Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 65
Текст из файла (страница 65)
п, 1), что схема (7) обладает при х = 1 бесконечным порядком аппроксимации. Это, впрочем, следует и из дисперсионного уравнения, так как а(т, Ь, я) = — йа (при (я! ( и/6). Схема (7) обладает свойством монотонности (см. С. К. Годунов [1959] ) при х ( 1, означающим, что монотонный профиль и (х) переходит снова в монотонный профиль и +'(х). Действительно, если Л ~и (х) = 0 при всех х, то из (7) имеем и"™ (х) = (1 — х) и'" (х) + хи'" (х — й), А 1и +' (х) =(1 — х) Л 1и'" (х) + ИЛ 1и'" (х — Ь) ~~0.
$ Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 383 Можно рассмотреть «размазывание» схемой (7) разрыва в начальных данных (9) Задача (7), (9) может быть решена аналитически. Из равенства (7) имеем и'"+' =Си'", С=аЕ+РТ, а=1 — х, Р=х, и = С"и =(аЕ+ ()Т,) и'= ~ ( )а™Р Т,и'. (10) А-О~ й' Иэ формулы (10) следует, что и'"(х) =! при х О, 1 =» ) и'"(х)РО при 0(х пй, и'"(х)= 0 при х) тл.
Интересная деталь состоит в том, что функция и (х) будет разрывной функцией переменного х; именно: и" (х) постоянна -г-1 р 7 г,у у=и лу т+1 л' Риа 3.3. при (й — 1)/г ( х (/сй и каждая точка х = /сй при /с ) 0 есть точка разрыва и (х).
Это связано с тем, что мы рассматривали задачу Коши (7), (9) для разностной схемы (7) при всех х, а начальная функция разрывна. Можно рассматривать задачу (7), (9) лишь для точек х = ЙЬ, тогда мы будем иметь дискретный набор значений и, который дает представление о плавном изменении и„"'. На рис. З.З мы приводим график и (х) (тонкой линией) и сглаженный профиль и'„" (жирной линией).
Между прочим, наличие разрывов (хотя и уменьшающихся по амплитуде с ростом гп) у функции и" (х) означает, что понятие аппроксимационной вязкости отражает лишь общие черты поведения решений разностных уравнений. Отметим, что, например, при х = 1/2, а = Р = 1/2 и при четном числе шагов лг = 2л среднее значение и = 1/2 будет находиться в точке х = т6/2 и профиль симметричен относи- тельно точки х = тй/(2, и = 1/2. ЗВВ Гл. 3. РАзностныа матоды глзовои динАмики Мы видим из рпс, 3.3, что среднее значение и = 1/2 движется по сетке со скоростью а, в то время как профиль сглаживается симметрично относительно средней точки.
Мы имеем здесь аналогию со сглаживанием начального разрыва в задаче Коши для уравнения ди ди дти — +а —. д/ дх дх' ' Еще более наглядный пример действия аппроксимационной вяз- кости схемы (7) мы получим, рассмотрев для (7) задачу Коши: 1 1 — при !х!( —,, /1 ио (х) 0 при ~х~) —, (см, С. К. Годунов (!959), Л. Коллатц [1951), где эта задача используется для анализа распространения ошибок в решениях разностных уравнений).
По формуле (10) вычислим значение решения и',"=и (й) в точках к = гй. Мы имеем итг= — „~~' ( ) ат "рьбо „= — „( . ) а 1(11. (12) А-О Профиль и, имеет вид биномиального закона распределения, максимум профиля перемещается со скоростью а. Пользуясь аналогией с теорией вероятностей *), можно изучить предельное поведение решения разностной задачи (7), (11) при иг-и оо. Применив формулу Стирлиига, получим 1 1' г-та '12 (" т) азият-! Е 2 т,~7йд / + 8 т/2нтай (13) 1 — та Ц= З/тар ") Нв внвлоги1о есимптотических свойств ревностных решений с предельными теоремами теории вероитностей указал А.
И. Жуков [19591. Нвш внвлиз в основном следует его работе. где С, — величина, зависящая от а, но ие зависящая от а (8~<1. При больших т 1 /т-1-те;з 1 / тз-! '12 Ггт Е 2 1, тгтаВ / е 2 ~~ В/, (14) А т/2ятай Ь |/2и з/тай Введем величины (/г =из 1/тсф, $2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ звв тогда У" (у)- е "!. А |г!2х если т-~. аю, а 1 меняется так, что у конечно. Покажем, что асимптотическое поведение и определяется спектральными свойствами оператора шага С = аЕ+ 6Т ! разностной схемы (7). Обозначим 5 = Тг( — ат) — оператор шага для задачи Коши (6), (1!), и'"(х) — решение (10) задачи Коши (7), (!1) и и (к) = й(тт,х) — решение задачи (6), (11). Тогда и«Сюию и — 5 ию и =С 5 и =(С5') й. Оператор С5-' характеризует отклонение на одном шаге разностного решения от точного.
Перейдем к спектральным образам операторов С, 5, С5-'. Соответствующие этим операторам коэффициенты умножения р = е"' имеют вид Рс=(1 — х)+ хе 22", Рз — — е-гааь Р з-' РсР ! =(1 — х+хе ьь) е'""= сз- се = 1 — — — )22+ О (й'т'). х 2 1 — х а'т' '! и р! ,)„, = ~1 )гг ! О (тз)гю) + е-ь'ьч х 1 — х а'т Ь =— 2 (16) Таким образом, оператор решения Х(!) разностного уравнения (7) асимптотически представляется в виде л «) = ьг «) 5 (г), где 5(!) — оператор решения уравнения (6), очевидно, равный Тг( — а!), а !!(г) — оператор отклонения, спектральный образ которого соответствует формуле (16), т.
е. ее!2) ! е-ь'ьч и юь «г) — Ь2йг (17) Отсюда следует, что для оператора Х спектральная функция имеет вид юге (!г) = — га/г — Ь'й'. (18) Рассмотрим теперь асимптотические свойства оператора отклонения (С5 — ')'". Если зафиксировать /г, то при т-ьсо, Т-РО, тт = ! имеем зав гл, з, глзностпыс методы глзовои динлмики в ряд по степеням параметров т, й, получаем ((Уо+ а7У!+ 2 т0о — 2 айО'+ ...) и=О. (21) Отбрасывая в (21) старшие члены и подставляя затем 7У~ ~= аЧУ'„ получаем уравнение ди ди ! дои — + а — = — ап(1 — к) —, д! дх 2 дха ' (22) которое совпадает с уравнением (!9).
Уравнение (22) будем называть первым дифференциальным приближением разностного уравнения (7) . Легко видеть, что разностное уравнение (7) аппроксимирует уравнение (22) на его решениях и ~ Со с точностью до величин порядка т', Ь'. Поэтому с точностью до величин второго порядка можно говорить, что разностная схема (7) «добавляет» дои к уравнению (б) вязкость Ь~ —,. Указанный прием получения первого дифференциального приближения разностной схемы принадлежит А.
И. Жукову. В последние годы понятие первого дифференциального приближения разностной схемы подробно изучалось, и оно нашло ряд применений при изучении свойств разностных схем, в основном для случая гиперболических систем уравнений (см., например, Н. Н. Яненко, Ю. И.
Шокин [1988), Ю. И. Шокин [!973, 1976), Н. Н, Кузнецов [1972] ). Из выражения (18) видно, что оператор Х(!) совпадает с оператором решения параболического уравнения — +а — =Ь— ди ди о д'и д! дх дха ' (19) И действительно, решение уравнения (19) с начальным условием (11) дается выражением м — а1!' ! и(х, !)ж е 2 Л/ива! При 6-»0 формула (20) становится точной. Полагая ( = х!й, гп = 1/т, видим, что выражения (14) и (20) совпадают. Таким образом, мы еще раз убедились, что уравнение (20) описывает асимптотическое поведение решений разностного уравнения (7) при т, й-» О, к ( 1. Укажем формальный способ получения уравнения (19) из разностной схемы (7).
Раскладывая разностное уравнение (7) (Та — ŠŠ— Т ~) (е~ж — ŠŠ— а $ а ОснОВные поняи!я теоРии РАзностных схем 887 Кратко рассмотрим здесь способы изучения и применения первого и следующих дифференциальных приближений явной разиостной схемы а ! (. ) — и (х) !л — = Лои (х). (23) Пусть оператор Ло не зависит от х и является некоторой аналитической функцией параметра т) О, Л, = Л,(т). Для системы (23) поставим начальное условие ио(х) = и (х), (24) Решение задачи Коши (23), (24) имеет вид и (х) =й((, х) =(Е+ тЛ,)'('и,(х); (25) при этом (= и!т. Представление разностного решения й(йх) в виде (25) аналитически продолжим для любых ( и т ) 0; это означает, что мы будем применять его и ири (, нс кратных т.
Дифференцируя (25) по переменному (, получаем йй ((, х! (и (6+ та~) й (, х) !(! т — систему дифференциальных уравнений, которые описывают поведение решения разностной схемы (23) через функцию й(йх) непрерывного аргумента й Заметим, что функция й((,х), определенная как решение системы (26) с начальным условием й(0, х) = ио(х), следующим из (24), совпадает с и (х) в точках г= гит, т.
е. решения и, (х) задачи (23), (24) и й,(йх) системы (26) связаны условиями и'," (х) = й, (лгт, х). Отметим, что формальная запись системы уравнений (26) в виде тл — [л !.с! — )!'~л! ]!, (28! л ! следующем из разложения правой части (26) по степеням параметра т, является одним из возможных формальных представлений разностной схемы (23). Уравнение (26) или (28) иногда называют П-формой дифференциального представления разностной схемы (23). Оставляя в правом части системы (28) несколько старших членов относительно т- О, мы получаем дифференциальные приближения разностной схемы (23) различного порядка. При этом мы должны учесть зависимость Л, от параметра т.
888 Гл. а РАзностные метОды ГАзовоп дипАмики Для того чтобы эти дифференциальные приближения описывали поведение разностного решения й(й х) при т- О, необходимо, чтобы ряд в правой части (28) сходился в некоторой окрестности т = О. На нескольких примерах поясним получение дифференциальных приближений. Пусть оператор ЛА ограничен и не зависит от т. Тогда ряд (28) сходится при т!1Ло!! < 1 и расходится при т!!Ло!! > 1, Здесь имеется в виду эрмитова норма оператора ЛА в пространстве компонент вектора и = (и1,...,и„) в точках (хл), связанных в разностной схеме (23).
В этом случае схема (23) аппроксимирует систему обыкновенных дифференциальных уравнений = Лзй(1, х), (29) которая в общем случае представляет собой бесконечную систему уравнений. В случае периодических граничных условий она сводится к конечной системе. Уравнения (29) являются дифференциальным приближением разностной схемы нулевого порядка; оставляя в правой части (28) все члены до й-го порядка по т, получаем дифференциальное приближение разностной схемы (23) й-го порядка. Очевидно, при любом т таком, что т!~ Лз11 ( 1, дифференциальные приближения тем точнее описывают поведение решений разностной схемы, чем выше их порядок.
Например, система (23) в случае Л,=аЕ имеет первое дифференциальное приближение лг О(1 2 )й из которого видно, что аппроксимация (23) уравнения и1 = аи занижает скорость роста )и! при а) 0 и завышает скорость убывания )и) при а - О. Пусть теперь Ло зависит от т. Для удобства интерпретации эту зависимость запишем в виде ЛА = Л,(Ь(т)). Тогда при выполнении условия т11Ло(Ь(т)) 6 < 1 (30) справедливо то, что сказано выше об описании разностных решений с помощью решений дифференциальных приближений й-го порядка О Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 889 т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
