Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Проекция этой кривой на плоскость 1'= О дает кривую и = и+ йо (5о, р), (9) которую мы ввели в п. 8 при решении задачи о распаде разрыва методом р, и-диаграммы. Аналогично для газа «1» следует построить зависимость и=и1 — п1 (5Н р), (10) где д1 (5Ь р) — проекция на плоскость Р' = О волновой адиабаты, построенной для газа «1». ГЛ. К ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА 284 Задача о распаде разрыва, так же как и в п. 8, решается определением точки пересечения (и+ = и; рс = р ) кривых (9) и (10).
Для единственности решения задачи о распаде разрыва приходится накладывать дополнительные ограничения на уравнения состояния. Например, в работах Б. Вендрофа [1972], Т. Лю [!975] накладывается еще одно требование: рг(У, е) = д~ [р(У, 5(У, В))] < О, (1 1) й' (Ооо Р) то р, р,с, Аналогично для слабых волн и, — и=у,(5О р) = — '— с, р — р, р — р, т~ Р~ Р ~со (2) Поэтому для распада разрыва с малыми амплитудами получаем, что значения давления р и скорости и на контактном разрыве независимо от конфигурации выражаются одними и теми же формулами: — + Р~ Ро Р и,— и, + рс, рс, Р~с~ росо росоио + р,с,и, 1 1 — +— р1со росс и= Р' '' + росо+ р1с~ (4) росо + рого при выполнении которого устанавливается единственность решения задачи о распаде разрыва (для случая, когда газы «0» и «1» описываются одними и теми же уравнениями состояния). Для существования решения задачи о распаде произвольного разрыва дополнительные ограничения на уравнения состояния требуются даже для нормальных газов (рост величины (р — р,)(У,— У) вдоль адиабаты Гюгон14о до бесконечности).
Естественно, что для сред с аномальными термодинамическими свойствами тем более требуются дополнительные ограничения, обеспечивающие существование решения задачи о распаде про] извольного разрыва. 1О. Линеаризованные формулы распада разрыва в случае политропного газа. Легко видеть, что величины Что(5», р) и ГРо(5с, Р) — Озо(Зо, Рс) при — = 1+ а,совпадают с точностью до Р Ро членов порядка е'.
Это же следует из анализа слабых ударных волн, проведенного в п. 7 $4. Поэтому, проводя в формуле (6.8.14) разложение по степеням малой величины Р Р' и ограРо ничиваясь лишь членами первого порядка, получим з З. ЗАДАЧА О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА 286 где величину и| мы заменили иа разность и| — ио. Формулы (3), (4) описывают решение задачи о распаде разрыва в акустиче- ском приближении, т.
е. для бесконечно слабых волн. 1!. Распад разрыва в канале переменного сечения. Рас- смотрим две полубесконечные цилиндрические трубы с площа- дями поперечного сечения Аь Аз, стыкующиеся в плоскости х = О (рис. 2.63) и заполненные газами, характеризуемыми на момент времени Г = О параметрами ип рь рь 5ь соответственно из рз, рм 5з. Возникающее при Г ) О движение газа является дву- .~л Й х, ГУ| мерным; однако можно считать, что волны, распростра- l няющиеся в каждой трубе, прн 1 -+ со, )х)-+ со становятся I близкими к одномерным. Приближенная картина течения Рис. 2.63, (мы будем называть это течение распадом разрыва на скачке сечения) основана на предпо- ложении, что асимптотика устанавливается мгновенно и течение распадается на два одномерных, разделенных бесконечно тон- кой зоной перехода, заключенной между плоскостями к = — в, х = +е. Движение в области перехода является стационарным потоком, так что величины ) = (и, р, р) слева и справа от зоны перехода (мы будем их обозначать 1-, 1+ соответственно) свя- заны соотношениями А, (ри) = А, (ри)", (1) (2) [е(р, р)+ — '+ — ",'1 =[.(р, р)+ — '+Я .
Первое выражает закон сохранения массы, второе — закон Бернулли. К этому присоединяется третье соотношение, которое в разных моделях распада выглядит по-разному. Мы ограничимся адиабатической моделью, в которой предполагается сохранение энтропии в зоне перехода *).
Для политропного газа, следовательно, имеем (3) ") Полиыя анализ задачи о рзснзде разрыва на скачке сечения имеется в работах В. Г. Дулова 1|9581 и И. К. Яу|нева [|967). Рассмотрим простейший случай распада разрыва — набегание ударной волны, идущей по покоящемуся газу с параметрами рь рь и| и выходящей из широкой части трубы н узкую. Мы гл. а одномвюзхя гхзовля динхмикл а~р 1+ Ь Ь,и на Г,: — +— рз 1 — й сз на Г,: — 6+ +— изи изр из трз — + изьзи Рз на Гз.
сззр =ьзи =О, а) б) (6) в) г) Полные ной волны Пользуясь а) изменения ьи, сзр вызваны изменением силы И ударпрн переходе нз широкой части трубы в узкую. условиями Гюгонно для полнтропного газа — "=П+ь) и' — ь, Р~ —,"' =(1 — ь) (и — — '). сз ф~( + /~~( +Ь б) (6) в) р, м г) р, 1 — я+армс у будем предполагать, что скачок сечения невелик, т. е. выполняется условие А =6«1 (4) Тогда можно считать возмущение ударной волны малым н лннеарнзовать расчетные формулы.
После прохождения ударной волны через скачок сечения мы будем иметь следующую конфигурацию разрывов; направо идет ударная волна 0ь за ней в точке х = О имеет место разрыв, подчиняющийся соотношениям (1) — (3), назад идет отраженная волна; между прошедшей ударной ~7 Р У~ волной н сечением х = О находится контактная граница. На рнс. 2.64 с изображена конфигурация разрывов *У ~ в плоскости х, 6 Линия Гз есть трау У екторня ударной волны, вошедшей в узкую трубу, Г! — траектория от- х раженной ударной волны, Гз — пеРис.
2.64 реходная зона, Г, — траектория контактной границы. На линиях Гь Г,, Г, параметры течения испытывают скачки небольшой амплитуды, н соответствующие условия примыкания можно лннеарнзовать. Обозначим через сзр, сзи полные изменения р, и прн переходе от состояния (2) к состоянию (3), через ьзр, сз;и изме. пеняя р, и прн переходе через Гс (з = 1, 2, 3). Справедливы лннеарнзованные соотношения: $ К ЗАДАЧА О РАСПАЛС ПРОПЗВОЛЬПОГО РАЗР!ЛВА 287 имеем а) '~ = 2 (1 + Ь) М ЛМ, Р~ Р! )( + М!) (7) б) где Й (М) = 2 [(1 + (1 — Ь) — ) (2к + ! + А)!! ) ~ (9) 2 М! — — !) (10) Уравнение (8) дает связь между изменениями силы ударной волны и сечения трубы.
Р. Чиснелл (1957) предложил использовать формулу (8) для распада нестационарного ударного фронта, движущегося в канале с непрерывно меняющимся сечением, В теории Чиснелла канал с непрерывно меняющимся сечением аппроксимируется последовательностью цилиндрических каналов (рис. 2,65), примыкающих друг к другу, а переход ударной волны из одного цилиндрического участка в другой описывается формулой (8). Интегрируя уравнение (8), находим А)(М) = сонэ!, где (12) (13) з= М вЂ” Ь. 2т у+1 (14) Соотношения (6) позволяют выразить величины с индексом 2 через величины с индексом 1 и известные функции от М, и тогда коэффициенты уравнений (5а), (5б), (5в) будут выражаться через М и величины с индексом 1.
Уравнения (5а), (5б), (5в), (7а), (7б) дают систему пяти уравнений относительно четырех величин: Л!и, А!и, Л!р, Лгр. Условие алгебраической совместности уравнений (7) приводит к уравнению, впервые полученному Б. Честером [1953): НЛ 2М !)М А (А!! — !) А (М) (8) ГЛ, К ОЛНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДННАМИКА 288 Для сильных ударных волн 2 й(М)-уй(со)= ( ( . (17) Тогда из уравнения (15) имеем Рис 2.65.
М А (18) Оценка (18) была применена Чиснеллом для установления асимптотики сильной ударной волны в случае цилиндрической и сферической симметрии. Из (18) следует М х-л, /с и=в 2 (19) для цилиндрической ударной волны и М х", п=й (20) для сферической ударной волны (х — расстояния до оси или, соответственно, точки симметрии), Сравнение оценки (19), (20) с автомодельным решением Гу- дерлея для сходящейся ударной волны (см. 9 9, п. 5) показы- 5 7 вает прекрасное совпадение. Так, для у= —, — имеем еле. 3' 5 дующее сопоставление показателей Аи цнлннврнвесклв новел Сеернвесквв волна Чнсвелл ~ Гулерлей Чвснелл Гулврлер т=5/3 2=7/5 0,2254 0,1971 0,4508 0,394! 0,2260 0,1973 0,4527 0.394М Величина й(М) есть медленно меняющаяся функция М.
Так, для у — й(1)=-, й(оо) 0,394. Если считать й постоянной, 7 1 5 2' интеграл (11) упрощается и приводится к виду А" (Мз — 1) = сопзй (15) 1 Для слабых ударных волн при произвольном у й(М) — н — и формула (15) принимает внд 1 М вЂ” 1-А (18) $ П. ЗАДАЧА О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЪНОГО РАЗРЫВА 989 Изложенная теория Чиснелла не учитывает дополнительного воздействия вторичных волн, отраженных от стенок канала и догоняющих ударную волну. В работах Р. Чиснелла 11955, 1957] в формулу (18) были внесены поправки, оказавшиеся, впрочем, несущественными.
Г. Уитэм (1958) дал простое истолкование уравнению (8). Как известно (см. К. П. Станюкович (1955) ), течение в канале в одномерном приближении описывается уравнениями — + — — (риА) = О, др 1 д д! А дх дг дх р дх где А(х) — площадь поперечного сечения канала. Уравнения (21) могут быть переписаны в характеристиче- ской форме: 1 др ди си д!пА а) р дй дй и — с дй б) — "(-')=' 1 др ди си Ф!пА в) — — + — + — =О, рс дгз дгз и+ с д1з (22) где д д д д д д д д — = — +(и — с) —, — = — +и —, — =-8~-+(и+ с)-з-. ЙЬ дс дх ' Жз д1 дх ' Жз дТ дх ' (23) Предполагая для определенности, что ударная волна движется слева направо и что разница наклонов траекторий ударной волны и догоняюзцей характеристики невелика, можно приближенно считать, что соотношение с(г= — з(р+ з(и+ — с(1пА=йг+ — с(!пА =О (24) рс и+с и+с выполняется не только вдоль г-характеристики, но и на траектории ударной волны.
Из (ба), (6б) имеем с(~ = с(и+ — з(р = сз ~(1 — Ь) (1+ —,) + Р' (1+ Ь) М~ с(М. (25) Подставляя (25) в (24), приходим к соотношению ~ — )('+аз)+рсзс, +Ь)М3«+; —,и'-Д'.-с)«1'4=9. (26) которое в силу соотношений (6) эквивалентно (8), гл, к одномвгчмя глзовля дннхмикх »90 Так как предположение (24) справедливо не только на слабых волнах, но и на сильных, входящих в центр, это объясняет хорошее совпадение теории Чиснелла с автомодельным решением для задачи о сходящейся ударной волне. Для течений, обладающих тем свойством, что наклон характеристики, догоняющей ударный фронт, близок к наклону ударного фронта, разработаны различные приближения, хорошо описывающие поведение течения вблизи фронта (метод Пуанкаре— Лайтхилла — Го (см. С. Цзянь (1959)), метод коротких волн (см. С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
