — =О (! 1...„т; 1, ф=1, ..., р).
(9) д,а З д„! Условия совместности для системы (8), (9) приводят к некоторым уравнениям для функций !р!(о!, ..., ЕР). Решения (интегральные многообразия), лежащие в !р, называются частично инвариантными (см. Л. В. Овсянников (1962)). В частном случае, когда многообразие !р является интегральным многообразием, имеем инвариантное решение. Инвариантные решения являются обобщением известных автомодельных решений. Мы видим, что теория частично инвариантных и инвариантных решений тесно связана с методом дифференциальных связей, так как уравнения, задающие многообразия !р, суть не что иное, как дифференциальные связи первого порядка.
Л. В. Овсянниковым было указано на связь известных в газовой динамике простых и двойных волн с частично инвариант- ными решениями, Глава 2 Классические н обобщенные решения одномерной газовой динамики й 1. Общие замечания о математическом описании движения сжимаемых газов 1. Газ как сплошная среда. Газ есть совокупность большого числа частиц (молекул, атомов, ионов), находящихся в непрерывном движении.
Для того чтобы охарактеризовать состояние газа в данный момент времени, надо задать положение и скорость каждой частицы газа. Задача учета взаимодействий и движения каждой частицы 'газа чрезвычайно трудна; поэтому при описании состояния газа применяют статистический подход.
При статистическом описании состояния газа удобно считать, что составляющие его частицы непрерывным образом заполняют занятый ими объем, При этом, естественно, рассматривают лишь объемы, размеры которых достаточно велики по сравнению с расстояниями между частицами газа. Поэтому применяемые в дальнейшем выражения «малый объем», «бесконечно малый объем» газа следует понимать как достаточно большие в указанном выше смысле. Движение частиц газа можно характеризовать количеством частиц данного сорта, находящихся в заданном месте пространства и имеющих заданную скорость движения.
Это количество пропорционально функции распределения, которая удовлетворяет интегро-дифференциальным уравнениям переноса (так называемым кинетическим уравнениям). Простейшим примером Кинетического уравнения для газов является уравнение Больцмана (см. С. Чепмен, Т. Каулинг [1952), Г. Н. Петтерсон (1950)). Описание состояния газа с помощью функций распределения и решение кинетических уравнений также является весьма сложной задачей. В то же время известно, что существуют такие течения, которые с хорошей точностью могут быть описаны с помощью некоторых конкретных функций распределения.
Это описание достигается с помощью понятия состояния термодинамического равновесия как состояния, в котором функции распределении имеют вполне определенный характер. гл, а одномвянхя газовая динямикл 134 Напомним бегло некоторые сведения из термодинамики (см, М. А. Леонтович (1960)). Среди параметров, характеризующих состояние газа, часть определяется только внешними относительно рассматриваемой массы газа телами и никак не зависит от самого газа.
Эти параметры называются внешними. Внешними параметрами являются, например, объем, занятый газом, напряженности внешних электромагнитного или гравитационного полей и т. д. В отличие от внешних внутренние параметры определяются состоянием самого газа (например, энергия газа, температура, давление). Состояние газа называется равновесным, если оно не изменяется во времени, а также отсутствует обмен энергией с внешними телами. Подчеркнем, что просто неизменность состояния (стационарность) еще пе означает, что газ находится в равновесии. Равновесное состояние — это состояние, из которого газ не может выйти самопроизвольно.
Если газ, находящийся в произвольном состоянии, предоставить самому себе (т. е. исключить обмен энергией с внешними телами и зафиксировать внешние параметры), то через некоторое время (так называемое время релаксации) он придет в состояние равновесия. Обмен энергией между газом и внешними телами происходит, во-первых, с помощью передачи тепла, а во-вторых, прн совершении над газом (или газом над внешними телами) работы. Работа совершается газом лишь при изменении внешних параметров а; и при бесконечно малых изменениях последних равна величине 6%'= 2 А; г(а1, где А; — так называемые обобщенные сильк Если 6Я вЂ” количество сообщенного газу тепла, то изменение внутренней энергии газа Е (кинетическая энергия движения молекул плюс потенциальная энергия взаимодействия молекул), согласно закону сохранения энергии, запишется в виде аЕ = 61;1 — 6%' = 61',) — Х А, дан (2) По поводу величин А; заметим, что при произвольном состоянии газа они, помимо аь зависят еще от положения и скоростей отдельных молекул газа, т.
е. от микроскопического состояния газа. Дело упрощается, если рассматривать равновесные состояния газа и бесконечно малые отклонения от них. Тогда по из- $ Ь ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМЫХ ГАЗОВ 1ЗЗ 1 Если рассматривать единицу массы газа, то величина Р называется удельным объемом, р — плотностью газа, величина е — удельной внутренней энергией газа. Согласно второму началу термодинамики величина т т (ие+ри)т> 6О 1 является полным дифференциалом функции 5 = 5(г', зываемой энтропией единицы массы газа. Итак, второе начало термодинамики записывается равенства Т), пав виде Т с(5 = де + р сйт, (8) где р, е, 5 заданы уравнениями р=р()т, Т), а= е($', Т), 5=5(Р, Т>.
(9) (10) (11) вестной основной теореме термодинамики все внутренние параметры и в том числе А~ являются однозначными функциями внешних параметров а; и энергии (или температуры Т) газа. В качестве равновесных внутренних параметров берутся обычно сами обобщенные силы Аь Таким образом, в состоянии равновесия А,=А;(Т, ап ..., а„), (3) Е=Е(Т, а„..., а„), (4) и равенство (2) принимает вид г(Е=ЬЯ вЂ” ~ А~(Т, а) йап Соотношения (3), (4) определяются микроскопической структурой рассматриваемого газа и называются уравнениями состояния.
Соотношения (3) называются термическими уравнениями состояния газа, а уравнение (4) — калорическим уравнением состояния. Мы будем рассматривать случай, когда газ физически и химически однороден по своему микроскопическому составу и не взаимодействует нн с какими полями (т. е. отсутствуют силы тяжести, электромагнитные поля и т. д.). Тогда единственным внешним параметром газа является занятый им объем (т, а силой А — давление р, так что многообразие термодинамических состояний двумерно.
Поэтому йе = б1Š— р с(Т. (6) !За ГЛ, Е. ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА Из второго начала термодинамики (8) следует, что уравнения состояния (9), (1О) не являются независимыми, так как условие интегрируемости соотношения (8) налагает на ннх следующее ограничение: Если, например, задано уравнение состояния (9), то условие (12) определяет калорическое уравнение (1О) с точностью до аддитивной функции от температуры. Таким образом, в состоянии термодинамического равновесия газ описывается следующими величинами: плотность р — масса, ! содержащаяся в единице объема; удельный объем У = —; дав- Р' ление р — сила, действующая на единичную площадку; е — внутренняя энергия единицы массы газа; Т вЂ” температура газа; 5— энтропия единицы массы газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
