Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 20
Текст из файла (страница 20)
е. инвариант Лапласа обращается в нуль и уравнение Дарбу превращается в уравнение колебаний. Рассмотрим совместность дифференциальной связи второго порядка ГЛ, Ь СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 112 — +Р(х,), д)п( дх7 (16) где Р(х~) — произвольная функция. Мы видим, что в этом случае уравнение Дарбу преобразованием Лапласа (см. Л, В. Овсянников 11960)) можно привести к уравнению колебаний д'и = О. дх7 дх7 Покажем, как с помощью метода дифференциальной связи можно построить функцию Римана для уравнения Дарбу (10). Функция Римана Я(хь хз, $ь $а) является решением уравнения (10) (по переменным хьха) и удовлетворяет дополнительным условиям на двух характеристиках х~ — — $6 хз = $з этого УРавнения: Я=1 при х,=5~ и при хз=$,.
Иными словами, 7((хь хм еь еа) есть решение уравнения (10), равное 1 на характеристиках РМ, МЛГ (рис. 1.16) . Пусть (10), тогда применение формулы хз) и о = Я(хь хм ~ь $з) приводит Рвс. 1,16. и(хь хз) — любое решение Грина к функциям и = и(хь к формуле и(М)= ( )+" ( 2 [7 (" д„, 77 7„)~ "7(77~ — — )7~], (77) где интеграл берется вдоль любой гладкой кривой, соединяю- щей точки Р и й7' на осях х~ = ен хз = ег.
Знание функции Римана )1 позволяет решать задачу Коши для уравнения (10) с заданными значениями и, и„', и„' на кри- вой РР1. Случай дифференциальной связи первого порядка очевиден, так как тогда 7" в О, Я 1, а формула (17) есть известная фор. мула Даламбера. В случае дифференциальной связи второго порядка имеем авенства (15), (16); под и(хь хз) понимаем теперь функцию имана, $12, АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ нз Интегрируя уравнение (12) с учетом (16), получаем р = С (Х„Х2) ), С(х1, х,)= ~ х(т+д(х2), д (т) ь (18) где и (х2) — произвольная функция. Функцию г"(х1) определяем из условий для функции Римана ди и (х1 2ь2) = 1! д (х1, хьх) = р (х1 хь2) = О откуда следует, что С(хн Я =О.
(19) Равенство (!9) возможно только в случае Г (х,) = О, д ($2) = О, поэтому Р(Х1, Х2) =Д(Х2) ) (Х1, Х2). (20) Интегрируя уравнение (20), находим х, п(Х!, Х2) и (Х2) ~ 1('г Х2) х(т+ К(Х21. Ь~ (21) Так как и(а„х2) = 1, то К(х2) — = ! — + й — = д ~ ! (т, х,) х(т+ 1. дя д!и! дх2 дх2 Ь (23) Принимая во внимание условие (15), уравнению (23) придадим вид к (хх) + ((Е1, х2) Й'(х2) = 1> (24) где (Яб) 1(х„х,) =— д!п1' д! дх2 ' дх1 и для и(х„х,) получаем представление и(х„х,) =й (х,) ~ ) (т, х,) 22т+ 1.
(22) Ь Удовлетворяя уравнению Дарбу (!3), получим уравнение для д (хх) !14 Гл.!. системы кВАзилинеиных уРАВнении Отсюда получаем выражение для п(хз) х, Я(х,) д(х„$н $В) ~ — ~ ~ ~($н т) 4[т ! ь и для функции Римана ~ [Яа т)ат ~ [(т, хр)пт и(хн хз)=)т(хн х,; $н $,) " Н [ 1 (2б) Если учесть, что функция („ удовлетворяющая уравнению (15), имеет вид (см, Л.
В. Овсянников (19601) / )=2 а1(х~) аз(хз) [а, (х,) + аз (х1)) ' то получаем окончательно [ар (хй) — а~ (фа)[ [а, (х,) — а~ ($,)[ [аз (11) + аа (Вв)[ [а~ (х~) + аа (ха)1 + 3. Решения систем квазилинейных уравнений с вырожденным годографом. Одной из основных задач аналитической теории дифференциальных уравнений с частными производными является получение частных решений и построение с их помощью более широкого класса решений. Для линейных уравнений принцип суперпозиции решений позволяет расширить класс решений; на этом, в частности, основан метод Фурье, имеющий широкое применение в математической физике. Однако для систем нелинейных уравнений принцип суперпозиции решений не имеет места, поэтому задача построения более широких классов решений на базе частных решений существенно осложняется.
Известен метод огибающих, позволяющий построить из решений, зависящих от двух произвольных параметров (полный интеграл) решения„зависящие от произвольной функции (общий интеграл), однако этот метод применим, вообще говоря, лишь к случаю одного нелинейного уравнения. Особенно эффективен метод огибающих для случая уравнений, не зависящих непосредственно от искомых функций, а только от их производных, Например, нелинейное уравнение имеет очевидное решение (2) Ф=ах — ~р(а) (+Ь, $1а АнАлитические методы Выделения Решении 11б где а, Ь вЂ” произвольные числа. Будем считать Ь = ф(а) — функ- цией параметра а, тогда семейство (2) может иметь огибаю- щую, которая определена уравнениями Ф= ах — ф(а) ° Г+ ф(а), О =х — ф'(а) .1+ ф'(а).
(3) Как известно, формулы (3) неявным образом определяют ре. шение уравнения (1), зависящее от произвольной функции ф т. е. общий интеграл. Формулам (3) отвечает общее решение одного квазилиней- ного уравнения дг дх (4) для которого Ф(х, г) является потенциалом (см. $ б, п. 3), и оно задается формулой и = — [ах — ф (а) ° Г + ф (а)[ = а = а (х, г), д где а = а(х, г) определяется из второго уравнения (3).
Однако при и ) 2 метод огибающих приводит лишь к по- строению более узких классов решений. Это обстоятельство имеет простой геометрический смысл. При и = 1 пространство (Ф, х, Г) является трехмерным и интегральные поверхности (2), отвечающие разным значениям параметра а, пересекаются по линии (характеристике). Одно. параметрическое семейство характеристик образует затем оги- бающую поверхность, которая является интегральным многооб- разием уравнения (1). Если же а = 2, то Ф~ = Ф~(х, г, а)— двумерные поверхности в четырехмерном пространстве перемен- ных (х, Г, Фь Фз), и пересечение этих поверхностей, соответ- ствующих двум различным значениям параметра а, происходит, вообще говоря, не по линии, а в точке.
Рассмотрим класс решений, к которому приводит метод оги- бающих, для системы нелинейных уравнений — '+ф~( — )=О (1=1,2, ..., и), Имеем семейство решений системы (6) Ф, =а~х — ф~(а) ° Г+ Ь| '[ ф (а) = ф, (а„..., а„) ) с и оизвольными параметрами ан ..., а,; Ьь ..., Ь . удем рассматривать семейство интегральных поверхностей (7), считая, что величины аь Ь, являются функциями одного ие Гл.
ь системы кВАзилинеиных уРАВнении ди! д~р! (и) — + — =О ((=1, 2, ..., и), и =(и!, ..., иа). При этом в силу уравнений (7), (8) имеем и! (х, !) = а! (т (х, !)), (12) (13) параметра т. Тогда огибающая этого семейства определяется уравнениями (7) и еще п уравнениями де (а) О=а х — р~ а)+Ь! (»=1, ..., и), (8) ! ! ! которые служат для определения параметра г.
Для того чтобы существовала характеристика (общая линия пересечения плоскостей (7), (8)), необходимо и достаточно, чтобы в системе (8) было лишь одно независимое уравнение, т. е. выполнялись условия да! (а) а! — — )»(т)а„Б!=У(т)й! (»=1, ..., п). (9) ! Пусть система уравнений (6) является гиперболической // д~р!(а) ~~ в узком смысле, т. е. матрица А =~~ Л имеет действида! Л тельные различные собственные значения $, (а) ( $р(а) ...
($ (а), которым соответствуют правые собственные векторы г'(а), ..., ! "(а). Тогда уравнения (9) имеют и различных решений р(т) =$ (а), "а,(т) =а»(т) г»(а(т)), Ь!(т)=т»(ъ) а,(т)„(10) соответствующих каждому собственному значению $»(а). Поскольку параметр т неопределен, то мы, например, можем считать )»(т) заданной функцией параметра т, что отвечает определенной параметризации аь Ьи Тогда в (10) остается одна произвольная функция т»(т), от которой существенно зависит огибающая семейства (7). При выполнении условий (10) уравнения (8) сводятся к единственному уравнению х — $» (а (т)) ! + У» (т) = О, (1 1) которое означает в совокупности с (10), что величины а!, Ь! постоянны вдоль а-и характеристики (11).
Построенному решению О)! (х, !) соответствует решение и! (х, !) = — консервативной системы квазилинейных урав- дФ! д» пений а Кс АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОЛЫ ВЫЛЕЛЕНИЯ РЕШЕНИИ 117 ди, диа дии д1 д1 ''' д1 (! 4) ранг ди~ диа дх дк диа дх Это условие означает, что функции и, (х, 1) могут быть представлены в виде и,(х, 1)=и,(т), т=т(х, 1), (! 5) где т(х, 1) — гладкая функция. Таким образом, решение (13), построенное выше, — простая волна. Из представления (15), так же как и выше, следует, что прямые (11) — характеристики простой волны, а функция т(х,() постоянна вдоль этих характеристик, Легко заметить, что простая волна определяется целиком Одр,~~ матрицей А (и) = ц~ — Л.
Поэтому простая волна опреде- Ц, ди ))' ляется аналогичным образом и для неконсервативной системы дг +А(и) д =О; и=(1ан,, и„) ди ди (16) равенствами и (т) = )аи (т) г (и (т)), — 1 + ьи (и ( )) ' д„= (). дт д'а (17) Частным случаем простой волны является центрированная волна, когда характеристики й го семейства — прямые, пересекающиеся в одной точке ха, 1а. В этом случае в качестве функции т(х, 1) в (15) может быть выбран наклон этих характеристик, т, е, т(х 1) а Э (и (т)) (18) где т = т(х, 1) определяется из (11).
Постоянное значение т определяет характеристику — прямую (1! ), вдоль которой в силу (13) решение и(х, 1) постоянно. Таким образом, метод огибающих привел нас к построению решения консервативной системы квазилинейных уравнений, зависящего от одной произвольной функции одного переменного т(т). Построенный нами класс решений системы (12) носит название простых волн. Простой волной называется решение и = и(х, 1) системы уравнений (! 2), удовлетворяющее условию пв ГЛ. Ь СИСТЕМЫ КВАЗНЛИНВИНЫХ УРАВНЕНИИ Из соотношений (!6) следует, что в простой волне й-го типа существует и — 1 функциональная зависимость *) па(и„..., и„)=с, ((=1,2, ..., и — 1).
(19) Рассмотрим однопараметрическое семейство центрирован. ных волн (18), (!9), в котором константы с~ фиксированы, а х„ (а связаны зависимостью. Тогда мы имеем однопараметрическое семейство интегральных поверхностей системы уравнений (16), которое имеет огибающую. Эта огибающая есть простая волна, но уже не центрированная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
