Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Согласно равенствам (9) — (11) среди всех этих термодинамических переменных лишь две независимые. Из равенства (8) следует: д5 1 де с д5 1 / де — — — — — =-( — + ) дТ Т дТ Т ' дУ Т (, дУ (13) Таким образом, при заданных уравнениях состояния (9), (10) энтропия 5 определяется с точностью до аддитивной постоянной, которая исключается, если энтропия нормируется с помощью соотношения Нернста: 5-~0 при Т- О. Уравнения состояния газа (9) — (11) можно задавать и при другом выборе независимых параметров, например: р=р(У, 5), е=е(У, 5), Т=Т(У, 5) (14) либо а=е(р, У), 5=5(р, У), Т=Т(р, У).
(18) При таком задании уравнений состояния второе начало термодинамики (8) требует выполнения равенств де(У, 5) (1 5) де(У, 5) Т(1, (16) дт (У, 5) др (У, 5) д5 либо, соответственно„ Т 1 д5(р У) де(р У) . Т д5(р, У) д (р, У) 1!р у'! дУ =р+ дУ др = др дт (р, У) д5 (р, !') дт (р, У) д5 (р, У) д [т, 51 (17) др д!' дУ др д[р, У[ Э 1. ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМЫХ ГАЗОВ 137 2. Неравновесные состояния и процессы в газах. В неравновесном состоянии газа теряют свой смысл основные понятия термодинамики — температуры, давления и энтропии. Вообще неравновесное состояние газа не описывается полностью в терминах термодинамических (т. е. Макроскопических) понятий, а требует микроскопического анализа.
Однако для целей классической газовой динамики достаточен и общепринят подход неравновесной термодинамики. Представим себе, что рассматриваемая масса газа подразделена на большое число элементарных частей весьма малых размеров, каждую из которых будем предполагать находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Это предположение оправдывается тем, что время релаксации системы убывает с уменьшением ее размеров, так что для малой порции газа оно близко к нулю.
Понимая под «точкой» в газе «бесконечно малый» объем в указанном в п. 1 смысле, мы можем ввести, таким образом, для каждой точки газа в каждый момент времени понятия давления, температуры и энергии. Теперь они приобретают смысл функций от координат точки и времени: р=р(х1 хз х3 Г); Т=7 (х1, хэ, х3 1); 5=5(х1, х3 х3 Г) что касается плотности р(х1, х3, х3, 3) и энергии е = = з(х1, х3, х3, 1), то эти величины, очевидно, имеют смысл независимо от нашего предположения. Итак, неравновесность газа мы понимаем как отсутствие равновесия между отдельными частицами газа„каждая из которых сама по себе равновесна.
Из предположения о равновесии малых порций газа следует, что функции р(Р, Т), е(У, Т), 5()7, Т) удовлетворяют уравне. пням состояния (1.1,9) — (1.1.11). Таким образом, при своем изменении термодинамические параметры удовлетворяют уравнениям состояния газа, которые определяются для равновесного газа. Такой процесс называется равновесным или обратимым. Приведенные выше соображения о времени релаксации, однако, не дают представления о пределах применимости термодинамических понятий.
Это представление может быть получено на базе более общей модели газа, каковой является статистическая модель. Микроскопическое рассмотрение приводит к выводу, что термодинамические понятия температуры и энтропии имеют смысл, если изменения параметров, характеризующих состояние газа, на длинах порядка длины свободного пробега молекул газа по пространству и за времена порядка времени между соударениями молекул малы по сравнению с самими этими величинами.
138 Гл. а ОдномеэнАя ГАЗОВАЯ динАмикА Рассмотрим, к примеру, одномерное неравновесное течение газа. Пусть и(к, 1) — скорость течения. Одно из приближений, сводящее уравнение Больцмана к уравнениям газовой дина- мики, предполагает, что в газе могут быть введены температура Т и давление р, удовлетворяющие уравнениям состояния (1.1,9), (1.1.10), но потоки импульса и энергии определяются также не- равновесными компонентами, связанными с молекулярной диф- фузией. Для материально фиксированной частицы газа в поток импульса вместо давления р входит величина ди р= р — 1А б1чи = р — 1А —, дк (1) поток энергии определяется величиной ди дг ри — х дга б Т = ри — ри — — х — . дк дк ' (2) В этом приближении функция р((г, Т) удовлетворяет уравнению состояния (11,9); 1А, х — соответственно коэффициенты вязкости и теплопроводности, пропорциональные длине свободного пробега молекул газа.
Отсюда следует, что если на длинах пробега и на временах порядка времени между соударениями изменения термодинамнческих величин малы, то справедливо приближение равновесной термодинамики, Действительно, для большого числа задач о движении газов и жидкостей это требование можно считать выполненным. В этом случае процесс носит квазиравновесный характер и можно ввести температуру и энтропию, которые с большой степенью точности будут удовлетворять всем термодинамическим соотношениям, С другой стороны, как мы увидим в этой главе, в течениях газов и жидкостей возникают зоны резкого и быстрого изменения величин, характеризующих поток.
В этих областях уже нельзя пренебрегать неравновесными компонентами в потоках импульса и энергии. Однако эти зоны имеют размеры порядка длины свободного пробега молекул газа. Поэтому, если эта длина мала по сравнению с характерными размерами задачи, то мы можем представлять зону неравновесности как поверхность разрыва, разделяющую зоны гладкого изменения параметров течения. При таком подходе мы считаем, что эти параметры всюду удовлетворяют термодинамическим соотношениям, а на поверхностях разрыва должны выполняться условия непрерывности потоков массы, импульса и энергии.
Итак, мы будем рассмзтривать разрывные течения в газах и жидкостях, вязкость и теплопроводпость которых достаточно малы. $ !. ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМЫХ ГАЗОВ или ~Ю ! !!О е! Т и! (4) где — — скорость притока тепла к рассматриваемой порции е!Я ее! газа.
Если рассматриваемая порция газа теплоизолирована (дЯ = 0), то равновесный процесс называется адиабатическим. Для адиабатического процесса Для неравновесного процесса соотношение (4) не имеет места, а согласно второму закону для теплоизолировапной системы (6) Пусть масса газа участвует в неравновесном процессе, обмени- ваясь теплом с внешними телами, В этом случае второе начало термодинамики требует, чтобы выполнялось условие — + — ')О, иле ей л! где 5е — энтропия внешних тел. Величина — может рассмаЛхе ей триваться как поток энтропии от внешних тел к массе газа.
В настоящей главе мы рассмотрим в основном именно этот случай. Наконец, в случае достаточно больших коэффициентов вязкости и теплопроводности необходимо рассматривать неравновесные компоненты в потоках импульса и энергии. Может случиться, что и это рассмотрение окажется недостаточным и необходимо привлекать интегро-дифференциальное уравнение Больцмана.
Таким образом, существуют течения, в которых сохраняют свое термодинамическое определение температура и энтропия, выполняются все термодинамические соотношения; при этом области резкого изменения рассматриваются как поверхности разрыва параметров течения. Изучению такого типа течений и посвящена эта глава, При равновесном процессе имеет место соотношение гл. к одномвэнхя газовая динамика 140 Вычисление потока энтропии — ' мы продемонстрируем на взе в! примере обмена теплом газа с термостатом постоянной температуры Ты В этом случае лле 1 в! т, в! ' (8) где — — количество тепла, перетекающего от внешних тел й!;> й! к рассматриваемой порции газа. Поэтому в случае термостата в качестве внешних тел второе начало термодинамики требует, чтобы йЗ ! — > —— ш г, в! (9) Эти соображения будут применены нами для анализа изотермического газа в 5 4.
3. Различные способы описания течения. Эйлеровы и лагранжевы переменные. Описание движения сплошной среды можно производить двумя различными способами. Первый способ состоит в том, что в каждый момент времени ! мы определяем параметры состояния газа как функции от координат х» хь хз точки в некоторой неподвижной системе координат, Таким образом, и = и(х» хь хм 1) означает при таком способе описания скорость частицы, находящейся в момент времени ! в точке (х» хь х,). Аналогично все остальные величины характеризуют состояние частицы газа, находящейся в момент ! в точке (х» хь хз).
Такой способ описания движения сплошной среды называется эйлеровым, а координаты х» хп хз называются эйлеровыми координатами. Другой способ описания, который носит название лагранжева, предполагает задание термодинамических величин и скорости и газа для каждой частицы как функций времени б Пусть частицу газа мы отличаем от прочих с помощью некоторых параметров у» у„у,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
