Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Отсюда следует оценка л-1 !! 1' (А) !! ( С1 ~~ !! А" (шах ! 1~"1 (г) ), л-О (47) где д р(и — 1), а сопз1 не зависит от Ь, т, т, и принято во внимание соотношение !)Л((з)!!<сопз1(1+ ! Ь !~) где С1 зависит только от и (и — порядок матрицы А). Положим А = 6(1з), 1(А) =(Š— ТА) ~=(Š— ТЛ((з)) ~. Оценка (47) принимает внд л-1 '!!(Š— ТЕ (1з)3 !((С, ~~ тл!! Л (1з) !!' гпах 1 ' ", »( л-О < сопя( (1+ ! Ь !4) шах +„, (48) л~т1 !1 — 2! $ Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РКЗНОСТНЪ|Х СХЕМ 399 корректности системы (40) по Петровскому (см. (!.3.21)). Но Гхе Л (А) = Ке Л (ТЕ ((э)) ( тр и при т столь малом, что тр к, 1, имеем ~1 — х~ 'к=[1 — Гхее[ '~[1 — рт[ '=[1 — рт[ ' ( (! 1 — рс1 т (сопз1.
(49) Подставляя оценку (49) в (48), имеем !! [Š— ТЕ (|э)[ "[/ ( сопз1 (1 + [ й ["), т. е. разностная схема корректна по Петровскому с д = р(п — 1). Следующая теорема устанавливает связь между типом разностной аппроксимации и устойчивостью соответствующей разностной схемы (Н. Н. Яненко, Г. В. Демидов [1971[). Теорема.
Пусть система с постоянными коэффициентами (40) имеет оператор Е(0) с неограниченным спектром, и двухслойный финитный разностный оператор т — е Л,(Т,) абсолютно аппраксимирует дифференциальный оператор — — Е (О). д дг Тогда явная схема те| им — Ло(Т,) и"'= 0 (50) не может быть абсолютно устойчива. Доказательство, Абсолютно аппроксимирующий Е(0) разностный оператор Л,(Т,) можно представить в виде Ль(Т|) =ачв ( ь' ) Тьн где 2'„аьв = а, = (а';„тт, Е (О) = [а|ч0'), В Спектральный образ оператора шага схемы имеет вид С (й т) = Е+ та, ((й)' е меь Е + ТА Допустим, что схема (50) абсолютно устойчива.
Тогда мы должны иметь [[А [[< — ","' звэ гл. з. кхзностныв методы глэовои диилмики для всех й, где сопз1 не зависит от т, й, Ь. Фиксируя здесь т и устремляя Ь к нулю, находим для всех й, А это противоречит предположению о неограниченности спектра оператора 7.(0). Теорема доказана. Отметим также результат Крайса [1958], устанавливающий для корректной в Т,з системы (40) с постоянными коэффициентами существование аппроксимирующей явной схемы, устойчивой при условии т/й~ ( сопз( (р — порядок системы), т.
е. менее жестком, чем соответствующее условие теоремы А, М. Ильина. 5 3. Исследование устойчивости разностных схем Сформулированные в $ 2 теоремы позволяют доказать сходнмость разностной схемы, как только будут установлены ап. проксимация и устойчивость, Критерии аппроксимации сравнительно просты, носят локальный характер и большей частью требуют лишь разложения схемы в ряд Тейлора. Значительно сложнее исследование устойчивости, поскольку оно требует установления равномерной ограниченности по параметрам т- О, Ь-+0 нормы оператора решения разностной задачи. Во многих случаях свойства оператора решения разностной задачи практически неизвестны, поэтому приходится прибегать к различного рода признакам устойчивости, основанным на ряде упрощающих гипотез и на опыте практических расчетов.
В этом параграфе мы дадим краткий обзор методов исследования, критериев и признаков устойчивости разностных схем. Отметим, что в последние годы появились монографии и учебники, в которых вопросы устойчивости разностных схем рассматриваются с достаточной полнотой. Отметим обстоятельную монографию А. А. Самарского, А. В. Гулнна [!973], книги С.
К. Годунова, В. С. Рябенького [1973], Р. Рихтмайера, К.Мортона [1967], В. С. Рябенького, А. Ф. Филиппова [1956]. 1. Спектральный метод исследования, Если схема равномерно устойчива, то, конечно, она является и устойчивой. Это позволяет в большинстве случаев сводить исследование устойчивости к оценке нормы оператора шага разностной схемы. В п. 2 $ 2 мы уже рассматривали применение преобразования Фурье к получению дисперсионных соотношений и исследованию устойчивости простейшей разностной схемы и"'+~ (х) — и~ (х) = Л,и +' (х) + Лэи (х) (1) о О. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 397 для случая, когда операторы Лн Ло не зависят от переменных х, 1, а для решения и (х) ставится условие периодичности по переменному х.
Аналогично исследуется случай разностной схемы (1) при условии периодичности и (х), когда операторы Ль Ло зависят от переменного й ио ие зависят от х. Преобразование Фурье и (х) = ~ й" (й) е'А" (2) сводит разностную схему (1) к системе уравнений для коэффициентов Фурье и"'(й) ( 1 =ЛГ~'й"~' (й)+Лои" (й). (3) Здесь матрицы Л1" . Ло" — спектральные образы операторов ЛГ~, ЛГ, которые зависят от 1. Оператор шага системы уравщ+1 нений (3) — матрица С +ь (й) =(Š— ТЛГ~~) (Е+ ТЛо). (4) В силу соотношения !~С ~ь 1~ = р!~С, (й)Ь„ мы видим, что оценка нормы оператора шага С +ь схемы (1) сводится к оценке нормы матрицы (4). Если имеет место оценка '9 С +, (й) О (~ ! + С (1) т, с константой С(1), не зависяшей от т, 6, й, (( 1, то разностиая схема (1) равномерно устойчива.
Если операторы Л,"о', Ло гладким образом зависят от переменного (, то также гладко зависят от ( матрицы ЛГ+', Лос. Поэтому и в этом случае необходимое условие равномерной устойчивости схемы (1) записывается в виде .1ХА (С„,+~„„(й)) ~ (1 + М (г) т, (5) где )тх(С) — спектральный радиус матрицы С, а константа М(1) не зависит от т, гп, й, Если матрица С +ь (й) нормальная, то условие (5) является также и достаточным для равномерной устойчивости схемы (1). Некоторые авторы изучали необходимые и достаточные условия ограннченности нормы оператора решения См, о = = Ст. -1С вЂ” ь -о . Сь о системы (3) без предположения о нормальности матриц С, Обзор работ этого направления имеется в книге Р.
Рихтмайера, К. Мортона [1967] (см. также 398 Гл, х Рхзпостиыв мгтоды ГАзовон динхмик!! обзор работ по устойчивости разностных схем в книге А. А. Самарского, А. В. Гулина [19731). Теперь рассмотрим случай разностной схемы с коэффициентами, зависящими от х, но не зависящими от й В этом случае можно рассматривать также и раэностные краевые условия довольно общего типа. Обозначим С = С +!,м — оператор шага для этой разностной краевой задачи. Матрица С зависит от т н сетки по переменному х (завнсит от Ь), Формула и'"+' =С~"! с (6) выражает значения и ч' в точках сетки через значения и'.
Мы видим, что устойчивость разностной схемы (6) требует равномерной ограниченности нормы степеней оператора С ~~С ~~(А1, тт=!(1, (7) при этом константа Лг не зависит от т, Ь, ! ( Е Если известен спектр оператора С, т. е, совокупность собственных значений (дД и соответствующих собстьснных функций матрицы им т. е. Сиь = !)хим (8) необходимое условие устойчивости схемы (6) запишется в виде (д„)(! + Мт, (9) где М не зависит от т, Ь. Это следует из того, что !! С (1 ) !пах ~ д, ~. Таким образом, необходимое условие устойчивости состоит в том, что все собственные значения (коэффициенты умножения) дс матрицы перехода С = С +!, лежат внутри круга радиуса 1+ Мт на комплексной плоскости. Однако это условие еше далеко от достаточного и для несамосопряженных матриц С может завышать область устойчивости разностной краевой задачи. С. К, Годунов и В.
С. Рябенький ввели понятие спектра семейства операторов С(т,Ь). Это понятие вводится для однопараметрического семейства операторов перехода С, которое мы получим, например, полагая Ь = Ь(т), тогда С = С(т) = С,. Комплексное число Л называется точкой спектра семейства разностиых операторов (С,), если для любого тс ) О и е ) О найдется т ( тс такое, что неравенство !! С,и — Ли!((е!!и!! имеет некоторое нетривиальное решение. С. К. Годунов и В.
С. Рябенький показали, что для устойчивости разностной краевой задачи необходимо, чтобы весь » 3. КсследОВАние устоичивости РАзностных схем 399 спектр семейства операторов (С,) лежал внутри или на границе единичного круга (7 (( 1, Они же показали, что это условие не только необходимо, но и близко в определенном смысле к достаточному условию устойчивости, Итак, мы видим, что спектральный метод позволяет исследовать устойчивость разностной краевой задачи в простой форме лишь для случая нормальной матрицы С, если же это не так, то в общем случае надо проверять выполнение условия (7)— непосредственного следствия определения устойчивости.
Сделаем несколько общих замечаний относительно спект. рального ме~ода исследования устойчивости разностной краевой задачи. В общем случае он требует определения всего спектра матрицы перехода С, число строк (и столбцов) которой равно пЖ, где и — размерность вектора и = (иь...,и,), йг(6) — число точек по переменному х, связанных разностной схемой. Мы видим, что во многих практически важных случаях пй1 — очень большое число и определение всего спектра матрицы С вЂ” задача очень трудная даже при использовании современных ЭВМ.
Поэтому приходится прибегать к различного рода упрощающим гипотезам, позволяющим оценить расположение спектра разностного оператора. В ряде задач неоднородность в коэффициенты разностной схемы вносится лишь аппроксимацией краевых условий. В этом случае целесообразно исследовать корректность разностной задачи Коши с постоянными коэффициентами, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
