Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Пусть $~ ~ О, $г ) О. Условия согласования выполнены, если с (О, г'„г',) =О, с((0, г'и гсз) = О. (4) При выполнении этих условий решение г(х,1) непрерывно в некоторой окрестности оси 1= О. Если помимо (4) выполнены условия согласования производных — (О, г' г') О, — (О, г' г') О, дс дд то решение г(х, 1) обладает непрерывными производными. Гл. ь системы кВАзилинеяных уРАВнения Решение г(х, 1) постоянно в области сг' (рис. 1.15): г,(х, 1) =г'ь В области 6' г, (х, 1) — = гг Краевые условия корректны, если де (й г~~, гз) дд (й гн г~з) ~ О, д ' ч О.
й 12. Аналитические методы выделения решений систем дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными 1. Исследование совместности переопределенных систем уравнений. Аналитические методы отыскания решений систем квазилинейных уравнений в большинстве случаев приводят к построению более узких классов решений, чем общее решение. Как было показано в предшествующих параграфах, общее решение системы из и квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными зависит от и произвольных функций одного переменного. Можно пытаться строить более узкие классы решений, зависящих от меньшего числа произвольных функций или даже параметров, требуя, чтобы решение исходной системы удовлетворяло дополнительным условиям, например дополнительным уравнениям.
В результате мы приходим к переопределенным системам уравнений, т. е, системам, у которых число уравнений превосходит число искомых функций. Переопределенные системы могут вообще не иметь решений, поэтому для установления существования решений и степени их произвола необходим анализ совместности переопределенных систем.
При этом часто можно считать некоторые коэффициенты исходной системы, которые могут варьироваться, также подлежащими определению. Этот подход означает, что мы ищем частные случаи исходной си. стемы, для которой этот путь построения решений приводит к результату, Наиболее универсальным методом анализа совместности систем уравнений является метод внешних форм Картана (см. Э. Картан [19б2], П. К. Рашевский [1947]), Мы, однако, изложим здесь более простой метод, предшествовавший методу Картана, который достаточен для наших целей. Для простоты излпжения мы поясним его на нескольких характерных примерах. П р и м е р 1.
Рассмотрим переопределенную систему уравнений дв — =]И(х, и) (1=1,,, а; 1=1, ..., пг), (1) $ '!Е АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЯ РЕШЕНИИ юз где и = (иь..., и ); х = (х!,..., х ), для и функций иь..., ил от т независимых переменных х!, ..., х . Пусть функции 1!! непрерывно дифференцируемы в некоторой области 6 переменных х, и. Если при любых ! = 1, ..., и; 1, й = 1,..., т в области 6 тождественно выполнены условия л л дх + х'л ди ~аи дх + Е ди (а!' д(!! д(н д(!и д(!А хи а а ! а ! а (2) ди дх — 1! (х(1), и) ° — „' а ! при начальном условии и (О) = иа х (О) = ха.
Здесь х = х(1)ев С! — линия, соединяющая точку ха с рассматриваемой точкой х, и! = и!(х(1) ). Таким образом, решение и(х) вполне интегрируемой системы (1) зависит от и+ т постоянных и'„..., и'„', х'„..., х". Поэтому говорят, что решение вполне интегрируемой системы имеет «константный произвол». П р и м е р 2. Рассмотрим переопределенную систему линейных однородных уравнений в частных производных первого по- рядка Т-!и=,У,О!а д,'. (1=1 " Р) (4) а дха а ! с одной неизвестной функцией и(х!, ..., х ), и пусть коэффи циенты а!„— достаточно гладкие функции от хь ..., х .
Алгоритм исследования совместности систем типа (4) известен и сводится к последовательному образованию так называел дли обеспечивающие равенство смешанных производных д д и дх! дхи д'и —, то система (1) называется вполне интегрируемой в 6. дх,дх В этом случае при любых (х', и')~ 6 существует некоторая окрестность 1х — ха~ ( г точки ха, в которой система (1) определяет единственное решение и(х)ен С! такое, что и(х') = иа (см. В. И. Смирнов [19571). Определение и(х) сводится прн этом ц решению системы обыкновенных дифференциальных урав- нений 1О4 Гл.
ь системы КВАзилинеиных уРАВнении мых скобок Пуассона (см. П. К. Рашевский [1947], В. И. Смирнов [1957]). Для линейных операторов Еь Е~ образуем коммутант и [Ен Е~] = Е,1 ~ — ЕгЕ, = ~ Ьиа дх > д а дха' а 1 у~ ( да~ да~ Ь|~а — — 7 Го; — ' — о~ — "~. х г~ 'а дха а дха)' а Оператор [Еь Еу] называется скобкой Пуассона. Если и(хь ..., х ) ее Сз — решение (4), то оно удовлетворяет, как следствие, также и линейным однородным уравнениям первого порядка [Еи Е,] и = 0 (Е ! = 1, ..., р). Присоединяя уравнения (5) при всех Е / = 1, ..., р к системе (4), мы получаем систему уравнений первого порядка того же самого типа, что и исходная система (4), так называемую расширенную систему. Этот цикл операций мы будем называть продолжением.
После конечного числа продолжений мы придем к линейной системе, для которой присоединение скобок Пуассона не дает новых независимых уравнений, т. е. комму- танты дифференциальных операторов системы являются линейными комбинациями этих операторов. Такие системы называются полными. Итак, по определению система (4) называется полной, если [Еь Е~]= ~„Счи(хи ..., х ) Е, ((, ]=1, ..., р). (6) а ! Пусть ранг матрицы ((а~а(хь ..., х,„))) в 0 равен р. Для полной системы (4) возможны два случая: а) р = и, тогда система (4) допускает только тривиальное решение и = сопз1. б) р ( т, тогда можно показать (см.
Э. Гурса [1933], В. И. Смирнов [1957]), что система (4) путем замены переменных сводится к одному линейному однородному уравнению для одной неизвестной функции от т — р+ 1 аргументов рь ..., у р+ь Следовательно, общее решение полной системы (4) в этом случае зависит от одной произвольной функции от т — р аргументов. Таким образом, исследование совместности системы (4) состоит в продолжении ее до полной системы и в вычислении ранга матрицы коэффициентов полученной полной системы.
$12, АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЯ РЕШЕНИИ !05 П р и м е р 3. Рассмотрим переопределенную систему двух нелинейных уравнений, одно из которых есть уравнение Монжа — Ампера д2а дх дк2 д2а дх2 2 д2и дх2 1 д2а 2 и 2-1 дк1 дк2 где Лн Л, — корни характеристического уравнения Л + 2а„Л + ана,2 — аЬ = О. Величина !2 определяет конкретную образующую в каждом из семейств прямых (12), совокупность !2, з-точку иа образующей. Меняя независимо !2, з, получаем исходную квадрику (10). Дифференцируя соотношение (11) по х1, х2, находим ( 3) 13 — з+ — г+ — + — 9=0.
др дд дк2 ди а другое уравнение первого порядка ('" "— — )-' (8) ди ди Здесь Ь, а,, а — гладкие функции от хн х2, и, а, =ааи. Рассмотрим условия, при которых переопределенная система (7), (8) допускает семейство решений, зависящих от одной произвольной функции одного аргумента. Полагая (и = р 2(х1 + д (х„ (р = г (х1 + з (х„ й) = з (х1 + ( 2(х2, (9) запишем уравнения (7), (8) в виде Ь(г! — 22)+ анг+ 2а12з+ а221+ а=О, (10) 1р(х„х,, и, р, д) =О.
(! 1) уравнение (!0) при фиксированных хь х2, и, р, д определяет в трехмерном пространстве величин г, з, 1 поверхность второ~о порядка (квадрику), имеющую, вообще говоря, два семейства прямолинейных образующих. Как известно (см. Э. Гурса (1933)), зти семейства опреде- ляются уравнениями Ьг — Ь!Аз+ а„— !АЛ1 = О, (1= 1, 2), (12) Ьз — Ь!21+ Лз; — р „=о, !Ее гл. ь системы квязилинеиных уРьвнении (15) Для того чтобы система (7), (8) имела решение, зависящее от произвольной функции, необходимо, чтобы алгебраическая система уравнений (1О), (!3) относительно переменных г, з, г' допускала бесконечное множество решений.
Действительно, в противном случае г, з, г определились бы как конкретные функции от хь хм и, р, д, подставляя которые в (9) мы получили бы систему уравнений в полных дифференциалах. Эта система задавала бы все производные величин и, р, д по переменным хь хз как функции от и, р, д, хь ха и, как мы видели в примере 1, допускала бы в лучшем случае лишь константный произвол.
Требование бесконечного числа решений системы (10), (13) означает, что прямая (13) есть одна из образующих (12). Это приводит к уравнениям ~Ж ЬЬ д~ Ь вЂ” Ьи ам — ИЛ~ дф дф дф дф (14) — — — + — 4 ди дд дхй ди Ь вЂ” ЬИ Лз-с — иа1 ' / где ! = 1, 2 — номер семейства образующих (!2), к которому принадлежит прямая (! 3). Исключая и из уравнений (14), приходим к системе уравнений для ф(хь хм и, р, д): / дф дф 1 дф дф Ь | — + д — ) — Лз; — — ап — — — О. ~дх, ди ) -' др дд Покажем, что если уравнения (15) выполнены при некотором ! = 1, 2„то исходная система (7), (8) имеет решение, зависящее от произвольной функции.
В самом деле, пусть ф есть решение (15), а и(хь х,) — решение уравнения (8), покажем, что и(хь хз) есть решение (7), Для этого дифференцируем (8); мы получаем уравнения (13). Уравнения (15) означают, что можно так ввести параметр и, что будут выполнены уравнения (14). Уравнения (14) означают, что прямая (!3) лежит на квадрике (!О), т. е. и(хь ха) удовлетворяет уравнению (7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
