Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 46
Текст из файла (страница 46)
е. выполнены условия Уо < У! а и ~~ Уз < Уз (10) Нетрудно видеть, что (12) очевидны. Наконец, у — уо — — и — и, +(с, — с ) =,, (и —.и,). (18) т~+ ! Но нз уравнения (4) н условнй р! ) ро, и < О следует, что У вЂ” и, ) О. Отсюда у~ — уо О. Итак, конфигурация В совместна прн и! < ио и выполнении условия (9). Если же нарушено условие (9), то уравнение (4) не имеет карня У.
В этом случае происходит отрыв газов друг от друга, н уравнение (4) заменяется на два уравнения свободной границы: оу 2 и! — — и, + — с„ у~ — ! р =р (и)= (14) т. е р, = р, (и,) = ро (ь + — ', ' — '," ~" ' = о, (15) 2 ио= со. уо т. е. Уз Уз= (па+ со) — (и++ с+)= = — и — ( „—.,)= — — ', У) о. (1ц то+1 Неравенства у,— и=(и+.,) — и=с,)о; и — у,=и — (и — с )=. )о о О. ЗАДАЧА О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА 267 Так как из невыполнения условия (9) следует, что У~ Уо, то происходит отрыв газов друг от друга и решение имеет вид, изо- браженный на рис.
2.53. Области ГАОГ~ и ГЗОГА — области волн разрежения соответствен- Х ~/ но г = сопз1 и з = сопз1, об- (Р ласть Г1ОГА — область вакуу/ ао у' ма, в которой мы полагаем фц, аи р=О, р=О, с=О. оо 5. Обзор конфигураций. Газы с равным давлением.
Выпишем теперь условия осущес Л' ствления конфигураций А, Б, В в предположении ро ) ро, ио — — О. Конфигурация А возможна при выполнении условий и <и,<ив, (1) конфигурация Б при и конфигурация В при (2) ио ~~ив и~( ив (3) где (5) В случае р, = ро имеем и = „,=О. (6) Следовательно, в этом случае при и, ) О имеем конфигурацию Б, а при и1( Π— конфигурацию В.
Заметим теперь, что любому произвольному разрыву (набору величин уь р,, рь сь и~', уо, ро, ро, со, ио) условия (1) — (6) ставят в соответствие одну и только одну конфигурацию, параметры течения в которой рассчитываются однозначно, а на ударных волнах при этом выполняются условия устойчивости. Поэтому наше рассмотрение задачи о распаде произвольного разрыва показывает, что она всегда имеет одно и только одно устойчивое автомодельное решение. Тем самым мы доказали теорему существования и единственности решения задачи о распаде разрыва в классе автомодельных решений для политропных газов. гл, г, одномвенля глзовля динлмикл Возникает, однако, вопрос: может ли задача о распаде разрыва иметь устойчивое, но не автомодельное решение? Отрицательный ответ на этот вопрос может быть получен двумя способами: 1) доказательством теоремы единственности разрывных решений уравнений газовой динамики, т.
е. решений с ударными волнами и центрированными волнами разрежения; 2) непосредственным доказательством автомодельности любого устойчивого решения задачи о распаде разрыва. Что касается первого способа, то мы должны сказать, что в настоящее время еще не получены достаточно общие теоремы единственности разрывных решений уравнений газовой динамики, а их получение связано, видимо, с большими трудностями, хотя для политропных (и нормальных) газов никто в единственности решения, по-видимому, не сомневается. Следуя второму способу, можно действительно доказать автомодельность решения задачи о распаде разрыва, используя некоторые конкретные свойства всякого устойчивого решения этой задачи с кусочно-постоянными начальными данными. Однако мы не будем здесь заниматься подобным доказательством, а в качестве примера отошлем читателя к п. 5 $ 3 главы 4, где подобная задача решается для системы двух квазилинейных уравнений довольно общего вида.
6. Задача о распаде разрыва для изотермического идеального газа. Будем понимать здесь под газами «!» и «О» два изотермических идеальных газа, уравнения состояния которых заданы в виде р, с',ро ро= с',р с',= Н,Т, с',= Н,Т. (1) Изотермический идеальный газ можно рассматривать формально как политропный газ с показателем у = 1. Разница в рассмотрении заключается в том, что отбрасываем уравнение сохранения энергии и третье условие Гюгонио, заменяя его условием Т = сопя!. Поскольку анализ критических конфигураций был связан только с двумя первыми условиями Гюгонио, то все результаты предыдущих пунктов могут быть прямо применены к изотермическому случаю.
В формулах пп, 2 — 4 следует положить Ьд —— = Ь1 = О, у~ = уе — — 1, раскрывая, где это требуется, неопределенность. Рассмотрим выражения для ив, ив. Раскрывая неопределенность в формуле (6.5.4) при у~- 1, имеем пв — с~ !п С О (р1 ~ Рд) (2) Для ив имеем и =с ~/~' + ~' — 2=се~ ~/.~' — ~/~' ~. (3) $ о. ВАдАчА о РАспхдн п»оизволъного РАЭРыВА яея Условия конфигураций А, Б, В будут прежними. Отметим также, что при уа = уо = 1 условия (6.4.9) всегда выполнены, так что для изотермических газов отрыв газов и образование вакуума невозможны. Расчетные формулы после предельного перехода имеют вид: Конфигурация А: ! а и1 оа (Ма — М ) р (М)=р,ехр( ' ) =р (М)=рМ' (4) Формула (4) соответствует (6.2.12).
Конфигурация Б: и (М~) = и, — с, (М1 — — ) = и о (Мо) = со ~Ма — — ) (5) 1 ага М,= / — ' Мга а!»1 (6) так что окончательно: и, — с1 ~~ ц — Мо — у — ' — за = со ~Мо — — ~ (7) .Г»а 7» !1 Ъ»1 Ъ»а Ма1= ага где ио, ро, Уо означают параметры течения перед фронтом ударной волны, и, р, У вЂ” параметры течения за фронтом, следует, Формулы (5), (6) соответствуют (6.3.6) и (6.3.5). Наконец, в случае конфигурации В р1ехр( — ~, "' 1=роехр ~ . (8) Формула (8) соответствует уравнению (6.4.4).
Заметим, что все эти расчетные формулы можно легко получить, если пользоваться инвариантами Римана. )а(ы предоставляем читателю проделать при желании соответствующие выкладки. 7. Задача о распаде разрыва для нормальных газов. При исследовании задачи о распаде разрыва для нормальных газов мы, кроме обычных требований 1 — Ч (см. п.
3 9 4), будем требовать дополнительно выполнения следующего свойства адиабаты О Гюгонио: на верхней ее ветви величина (р — ро) (Уо — У) должна монотонно возрастать до оо одновременно с ростом энтропии 3. Тогда из соотношений (см, п. 2 9 4) и= >О (и — ио)' = (р — ро) (Уо — 1'), 270 ГЛ, З. ОДНОМБРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА что р, (и( являются монотонно возрастающими функциями е) параметра )ит(, или, что то же. Мо — — —. Напомним также )т) Росе (см.
п. 2 % 3, а также п. 7 9 2), что в бегущих волнах и, р связаны соотношениями 5=сопз1, и — Ф(5, р)=сонэ) 5=сопз1, и+Ф(5, р)=сопз1 где Ф(5, р) определяется формулой Ф(5, р)=~, О (з = сопз1), (3) (Г = сопи(), (4) (8) где р есть фиксированный предел интегрирования, а ам (5, р) = рс > 0 (Б) может считаться функцией давления р и энтропии 5. Из (8), (6) следует, что Ф(5, р) есть монотонно возрастающая функция давления р, Функция Ф(5, р) зависит от уравнения состояния, поэтому функции Фо(5,р) и Ф1(5,р), для газов «О» и «1» соответственно, вообще говоря, различны.
Начнем рассмотрение задачи о распаде с конфигурации А, полагая ио = и~ = О, Р~ > Ро (7) считая, что уравнения состояния газов «1» и «О» различны и для каждого из них выполнены условия ! — Н и условие монотонного роста и(М) (см. (1), (2) ). Из предположения (7) следует конфигурация А (рис. 2.47). В области 1'и' постоянен инвариант Г, поэтому и, + Ф,(5н р,)=и + Ф,(5„р ). (8) В области П р =р (М), и„=и (М), (9) *) Монотонный рост р(М,), как показано в и.
3 $ О, есть следствие условий 1 — Ч. где Ро(Мо), ио(Мо) означают состояние за фронтом ударной волны в газе «О» при заданном Мо и возрастают до со при возрастании Мо. Условия непрерывности скорости и давления на контактной границе Гз приводят к уравнению для определения Мо. и (Мо) = и, + Ф, (5Н р,) — Ф1 (5Н ро (Мо)) = и+ (Мо) = ио(Мо) (10) 271 (16) с =си и =и, Р =Ро поэтому ив определяется из уравнения Ро = Ро (Мо оо) (М„), ) в которых Мо,р выступает как параметр.
Если же уменьшать иь то, как мы видели, Мо будет уменьшаться и при и, = ив станет равным 1. При ио = ио ударная волна исчезает и решение принимает конфигурацию АВ (рис. 2.51). (17) О О, ЗАДАЧА О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА Левая часть (10) монотонно убывает, правая монотонно возрастает до со при увеличении Мо. При Мо — — 1, согласно (5), (?), имеем и-(1)=Фо(5о ро) — Фо(5ь ро)>0 (и,=О), 1 (11) .„(И=и,(Ц= О. Отсюда, как и раньше, следует, что уравнение (!0) имеет один и только один корень Мо ) 1. Фиксировав рь ро, будем изменять иь Функция и = — и (Мо, ио)=и, +Ф,(5и р,) — Фо(5и ро(Мо)) есть монотонно возрастающая функция иь Следовательно, корень Мо уравнения (10) есть монотонно возрастающая функция иь Рассмотрим, как меняются неравенства у,<у,<У<В (12) при изменении иь Неравенство У вЂ” У ) 0 очевидно в силу соотношения (4.2.8); (У вЂ” У)(и — У) =УР— У) = Р'(м' Р' ) О.
(18) Ро (Мо) — Ро Неравенство У вЂ” уо — — У вЂ” (У вЂ” с ) = с ) 0 также очевидно. Рассмотрим разность уо — уо= (У вЂ” с ) — (и, — с,) = (У вЂ” и,) — (с — с,). (14) Так как и =У, то из (8) следует У вЂ” и, — (с — с,) = Ф, (5Р р,) — Ф, (5„р ) + (с, — с ). (15) С ростом ио растут р = ро(чо) и с = с (5ь р ); таким образом, разности Ф~ (5И ро) — Фо(5ь р ), со — с уменьшаются. Итак, разность у, — у, уменьшается с ростом ио и при некотором значении и, = ио станет равной О. Область волны разрежения исчезнет, и решение будет иметь конфигурацию АБ (рис. 2.49).
При но=ив ГЛ. К ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА 272 Значение ив находится из уравнения и =Ф,(5„р ) — Ф,(5„р,) ( О, (18) которое следует из (10) при Мо —— 1. При и, ) ив (19) всегда совместна конфигурация Б (рис. 2.80). На контактной границе Го записываем условия непрерывности давления и скорости: Р- (М~) Р+ (Мо) (20) и (М,) =и+ (Мо). (21) Функция р (М1) — монотонно возрастающая функция параметра Мь поэтому из уравнения (20) М1 определяется как монотонно возрастающая функция Мо, а уравнение (21) можно рассматривать как уравнение для определения Мо. Замечая теперь, что левая часть (21) — монотонно убывающая, а правая — монотонно возрастающая функции Мо и что М1 (Мо кр) и (М )=ив, и (1)=и, ) ив, заключаем, что уравнения (20), (21) имеют один и только один корень Мо ) Мо кр ) 1; М1 ) 1.
Таким образом, условия совместности конфигурации Б (Мо ) 1, М~ ) 1) всегда выполнены при и~ ) ив. Наконец, при (22) и, (ив имеем конфигурацию В (рис. 2.52). Условие непрерывности скорости и давления на контактной границе Го имеет вид (р означает давление в зонах Ш, 7У, р = р+ — — р). Из него определяются р и (7. Левая часть уравнения (23) монотонно убывает, правая мо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
