Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 66
Текст из файла (страница 66)
е. чем выше порядок Ь дифференциального приближения, тем точнее его решения описывают решения разностной схемы (23). Обратим внимание, что мы не проводили разложения Л,(Ь(т)) по параметру т. Отметим, что условие (30) сходно с обычными условиями устойчивости разностной схемы (23) и тем не менее не совпадает с ними, Например, для схемы (23) с Ло(Ь) = ! = —, (Т, (Ь) — 2Е+ Т, (Ь)], аппроксимирующей уравнение теп= А' лопроводности, (30) приводит к ограничению на шаг т «с Ьз/4, тогда как условие устойчивости явной схемы допускает вдвое больший шаг т ( Ь'/2.
Однако никакого парадокса в этом нет. Просто при Ьо/2 ) > т > Ьо/4 существуют решения разностного уравнения (23), поведение которых не может быть описано никаким дифференциальным уравнением конечного порядка. Эти решения соответствуют пульсирующим на каждом шаге по / гармоникам, которые затухают с ростом времени й Рассмотрим еще один пример — разностную схему т-~- (к) т (к) т (Ь) Д т — а и а>0. Ь Ф Здесь Ло= а (~ Ло((= — „ т ,(А) — д 2а н условие (30) приводит к 2та/Ь = 2х (!. Это снова в два раза более жесткое ограничение на шаг т, чем требует условие устойчивости (х ( 1), и это опять объясняется тем, что уравнение первого порядка (31) не может описывать знакопеременные на каждом шаге по ! решения разностной схемы (32), какие она имеет при х > 1/2.
Приведенные примеры показывают, что дифференциальные приближения (31) разностной схемы могут не описывать поведение всех решений разностной схемы (23) и по этой причине могут создать неверное представление о свойствах устойчивости разностной схемы — свойствах, присущих именно разностной схеме и связанных со всем спектром разностной схемы. Заметим, что тем не менее решения уравнения (31) могут неплохо отражать поведение решений разностной схемы (23) и при нарушении условия (30), если т!! Ло(Ь(т) ) ио(к) (( ~ 1 и разностная схема (23) устойчива. Аналогично строятся дифференциальные приближения и для неявной разностной схемы = Лоим+' (к). зво гл.
з. гхзностные методы газовая динамики В этом случае (26) заменяется на дй(я х) )п(Š— тй,) Ж вЂ” й(Л х) и уравнение (28) на Можно далее использовать свойство аппРоксимации Лп(Ь) -7,(Р) для преобразования уравнения (28). Если (33) то мы можем подставить зто представление Лп(Ь) в правую часть (28) и получить новое представление разностной схемы (23) в виде дифференциального уравнения (28), в правой части которого стоит операторный ряд по степеням шагов т и 6. Это уравнение есть формальная запись схемы (23), справедливая, однако, при выполнении условия (30). Условие (30) фактически ограничивает закон предельного перехода, так как из него мы имеем ограничение т ( 1Д Лп(Ь))~ — условие, при котором разностная схема (23) асимптотически по т -и 0 эквивалентна уравнению бесконечного порядка (по х) (28).
Из условия (30) вытекает, какие члены в (33) следует учитывать при подстановке (33) в (31), если мы ограничиваемся степенями т". Таким образом, мы получаем первое дифференциальное приближение в виде уравнения в частных производных, когда в (31) полагаем й = 1 и учитываем соответствуюшие, согласно (33), члены по Ь. Для схемы (32) имеем первое дифференциальное прибли- жение ди ди ! д'и ат — + а — = — аЬ(1 — н) —, н= —, д2 дх 2 дх'' А ' (34) которое совпадает с уравнением (22). Как ясно из изложенного, дифференциальные приближения разностной схемы, вообще говоря, не могут определять условия ее устойчивости или неустойчивости, Тем не менее для ряда схем, аппроксимирующих уравнения гиперболического типа, показано совпадение условий устойчивости разностной схемы с условием корректности задачи Коши для ее первого дифференциального приближения (см.
Ю. И, Шокин [1973) ). 2 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ Р»ЗНОСТНЫХ СХЕМ зв! Так, для системы уравнений (1) с симметричной матрицей А рассмотрим простую разностную схему 2 и е' (х) = Е Вии"'(х+ ТЛи), (35) а первое дифференциальное приближение которой имеет вид — +А — =С,—, ди ди д»и д2 дх »дх'' (36) где Г 2 и = — /сх»,— А1, и 2 Л В„= — А. Ви= Е, а а Теорема.
Для устойчивости разностной схемы (35) необходимо и достаточно, чтобы задача Коши для ее первого дифференциального приближения была корректна. Д о к а э а т ел ь с т в о. Если разностная схема устойчива, то выполнено условие Неймана, т. е. ! р11~= 1 — 4)»г(! — )»!) Е1п — (Л< — Л2) ~ 1 (1= 1, ..., и), (37) где рп ..., р„— собственные значения матрицы перехода схемы 6 = В,е'»'М + (Š— В,) еы1м !»~ — собственные значения матрицы В~ (! = 1,..., и). Тогда из (37) вытекает, что О ( р! < 1 и, следовательно, собственные значения матрицы Вг= Š— В~ также ваключены между О и 1.
В рассматриваемом случае С2= Е (Л, — Лз) В,В2= Е (Л, — Л2) В,(Š— В~). (38) Поэтому собственные значения матрицы С, неотрицательны н задача Коши для системы уравнений (36) корректна в Е2. ОбРатно, если С2 ~ О, то иэ (38) следУет, что Ви ) О (а = 1,2) и схема (35) устойчива в силу теоремы К. О. Фридрихса [!954) (см. $ 3). Рассмотрим для системы уравнений (1) мажорантную схему 1 и'"+' (х) = ~ В„и'" (х+ ай), (39) и- -~ где В,=+ИА~, В,= — ИА, А++А = — А, А )О, А (О, В,=Š— х(А+ — А ). 392 ГЛ. 3. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ Ее первое дифференциальное приближение имеет вид (36), где ь' По = — (В Во) Во 2т В этом случае имеет место аналогичная теорема.
Теорема. Для устойчивости мажорантной схемы (39) необходимо и достаточно, чтобы задача Коши для ее первого дифференциального приближения быга корректна. Д о к а з а т е л ь с т в о проводится подобно доказательству предыдущей теоремы. В общем случае двухслойной разностной схемы для уравнения (6) имеет место следующее утверждение: из устойчивости двухслойной разностной схемы для уравнения (6) следует корректность задачи Коши для ее первого дифференциального приближения в случае нечетного порядка аппроксимации и для ее второго дифференциального приближения в случае четкого порядка аппроксимации, Обратное, в общем случае, не имеет места, что и показывает пример следующей схемы: ииг+' (х) — иы (х) ы иы (х — 2А) — и"' (х — А) = Лои (х) = (40) абсолютно аппраксимирует систему (40) и устой гпва по Петровскому при условии т/й'~ ( с, (42) где р — порядок системы (40), с — некоторая положительная постоянная. Из условия корректности задачи Коши для первого дифференциального приближения следует к = т//г ( 3, тогда как эта схема неустойчива прн любом н ) О.
Теперь рассмотрим применение дисперсионного анализа к исследованию устойчивости явных и неявных разностных схем, Две следующие теоремы (А. М. Ильин, [1965) ) устанавливают существование условно устойчивой явной и абсолютно устойчивой неявной схем для корректных систем уравнений с постоянными коэффициентами. Т е о р е м а 1. Пусть система уравнений Р— =/. (П) = ~ А П'ъ о о имеет постоянньге коэффициентьг (т. е. матрицы Аи) и корректна по Петровскому.
Тогда явная схема =ВЯи, Л= ' 2 ', (41) 3 Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 393 Д о к а з а т е л ь с т в о. Спектральный образ оператора решения разностной схемы (41) имеет вид С о(/з) = С о(й,.т) =(Е+ТЕ,(Ез))~, где з = з!п пй/Ь, а спектральный образ оператора решения системы (40), соответственно фй Е 0) =ешвь1 Ввиду корректности системы (40) по Петровскому справедлива оценка (см. (1.3.21)) Ц ес<пч Ц(сапа! (1+ ! Л !) (43) с некоторым целым т, для всех действительных Л. Оценим норму оператора Ф (з) = (Е+ ТЕ (Ез)7" е-'с< "1. Так как ЦЕ(Ез)Ц(сопз! п Р, (44) где сопз! не зависит от й, то, ввиду условия (42) при доста- точно малых й будем иметь ЦТЕ (Ез)Ц < 1/2 и тогда Ф„(з) = ехр [т !и (Е + ТЕ.
(Ез)) — ЕЕ (Ез)) = =ехр (т(ТЕ(Ез) — т Е'(Ез) (! + О(ТЦЕ(Ез) Ц))1 — Е/. (Ез))/= = ехр ( — тп — с' (Ез) (1 + О (т Ц Е (Ез) Ц)) ~ . Из неравенств (42) и (44) следует ЦФ (з)Ц(сопз1 равномерно для всех й, пт, т при 0(тт= !(Е. Теперь, учи- тывая (43), получаем Ц С,ь (Ез) Ц ( Ц Ф (з) Ц Ц е'~ ~ил Ц ~ сова! (! + ! з !') ~ ~сопз1 (1+ ! й !'), т. е.
схема (41) устойчива по Петровскому, Т е о р е м а 2, Пусть система уравнений (40) является кор- ректной пс Петровскому, Тогда неявная разностная схема =5 ( — „) и'"+' (45) абсолютно аппраксимирует систему (40) и абсолютно устойчива по Петровскому, Д о к а з а т е л ь с т в о. Спектральный образ оператора шага схемы (45) имеет вид С(Ез) = — С(й, т) = !Š— ТЬ (Ез)Г, 394 ГЛ, 3, РАЗИОСТИЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ а спектральный радиус соответственно равен 1 где Л;(1з) — характеристические корни матрицы Е(1з). Как известно, для систем, корректных по Петровскому, собственные числа Л;((з) имеют конечную вещественную часть цеЛ1(1з) ( 1А < Оо, следовательно, ! рх1(1+ сопя( ° т. (46) Заметим, что если матрица 7.((з) нормальна, то отсюда сразу следует корректность схемы в Еь В общем случае мы применим более точные оценки для матрицы С((з).
Поскольку произвольная функция от матрицы 7(А) полностью определяется значениями 7 на спектре матрицы А, мы можем представить 7'(А) в виде интерполяционного полинома Ньютона 1 (А) = Ь,Е + Ь, (А — Л,Е) + + Ьз (А — Л1Е) (А ЛзЕ) + ... + Ь 1 (А — Л1Е) ... (А — Л 1Е), где ! ЬА !» гпах ! )ч11 (Л) 1, А П П вЂ” наименьший выпуклый многоугольник на комплексной плоскости, содержащий все собственные числа матрицы А: Л„..., Л„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
