Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Уравнение (4) разрешим относительно и',"+'. и",',+' = (1 — х[") и'," + + х',"и'," „х",' = а'," — (5) Ю Я-Р/г ЗД ч4 м~"агут Д) хг" Г Рис. 3.4. и дадим формуле (5) следующее геометрическое истолкование. Согласно уравнению (5) и',"+'=и'"+'(х,.) =им(х",), где точка х=х",.
на прямой 1=тт есть точка пересечения ее с прямой х — Й = а'," [1 — (т + 1) т], (6) т. е. х', = Й вЂ” хм4 Ь, а значение функции и (х",) в точке х', получается путем линейной интерполяции (х'," ~ (1) либо экстраполяции (х,". > 1) по значениям и',", и',", (рис. 3.4) Отрезок прямой (б) при тт ~ 1((т+ 1)т приближенно с точностью до величин порядка т' совпадает с характеристикой уравнения (1), проведенной через точку (1Ь, (т+ 1)т).
Поэтому схему (5) можно интерпретировать как интерполяцию (экстраполяцию при х'," > 1) функций и (х) и последующий перенос значений до следующего слоя 1 = (т+ 1)т, 41В ГЛ. Э. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОН ДИНАМИКИ Если для всех с, га х',"(1, то схема (5) удовлетворяет принципу максимума. Действительно, согласно (5) гпах)и",. +'((шах((1 — х",.') (и,.
(+х",.')и',",~)(шах)и',."!. (7) ! с с Из принципа максимума (7) следует устойчивость схемы (5) в С( — схс, со) для задачи Коши и в С(О, со) для смешанной задачи. Если же х",. > 1 для некоторых с, сп, то принцип максимума места не имеет, так как из (5) в этом случае следует лишь оценка гп ах ~ и',"+ ' ( ( !пах (2х'," — 1) гп ах ~ и,'" ~, (8) с ' с где шах(2х'" — 1) > 1. с Более того, можно показать, что если в некоторой конечной области переменных х, Г величины х'," остаются большими 1 при т-! О, сс-с. О, то схема (5) является неустойчивой в Ь! и в С Достаточно показать это в случае а(х, 1) =а=соне(, Тогда х',"=х > 1. Дисперсионное уравнение схемы (5) имеет вид (1 сАА) Отсюда ) р! ( 1, если х(1, 1р!>1+ е(х, яа), если х> 1, где е(х, ясг) — некоторая положительная при й ~ 0 функция.
Отсюда следует неустойчивость схемы (5) при х > 1. Итак, схема (4) (или (5)) аппроксимирует уравнение (1) и является устойчивой, если для всех с, пг х'," ~ (1. (9) Легко проверить, что значение и'," определяется лишь по значениям ие, и', +„,, иес начальной функции, т. е. область зависимости решения задачи Коши для разностного уравнения (5) состоит из точек сетки, расположенных между точками А и В (рнс. 3.4), где МА — вертикаль, М — диагональ сетки. Если в некоторой области (х, 1) х'," > 1, то характеристика МВ уравнения (1), проведенная из точки М, лежит левее прямой МВ. Таким образом, при х, > ! область зависимости решения задачи Коши для дифференциального уравнения (1) (которая, между прочим, состоит из единственной точки О) лежит вне об- Ф !.
АнАлиз пРостепших РАзностных схем 419 ласти зависимости для разностного уравнения. Это будет спра. ведливо при любом измельчении сетки, если при этом а! т н"'= — )н > 1. ! А и неприменима аппроксимация (4). Теперь для уравнения (!) при а(х, 1) ) 0 рассмотрим неявную аппроксимацию ~и+! т , !и+!, т+! т ! а (10) Уравнение (10) переписывается в виде 1 я!' и'"+' = — и'" + и"'+' и', 1+к~ ! 1+к (1 1) а! т где н"'=— Ь Уравнения (10), (1!) абсолютно аппраксимируют уравнение (1) с первым порядком аппроксимации как по т, так и по 6. Из формулы (1!) вытекает неравенство ш!и!и'", и'"+!1! <и'"+! <шах !!и'", и'"+!1. !-! ! - ! ! ! ' !-! г Отсюда следует, что разностное решение и'," принимает минимальное и максимальное значение на границе ! = О, х ) 0; х = О, 1) О, что означает устойчивость схемы (11) в С(0, со) при любых значениях т, г!.
Отсюда следует, что если в некоторой области (х, 1) н'," > 1, то решение разностного уравнения (4) не сходится к решению (1). В самом деле, если изменить начальную функцию ив(х) в точке 0 и ее окрестности, то решение и(х, 1) уравнения (1) соответственно изменится в точке М. В то же время решение и",' разностной задачи в этой же точке М не заметит этого изменения. Отсюда следует, что решение и" (х) не сходится к решению и(х, !) ни в норме С, ни в Вь Напротив, если выполнен критерий Куранта (9), то точка 0 лежит в отрезке АВ и изменения начальной функции в окрестности точки 0 передаются как в точном, так и в разностном решениях.
В соответствии с этим анализом ясно, что если а (х, 1) ( О, то для уравнения (1) применима аппроксимация и — и т+! т ,а! ш т +а — и =0 А 420 ГЛ. 3. РАЗНОСТНЪ|В МЕТОДЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Согласно формуле (11) и',"+' =и'(ЛГ), где и*(Л) есть значение функции и в точке )У диагонали Р)т (рис. 3.5), проннтерполироваиное по значениям и',"+', и',". При этом точка У определяется как пересечение прямой (6) (приближенная характеристика МЯ уравнения (1) ) с диагональю РЯ.
ри ь~г мг |2-(Е И' л' |т-(|а |д! и' Рис. 3.5. Рис. 3.6. Отсюда следует, что область зависимости разностного решения смешанной задачи (11), (3) в точке х = х|, ! = (т есть часть границы х=О, 0(1(Г; Г=О, 0(х(х! и всегда содержит область зависимости точного решения задачи (1), (3). Еще один вариант неявной схемы для уравнения (1) а|+! т ит+' — и +' ! ! ! ! т ! ! ! т +а! или, в разрешенной относительно и',"+' форме, ит! — 1 1 ит+! ит+! ! ит и" (13) кт!|Х|! геометрически истолковывается как перенос в точку М значения и, разностного решения в точке 1У вертикали РЯ, где точка л! есть пересечение характеристики (6) с прямой РЯ, а значение в этой точке линейно интерполируется (при и",.' э 1) по значениям и',"+', и',", (рис. 3.6). Схема (13) условно устойчива в С при и,!' А1.
При н'," < 1 точка У выходит из отрезка Рс); интерполяция заменяется экстраполяцией, что и приводит к неустойчивости. Из условия (9) следует, что явная схема для уравнения (1) устойчива, если А Гаах а(х, !) ' '(14 а) з !. АнАлиз ПРостепших РАзностных схем и неустойчива, если А в!!и а (х, !1 (14б) Особенно неблагоприятен для явной схемы случай, когда в!ах а Вс !) в!! и а (х, !) » 1, а условие устойчивости х (1 нарушается в не! большом числе точек. Тогда условие (14а) требует неоправданно малого шага т. В этом случае можно применить неявную схему (10) или (11), которая абсолютно устойчива при любых т, Ь. Однако применение неявных схем сильно увеличивает область зависимости разностного решения (а для случая задачи Коши делает ее бесконечной).
В практическом счете это обстоятельство выглядит как усиленное сглаживание разностных профилей и (х) и потеря характерных особенностей решения. Поэтому, если критерий устойчивости нарушается в небольшом числе точек, то имеет смысл применение явной схемы там, где критерий устойчивости выполняется, и неявной в остальных точках.
Этой цели служит явно-неявная схема Карлсона и~+ ! — и'," и~~" — и',." ! т Ь (15а) и~+! — им , т+! м+! "!-!, м "! + а", (15б) П~+ ! НФ и"'+! — им+' + а"' '+' = О. т А (16) В этом случае, конечно, краевое условие следует ставить не на левой, а на правой границе. Рассмотрим теперь случай, когда а(х,!) меняет знак и для уравнения (1) ставится смешанная задача и( — 1, 1)=1!(1), а(1, 1)=1з(1), и(х, 0)=и,(х), (1Т) в которой уравнение (15а) используется прн хм(1, уравнение (15б) — при х'," > 1. Геометрически схема (15) означает интерполяцию и',"+' по значениям и',", и',." Р если прямая (6) пересекает отрезок (;ох (х',"~ 1), и по значениям и',"+', и'," „если прямая (6) пересе.
кает отрезок РЯ (х'," > 1) (см. рнс. 3.6). Ясно, что в случае отрицательного коэффициента а(х, 1) во всех применяемых аппроксимациях следует левую разность заменить на правую. Так, формула (10) примет при этом внд 422 ГЛ. 3. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ Ясно, что при этом должно быть а( — 1, 1))0, а(1, 1)~0. 3 случае неявной схемы здесь появляются логические трудности. Действительно, рекуррентная формула (10) при а',"=в 0 устойчива при счете слева направо и неустойчива при счете справа налево; напротив, рекуррентная формула (16) при а,. ( 0 устойчива при счете справа налево и неустойчива в обратном направлении. Таким образом, при изменении знака а(х,() нам придется менять не только выбор формул (10), (16), но одновременно Рис 3.7. и направление рекуррентного счета.
Это значит, что при каждом 1=1 мы должны разбить отрезок [ — 1,1) на отрезки постоянного знака функции а (х) и для каждого такого отрезка решать одностороннюю краевую задачу (рис. 3.7). Краевые условия при этом задаются на тех линиях а(х, (), слева от которых а(0, а справа а)0. Значения и"+'(Е) на этих линиях определяются с помощью явной схемы, применение которой возможно, так как критерий Куранта выполняется в окрестности линий а(х,1) = О. При таком алгоритме на линиях а = 0 получаются, вообще говоря, не совпадающие левые и правые значения, отличающиеся, впрочем, на величину порядка й'.
Если применять явно-неявную схему с учетом знака а, то значения и +' будут определяться однозначно во всех точках. Есть еще другой способ решения смешанной задачи (17) для уравнения (1) с помощью неявной схемы. Применим неявную центральную аппроксимацию им+' — им и"'+' — им+' +~'" '+' ' ' =О, (18) 2И 423 4 4. АнАлиз пРОстейших РАзностных схем Соотношения (18) та~~ »1 — — и"'+'+ и'"+'+ — и'"+' = и'" 2Ь 1-1 ! 2Ь 1+1 вместе с краевыми условиями и +' = [! [(т + 1) т), и"'+' = Ц(т + 1) т1 построим схему бегри(его счета.
Для этого запишем систему (1) в инвариантах г, 8: дг дг Зг+ Ж вЂ” -аа- О дх дэ д! дх з и+ аэ. (2) г=и — ав, Применяя к каждому из уравнений (2) явные устойчивые аппроксимации, получим 8»1+1»! !»»! — а +' ' = О, (3) А г[»+ ! — г ! !»»! 1-1 т + а==О А Схема бегущего счета (3) была предложена в работе Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
