Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Но из (27) имеем $(х, !) — Ч(х, !) =2с(х, !) б (28) (29) (30) и мы видим, что оценка (23) в этом случае имеет место. Согласно рис. 2.11 г(х, !) — 8(х, !)= ( ', ' =го(Ч(х, !)) — зо(Цх, !)). (27) ГЛ. 2. ОДНОМЕР1.1АЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА 184 ((), о Р (1) рз (хо) + ро ~ рв (т) дх о (35) Здесь р(4), р1(4) — значения функций р(х, 4), р1(х, 2) вдоль рассматриваемой з-характеристики, Интеграл, стоящий в знаменателе формулы (35), стремится к оо при 1'- оо. В самом деле, если 0 ( р(1 (3 ~у ) — 1), то, используя оценку плотности (22), имеем 828,1 ра(т)о(т) +„а — »оо при 4-»оо, ,1 (р, + т(оР,)) о о а если р< 0 (у) 3), то используем оценку (11), из которой 2 у — 1 следУет, что Р(т)» В[Со+ — Лиоз) =)т. Тогда пРи ()<О ра (т),(т ~ ~ 22-з 1(т ., „ а о Поэтому при любом у ) — 1 знаменатель правой части (35) обращается в нуль при конечном значении ( (так как ро< 0) и производная р1(х, 4) обращается в бесконечность.
Итак, для того чтобы при у > — 1 классическое решение задачи Коши (1), (3) с ограничениями (12), (13) существовало при всех 4 ) О, необходимо и достаточно выполнение неравенств до(х, О) )0 дг(х, О) ~0 дх ~ ' дх 2. Бегущие волны (волны Римана). Волны сжатия и разрежения. Здесь мы расамотрнм некоторые простейшие нзоэнтропические течения в случае плоской симметрии (т = 0). При изучении бегущих волн практически безразлично, в каких переменных — эйлеровых или лагранжевых — вести рассмотрение. Мы воспользуемся здесь лагранжевыми. Тогда уравнения изоэнтропического течения записываются в виде (2) до до до д1 — — $ (г — з) = — — ср до д» д. дг дг д) — + $(г — з) — = — + ср до д1 — =О, до до дг — =0 дг( $ К ИЗУЧЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ПЛОСКИХ ОДНОМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ !Щ где инварианты Римана г, з связаны с и, У формулами + з! — йУ = + ~,у — — йУ, ,) У Г й У У Для изоэнтропического потока р есть функция единственного переменного У.
Мы будем считать, что р =р(У) — произвольная дифференцируемая функция, удовлетворяющая, однако, условиям 1, 11: др дср —,„, <О, дуг>О. (3) Тогда, обозначая р получим <р (У) у с (У) дср ! дУс $'(г — з) = — — — > О. 4 др дУ Таким образом, из условий (3) следует, что $(г — з) — моно. тонно возрастающая функция разности г — з. Изоэнтропическое течение, в котором постоянен один из инва- риантов Римана, называется волной Римана нли бегущей вол- ной.
Положим для определенности, что г= гс= сопя!; тогда уравнение (2) удовлетворяется тождественно, а уравнение (1) дз дс — — $ (гс — з) — = О, д! дд (4) служит для определения функции з(д, !). Характеристики — интегральные кривые уравнения — „= — иге — з(У, Г)), с!у — очевидна, являются прямыми линиями в плоскости с), г, так как вдоль них постоянен инвариант з(д, !). Отсюда следует, что вдоль этих прямых — = — = — ь(го — з(ч. ()) ич ч чс (5) ГЛ, Ь ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА 186 постоянны как з(а, т), так и г = го и, следовательно, постоянны все гидродинамические величины )г, р, р, с, и. Заметим сразу же, что з-характеристики будут прямыми также и в плоскости эйлеровых координат х, й Если в некоторой области — > О„ то характеристики (5) дз дд образуют расходящийся пучок прямых (рис.
2.12, а); если же — < О, то — сходящийся пучок прямых (рис. 2.12, б). Так как до дч 1 ' ! и= — (г+з)= — (го+ з), 2 2 до то из — > О следует дд до — > О. Из уравнения недо прерывности дк ди д1 дч а " де де йк поэтому следует, что при Рис. 2.12. до д1г — > Π— >О и плотдд д1 ность р убывает при возрастании времени й Поэтому волна до Римана, в которой — > О, называется волной разрежения, дд до а волна Римана, в которой — < О, — волной сжатия. Совершенно аналогично рассматривается случай, когда дг з=во —— сопз1.
В этом случае также при — < О имеем волну дд дг сжатия, а при — ) Π— волну разрежения. Таким образом, дд ди до общий признак волны сжатия — <Оили, что то же, — < О дд дх до дг приводит к условиям — <О для з-волны (г=го) и — <О дд до для г-волны (з = з,) Римана. доя для газа Чаплыгина р = А)г + рм ~~,, = О и ь = Ъ вЂ” А— постоянная величина. Наклон характеристик в этом случае фиксирован и поэтому все з-характеристики параллельны друг другу, равно как и г-характеристики. дз Тем не менее условие — ) О снова выделяет область раздд режения в волне Римана г = го. Волна Римана (г = го) называется центрированной, если з-характеристики образуют пучок прямых, выходящих из одной точки (чо,1о) (рис. 2.13).
Так как инвариант з(а,1) постоянен 4 3. ИЗУЧЕНИЕ ПРОСТЕЯП!ИХ ПЛОСКИХ ОДНОМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЯ !97 вдоль з-характеристик, то Отсюда следует, что в центрированной волне Римана а= з( '), г= го либо г=г( '), а=Хо. Автозоодельными называются решения, зависящие лишь от переменной у = — ' . ! вЂ! Покажем, что центрированные волны Римана дают все авто- модельные решения уравнений газовой динамики. Записывая уравнения (2,6.4) — (2.6.6) в виде — — — "=О, — "+ Р =О, — =О (я=О) (6) и считая, что величины (г, и, р, 5 зависят лишь от у=— Ч вЂ” '7о совершим замену по формулам д у д д! ! !о ду д ! Уд после чего придем к уравнениям: сФ' ди у — + — =О, ду ду ($ '7 ду ду д) дд Рис. 2.!3.
— = О. ду Из последнего уравнения следует, что 5 = 5о = сопи(, и автомо- дельное течение есть, следовательно, изоэнтропическое течение. Переходя в оставшихся двух уравнениях к инвариантам Римана, запишем их в виде (у+ $(г — з)1 — „= О, Ь Ф ф (у — $(г — з)) — = 0 ду Если у Ф вЂ” $(г — з), то — „=О и з= за. Так как $ (г — з) > О, до то при у= — $(г — з) имеем г= го — — сопз!. Итак, для автомодельного решения есть лишь две возможности: либо з =хо= сопи(, у = 3(г — зо), (Т) либо (8) г = го = со па(, ГЛ, 2. ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА у= — =и+с х — хь ! — 22 з = зь = сопз(, либо х — х, у= — =и — с го г = гь — — сопз(, Рассмотрим некоторые соотношения, имеющие место для произвольной волны Римана в случае политропиого газа.
Для политропного газа 2 в=и — с, т-! 2 г= и+ — с. т — ! Пусть в волне Римаиа г = гь = сопз(, и пусть иы сь — значения скорости и скорости звука в некоторой точке волны Римана. Тогда 2 2 иь+ — со= и+ — с, т †! т †! или (9) 2 22 ! Так как р= — А т-' ст ', то из (9) имеем связь давления р т и скорости и в з-волне Римана 22 т — ! и — иц12-1 р=р,[1 — — — 1 (г=г,=сопз!). (10) 2 с. 3 Аналогично в г-волне Римана 22 р = рь[! + — ~ (з — зь — сопз1). (11) Наконец, отметим еще одно важное свойство волны Римана.
Всякое непрергявное течение, примыкающее к зоне постоянного течения, есть волна Римана, и, следовательно, всякое автомодельное решение уравнений (6) есть волна Римана. Так как $'(г — з) ) О, то, дифференцируя равенства (7), (8) по переменному а, заключаем, что всякое автомодельное решение при ! ( Гь есть волна сжатия, а при ! ) 1, — волна разрежения. Итак, если мы рассматриваем полуплоскость ! = О, то в ией всякое автомодельиое решение, зависящее от переменного у = = д7г (дь = !ь = 0), есть волна разрежения Римана. В зйлеровых переменных цеитрироваииая волна Римана задается условиями $ 3.
ИЗУЧЕНИЕ ПРОСТЕИШИХ ПЛОСКИХ ОДНОМЕРНЫХ ТЕЧЕНИИ 139 В самом деле, пусть течение непрерывно и постоянно слева от линии АВ 1рис. 2.!4). Значит, линия АВ есть линия, через которую не единственным образом продолжается решение системы уравнений газовой динамики, и, следовательно, линия А — характеристика. Так как течение слева от АВ постоянно, то А — прямая. Пусть, например, АВ есть з-характеристика, тогда справа от АВ г = ге и течение справа от АВ есть з-волна Римана, г 3, Профили в волне Римана.
Градиентная катастрофа. Рассмотрим поведение гидродинамических величин в бегущих волнах сжатия и разрежения. Пусть, надх пример, г= ге — — сопз1 и — ) О, т. е. дд мы рассматриваем случай з-волны раз- Рис. 2.14 режения. ди др Как мы видели выше, в этом случае — > О, — ) О, Так как 9 (г — з)= — —, — „, > О, то с увеличением величины й др др ' дУ2 убывает г' и, следовательно, растет с. Так как, кроме того, -/' — )д дз 4~ '7 дд др д1 Рис.
2.15. $'(г — з) > О, то из условия — > О, г=г,=сопз1 следует, что дх дч — > О, — < О, — < О. Итак, профили скорости и и скороддр да дс дч ' др ' дд дх сти звука с в з-волне разрежения (г=сопз1, — > О) имеют ' дч вид, приведенный на рис. 2.15, а. Аналогично получаем профили в случае г-волны разрежения (рис. 2.15, б). На рис. 2.16,а, б приведены профили гидродинамических величин в случае волны сжатия, ГЛ. 2, ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА Итак, в волне разрежения — > О, в волне сжатия — < О. ди ди дд дд Волна г=сопз1 отличается от волны з=сопз1 знаком вели- ди дс. ди дс ди дс чины — —: при г=г,— — <О, при з=зо — — > О.
дс ' до — о ди ди ' ди ди Заметим, что знак с)и с)с совпадает со знаком с(и с1р. Поэтому в плоскости переменных р, и (р, и-диаграмма) семейство состояний в в-волне Римана описывается кривой (3.2,10), имеющей и= и(7) р) а) г) в=вр в) г=гр Рис. 2.!6. вид, изображенный на рис. 2.16,в. Аналогично для г-волны с(и с(р ) 0 (рис. 2.16, г).
Рассмотрим изменение во времени профилей гидродинамических величин. Так как решение постоянно в бегущей волне вдоль прямых и эти прямые расходятся при возрастании 1 в волне разрежения, то в волне разрежения градиенты всех гидродинамических величин убывают по абсолютной величине с ростом времени Наоборот, в волне сжатия характеристики соответствующего семейства сходятся с ростом времени ! и градиенты всех гидро- динамических величин возрастают по абсолютной величине.
На рис. 2.17, а, б показано изменение профиля в = з(с1, с) с ростом г в волнах сжатия и разрежения в случае г = го = сопз1. Характеристики в волне сжатия пересекаются при некотором конечном значении Г = Го. В точке пеРесечениЯ хаРактеРистик $3, ИЗУЧЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ПЛОСКИХ ОДНОМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ !91 ь б) ~ о а 4 Рис 2.17. Гл, г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
