Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 70
Текст из файла (страница 70)
При этом может произойти увеличение времени работы ЭВМ, так как эти программы не учитывают специфики систем вида (5), характерной для уравнений математической физики. Чтобы иметь возможность обсудить схему (5), мы предложим конкретный способ решения этой системы — метод последовательных приближений Пикара. Этот метод, как известно, применим для произвольных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, нелинейных и зависящих от ! (см., например, Ф.
Хартман [1964)). Он превращается в особенно удобный вычислительный процесс для линейных систем (5) с постоянными (не зависящими от 1) матрицами Л(Ь). Очевидно, что этот процесс обобщается на случай переменных матриц Л(Ь) и нелинейных систем (5); столь же очевидно, что при этом возникнут некоторые усложнения и трудности. В работе Б. Л. Рождественского [1974) описаны некоторые вопросы применения метода Пикара для численного решения задач математической физики. Здесь мы очень кратко остапа. нимся лишь на основных моментах.
Решение системы (5) на одном шаге от ! до ( +~ = ! + т задается формулами (10) с~ и л-О где и =(иД=(иг(! )~. Ряд (10), как известно, сходится при любом т, Это обстоятельство является очень важным, если мы заинтересованы в счете с большим шагом т. Второе важное обстоятельство состоит в том, что при увеличении шага т не происходит уменьшения точности решения задачи (1), (2), так как мы имеем возможность вести вычисления суммы ряда (10) с заданной точностью.
Таким образом, при решении системы (5) мы не вносим дополнительной погрешности, погрешности временной аппроксимаиии, которая присуща схемам (3) и (4). Следует, однако, иметь в виду, что иногда погрешность временнбй аппроксимации уменьшает или даже уничтожает погрешность пространственной аппроксимации, как в случае явной схемы для уравнения ис + аи, = 0 при и = ат/Ь = 1. Вычисление конечной суммы ряда (10) может быть организовано в виде удобного вычислительного процесса, в котором вычисление каждого следующего члена ряда эквивалентно по объему работы одному шагу явной схемы (3); каждый следующий член ряда (10) увеличивает на единицу порядок точности по т схемы (5). 414 Гл.
А РАзностные методъ| ГАЗОВОВ динАА|ики Таким образом, в принципе можно задавать столь высокую точность вычисления суммы ряда (10), варьируя число учитываемых членов ряда, что соотношение (10) П~~.~-! — Еах |А)д~а будет выполнено с заданной точностью. Отсюда следует, что норма оператора шага схемы (5) ограничена (! ЕтА |М (! а 'Еат (при отсутствии вырождения). Однако при практическом вычислении на ЭВМ суммы ряда (10) возникает ограничение на величину т сверху.
Понять причину этого ограничения очень легко. Представим себе, что мы вычисляем с помощью ряда (!О) величину е — А', Л ) О, где Лт— значительная величина. Тогда е — А' близка к нулю, однако многие члены ряда (10) велики и, чтобы вычислить сумму ряда (10) с определенной точностью, скажем с пятью десятичными зна. ками, нужно вести вычисления членов и конечных сумм ряда (10) со значительно большим числом знаков. Однако вычисления в ЭВМ ведутся хотя и с большим, но ограниченным числом знаков, и это ставит ограничение на величину т.
Конкретная граница для т зависит от представления чисел в ЭВМ, на котороя проводятся вычисления: длины мантиссы числа, длины порядка числа и некоторых других деталей. Для отечественных ЭВМ с 48-разрядным двоичным представлением числа эта граница задаемся неравенством т )! Л (Ь) )! ( с 20 —: 30. (1 1) Если мы вспомним, что для явной схемы ограничение на шаг имеет вид т!!Л(й)!!(г(- 2, то придем к выводу, что метод Пикара позволяет вести устойчивый счет по схеме (5) с шагом т значительно большим, чем допускает явная схема. Это возможно потому, что мы решаем эволюционную задачу (5) достаточно точно, а для эволюционных задач высокочастотные гармоники быстро затухают, Задаваясь определенной точностью вычисления ряда (!О), мы автоматически подавляем увеличением числа членов ряда (и более точным вычислением е'А) эти высокочастотные гармоники, которым отвечает большое затухание.
Чтобы глубже понять сущность метода Пикара, следует представить систему (5) в базисе собственных векторов матрицы Л(й). Тогда система (5) будет иметь тот же самый вид, но с диагональной матрицей Л'(Ь) = б!ай ()„,(й)). Поэтому становится ясным, что вычисление по формуле (!О) дает высокую $3. исследОВАние устойчивости РАЗ!!Остиых схем 4!5 точность решения системы (5), а чем выше точность решения (5), тем выше свойство устойчивости результатов решения, так как система (5) обладает свойством эволюционности. Вопрос о целесообразности применения метода Пикара вместо явной (3) и неявной (4) схем зависит от нескольких факторов и в первую очередь от соотношения погрешности временнбй и пространственной аппроксимаций, вносимых схемами (3), (4).
Если оператор Л (Ь) аппроксимирует Е(л) с высокой точностью, то целесообразно применение схем высокого порядка точности по' т, что автоматически обеспечивается применением метода Пикара. При этом можно применять шаг т, приблизительно в 10 раз больший, чем следует из условия Куранта, без потери устойчивости. Потеря устойчивости в методе Пикара имеет специфический характер, о котором мы говорили: либо происходит переполнение АУ ЭВМ, либо результаты становятся весьма неточными и носят спорадический характер, Наоборот, для разностных схем (3), (4), у которых условие устойчивости (или сходимость итераций) допускает шаг т значительно больший, чем он требуется из соображений точности Временной аппроксимации, сравнимой с точностью пространственной аппроксимации, то вполне возможно, что явная схема В этом случае более целесообразна, чем метод Пикара.
Отметим также, что для линейных задач (1), (2) можно добиться весьма высокой эффективности, вычисляя не одно решение системы (5), а фундаментальную матрицу е'А!'! этой системы с помощью ряда по т. Тогда для эволюционных задач можно получать решение системы (5) практически без потери точности для очень больших ! -» О, пользуясь формулами удвоения ез«А (А! [е«А м!)«е!«А (А! [ез«А !А)]з В настоящее время проведено несколько расчетов различных задач математической физики, использующих метод Пикара, показавших его эффективность (см., например, Б.
Л. Рождественский [1974), А. Р. Пинский, А. И. Рузанов [!9761). Сделаем также еще одно замечание о возможностях применения методов численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений к решению задачи (1), (2) с помощью схемы (5). В последние годы были развиты эффективные методы численного интегрирования так называемых «жестких систем» обыкновенных дифференциальных уравнений (з1!11 ег1ца((опз), которые характеризуются большим разбросом характеристических показателей А.А системы (5) (в общем случае нелинейной).
В частности, В этих методах также предполагается Выполнение свойств (6), и, более того, при этом считается, что — Ке Х» очень 416 гл. х РАзностные метОды ГАзовои динАмики велико для больших й. Идея метода, развитого ! иром и Нордзиком, состоит в применении схем интегрирования высокого порядка точности, которые в области умеренных по модулю ХА обеспечивают высокую точность, а при Кех» — Ь, где Ь достаточно велико, — лишь устойчивость счета. Последнее означает, что, например, для линейной системы (5) в области аппроксимации спектра [О, й,] обеспечивается хорошая точность воспроизведения АА в счете по времени; промежуточная часть и край спектра сушественно искажаются схемой интегрирования по времени, однако при этом обеспечивается затухание соответствуюших этой части спектра собственных функций, т.
е. здесь обеспечивается лишь устойчивость. Методы интегрирования «жестких систем» описаны, например, К. Гиром [1967, 1969], А. Нордзиком [1962], см. также Б. В. Павлов и А. Я. Повзнер [1973]. Конечно, эти методы интегрирования могут быть применены и к решению задачи Коши для системы (5).
Однако для наиболее характерных задач математической физики типа (1), (2) они оказываются, как правило, менее эффективными, чем метод Пикара. Причина этого состоит в том, что в большинстве задач математической физики стремятся сделать пространственную аппроксимацию Л(Ь) 7,(х) сравнительно неплохой даже на краю спектра й йв Например, мы видели в п. 5 $ 2, что в области аппроксимации оператором †„, оператора 0', при Л,Л, й ЦЗ, А(й,'яй) = — 1/Ь', а на краю спектра при й = й« = = пай, Х»(А, л) = — 4)Ь'. Таким образом, различие Ав(Ь, йй) в области аппроксимации и на краю невелико.
Как говорят в подобных случаях, показатель «жесткости» системы невелик. Именно по этой причине методы для жестких систем, рассчитаннные на отличие Йе Ав(й,йй) в области аппроксимации и на краю спектра в несколько десятичных порядков, оказы. ваются не всегда эффетивными даже по сравнению с обычными разностными схемами. Тем не менее для ряда задач математической физики, характеризуемых несколькими процессами, протекающими с существенно различными скоростями, методы интегрирования «жестких» систем могут оказаться эффективными и при решении этих задач с помошью схем типа (5).
9 4. Анализ простейших разностных схем В этом параграфе мы рассмотрим ряд просзейших разностных схем для линейных уравнений гиперболического типа (одного уравнения и системы уравнений акустики) и применим для их изучения понятия, развитые выше. $ А АнАлиз ПРостенших РАзностных схем 1. Схемы для одного уравнения и4+ аи„= О. Для этого уравнения сзг + а(х, 1) л — — О, (1) где а (х, 1) > О, а(х, 1) ~ Сн рассмотрим задачу Коши и(х, 0) =и,(х), [х[< со или смешанную задачу и(х, 0)=и,(х), х)0, и(0, 1)=4р(4) (3) с краевым условием при х=О. Простейшая разностная схема для уравнения (1) имеет вид !и+! и4 д и! + а'" — „ +~~ РХЕРГ !и+ ! ! ! + Шг и'" — и',.", +а,".' „' ' =О, (4) а'"=а',"=а(Й, тт).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
