Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Согласно равенству (!3), адиабата Гюгонио есть геометрическое место точек (р, 14), характеризующих термодинамическое состояние вещества с одной стороны фронта разрыва (ударной волны), если задано состоЯние Рм ГВ с дРУгой стоРоны Агг фронта. Пусть адиабата Гюгонио Н(м,мс) проходит через точку М4. Тогда адиабата Гюгонио Ас Н(М,М4) проходит через точку Мс, но не совпадает с адиабатой ! ! Н(м,мо) (рис. 2.25).
Это обстоя- 4 тельство отражает тот факт, что и, адиабата Гюгонио ие является линией постоянства функции двух Рис. Здп переменных, а есть линия постоянства функции двух переменных, зависящей также от двух параметров. Поэтому, если выбрать точки (р, у'), сопряженные точке (рм )гс), в качестве новых центров адиабат Гюгонио, то мы получим однопараметрическое семейство адиабат Г4огонио, пРоходЯщих чеРез точкУ (Р4ь ~с) (пУчок адиабат). 3.
Адиабата Гюгоиио для нормального газа. Наши предыдущие замечания по поводу адиабаты Гюгонио относились к веществу с произвольным уравнением состояния. ГЛ. З. ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА 2!О Для более детального изучения адиабаты Гюгонио мы предположим, что уравнения состояния вещества р = р(У, 5), е = = е(У, Т) удовлетворяют требованиям, которые были сформулированы в п. 4 $1 для нормального газа: Условием И было требование выпуклости области переменных р, У, в которой удовлетворяются требования 1 — Ч. Все наше дальнейшее рассмотрение, за исключением случаев, котовые будут оговариваться особо, будет относиться к нормальному газу. Рассмотрим полный дифференциал г(Н функции Н (р, У, ро, Уо) двух переменных р, У, считая р,, Уо фиксированными: ЫН=НЕ+ Р, Р НУ+, ' Пр.
(2) Пользуясь основным термодинамическим соотношением де = Т д5 — р ~Л ', получим следующее выражение для ЙН: ЙН=Тг(О+ ' г(р — Р "' г(У. 2 2 (3) Уравнение (3) можно записать также в виде Г(Н=ТОО+ ( " г(К, 2 где К Р Ро (4) есть наклон луча, проходящего через центр М,(ро, Уо). Согласно равенству (4.2.4), К= — т', (6) где т — поток массы через ударный фронт, разделяющий состоя- ния ро, Уо и р, У (при этом Н(р, У, ро, Уо) = 0), Рассмотрим взаимное расположение следующих кривых: а) адиабаты Пуассона, заданной уравнением Н5 = О и проходя- ще" через точкУ Мо(Ро, Уо); этУ кРивУю бУдем обозначать бУк- вой Д; б ) аднабаты Гюгонио о(Н = О, проходящей через точку о(ро, о); обозначим эту кривую Н, о о,Уо); дР ()', ~) < О (» ду р(У.
О)- ° дР(У ~) >О (1Ц д5 д Р()', ч) > О (Ц) др' при У -+ О (1»), де(У' т) > О (Ч). $ С РАЗРЫВЫ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 211 (8) поэтому на адиабате А — > О. лн 41 У (9) Следовательно, Н < 0 в верхней Н ) 0 в нижней б) На луче 4(К=0 части адиабаты А (У < Уз), (10) части адиабаты А (У > У44).
4(Н = Т 415. (1! ) это равенство означает, что вдоль луча К знаки 41н и г(с совпадают и, в частности, совпадают стзционарные точки функций Ни5. Как было показано в п. 4 $1, на луче К = сопз1 > 0 энтропия 5 не имеет стационарных точек и монотонно возрастает с ростом р; на луче К < 0 энтропия 5 имеет единственную стационарную точку, в которой 5 достигает максимума. То же самое справедливо, следовательно, и для функции Н, так что Н вдоль луча К = сопз1 ) 0 не имеет стационарных точек; на луче К < 0 Н имеет единственный максимум, в той же точке, что и 5.
Отсюда следует, что на каждом луче, К= сопз1 0 существует единственная точка Мл адиабаты Гюгонио Н, лежащая между точкой МА адиабаты Пуассона и центром Мь Таким образом, существует кривая Н вЂ” адиабата Гюгонио, проходящая через точку МВ Гладкость адиабаты Гюгоиио следует из того, что она является интегральной кривой обыкновенного дифференциального уравнения (2), проходящей через центр Мз в) На адиабате Н из соотношения (4) следует Т г(5 = — ' 4(К. (У вЂ” $/0)2 (12) Отсюда следует, что если точка М(р, У) движется вдоль адиабаты Н так, что луч К(М,МА) движется по часовой стрелке (41К < 0), то энтропия 5 монотонно возрастает. Согласно формулам (3) и (4), при У= Ум р= рз 41Н= = Г415.
Таким образом, кривые А, Н в точке их пересечения Мо(ро, Уо) имеют общую касательную. Рассмотрим поведение дифференциалов 4)Н, д5, 4(К на каждой из указанных кривых. а) На адиабате А 445 = О. Согласно (4), 4Н вЂ” (1 ~ 4) 1К 2 Согласно свойствам 1, 11, вдоль А (т. е. при 5=сонэ() — )О 41К 4й" ГЛ 2. ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА 2!2 Суммируя наши заключения о поведении дифференциалов с(Н, с(5, а!К на кривых А, К, Н, заключаем, что в окрестности точки Ма, где аднабаты пересекаются касаясь, кривые А, Н располагаются так, как зто указано на рис.
2.26. Взаимное расположение адиабат А, Н в окрестности центра М, указывает на то, что касание адиабат А н Н должно иметь порядок не ниже второго. Подтвердим это выкладкой. Из (3) имеем вдоль Н т !5= — ',' (р+',Р,4У. ,4ф (13) Дифференцируя равенство (13) по переменному У, находим ,(~.,(5 1 Т,(а5 ! Уа На = — — с(У а!р — ' а!ар+ 2 Рис. 2.2а. + с(!з а!У = — — а с(зр (!4) т. е. Е(з5=0 в точке (ра, Уа) и касание кривых А, Н имеет второй порядок. Наконец, диффере!Гцируя (14) еше раз по найдем с(ЯУ' с(5 + 2 с(У' с(25+ 7" а(з5 — а!У г!Зр а г)зр Так как в точке Маа!5= а!З5=-0, то отсюда находим а!ар Т~Р5= — — а!Ус(зр и — = — — — < 0 а!Уа = 2T а!Уа в точке Ма согласно свойству П уравнения состояния. Таким образом, в точке Ма кривой Н отлична от нуля лишь а!ал третья производная — , .
Нетрудно видеть, что в окрестности центра Ма(ра, Уа) име!от место следующие свойства адиабаты Н: 1) Для любой точки М кривой Н К= Р Р' <О. У вЂ” Уа 2) Никакой луч МВМЛ не касается адиабаты Н при Ма Ф Мо 3) Каждый луч МВМВ пересекает адиабату Н не более чем в одной точке Ма чь Мо. 4) Каждый луч, пересекающий верхнюю ветвь адиабаты А, пересекает и верхнюю ветвь адиабаты Н. При этом на луче 2!3 О С РАЗРЫВЫ. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ <К Р Ро < дР(ко ьо) <О У Ро д!7 (16) Рассмотрим теперь следующую задачу: Задано состояние по одну сторону линии разрыва (ударной волны). Оно характеризуется параметрами и = и„ )7 = Рь Р = Ръ е = ео= е(Ро, )7о). Задан также поток массы т через фронт разрыва.
Требуется определить состояние (и. )У,Р,е) по другую сторону линии разрыва, исходя из условий Гюгонио. Предположим, что К= — т' удовлетворяет условию (16). Покажем, что для нормального газа эта задача всегда имеет, и притом единственное, решение. М,М„функции Н и 5 имеют профили вида, указанного на рис. 2.27. Заметим, что из свойств 2) и 3) не следует выпуклость кривой Н, так как эти свойства справедливы для лучей, выходящих лишь из определенной точки адиабаты, а именно из ее центра.
Докажем, что эти свойства адиабаты Н имеют место не только локально, но и в целом, Пусть Ми — произвольная точка адиабаты Н, Так как Н (Мнэ Мо) = Н (Мо, Мо) = О то на луче МоМя имеется стационарная точка функции Н (а в силу (11) и 5). Следовательно, РОоа о К ( О и свойство 1) адиабаты Н ) ! доказано. Докажем свойство 2) . Стационарная точка М„лежит стро- 4Р оо о А го внутри отрезка МВМВ и яв- Рас. 2,27.
ляется единственной стационарной точкой. Касание адиабаты Н с лучом К означало бы существование иа луче К двух стационарных точек функции Н и, следовательно, двух стационарных точек 5, что невозможно. Свойство 2) доказано. Из существования луча, пересекающего кривую Н в двух отличных от М, точках, необходимо следует существование луча, касающегося Н в точке, отличной от Мо. Это невозможно в силу свойства 2), и поэтому свойство 3) также доказано. Наконец, так как 5(МЛ) ) 5(Мо) при рл ) ро, то любой луч, пересекающий верхнюю часть адиабаты Н, пересечет сначала адиабату Н в точке М„, а затем адиабату А в точке МА.
Свойство 4) доказано. В частности, отсюда следует, что наклон луча К, пересекаю- щего адиабату Н в точке Ми чь Мъ находится в пределах 214 ГЛ. г. ОДнОМеРнАя ГАзовАя дИИАмикА Термодинамические параметры газа р, У определяются точ- кой пересечения адиабаты Гюгонио Н(р, У, рм Уо) = О с лучом К = ,' = — тг. Так как К удовлетворяет условию (16), то по свойствам 1) — 4) адиабаты Н точка (р, У) существует и опре- деляется единственным образом.
Итак, термодинамические параметры р, У, е определяются однозначно. После этого однозначно определяются все осталь- ные параметры ударной волны. По формулам (4.2.9) опреде- ляются разности ио — 0 = тро и и — 0 = т(г. Так как ио из- вестно, то отсюда определяется скорость 0 ударной волны. Значит, поставленная задача имеет при условии (!6) един- ственное решение.
Рассмотрим предельный случай, когда К= — т = г дР 11'о ко) д)г При этом значении К луч касается адиабаты Гюгонио (одно- временно Пуассона) в точке Мо(ро, Уо). Сопряженная точка М(р, У), характеризующая состояние вещества по другую сто- рону фронта, совпадает с Мо(ро, Уо), т. е. ударная волна яв- ляется бесконечно слабой. В этом случае и = ио и по формуле (4,2.8) имеем и — ())г= Р Р' о =С', т. Е. и — В=~С =~С. дР (Ра оо) дР о' о Таким образом, бесконечно слабая ударная волна движется по веществу со скоростью звука, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
