Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 76
Текст из файла (страница 76)
2). В этих формулах С вЂ” любой кусочно-гладкий замкнутый контур и бс — ограниченная им область на плоскости переменных х, 1 и д, 1 соответственно, Вообще говоря, этих законов сохранения недостаточно для полного описания течения: необходимо дополнить их требованием неубывания энтропии любой фиксированной массы газа. Это требование исключает появление неустойчивых разрывов. Интегральные законы сохранения (1) — (3) или (4) — (6) с условием неубывания энтропии есть консервативная система уравнений газовой динамики, применимая к любым течениям, в том числе с разрывными параметрами.
где х = х (д, 1) — эйлерова координата точки (д, 1), заданная уравнением '",", О =и(у,г) (7) 446 ГЛ. 3. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ Система интегральных занонов сохранения чрезвычайно неудобна для разностной аппроксимации ее на фиксированной сетке в случае наличия разрывов решения, так как она требует явного выделения линий разрыва, аппроксимации дифференциальных уравнений вне линий разрыва и удовлетворения интегральных законов сохранения на линиях разрыва (условий Гюгонио).
Мы приходим к выводу, что именно так описывает течение лтетод характеристик. Ясно поэтому, что метод характеристик есть один из наиболее точных методов решения интегральных законов сохранения (1), (2), (3) и в случае разрывных решений, если, конечно, в нем угитываются и достаточно точно все возникающие особенности решения, Игнорирование разрывов, которые возникают в течении, и прямая аппроксимация интегральных законов сохранения на фиксированных ячейках сетки такая же, как и на гладких течениях, как правило, приводит к неустойчивой вычислительной процедуре, в ноторой ударная волна заменяется колебаниями большой амплитуды.
Прямая аппроксимация интегральных законов сохранения может привести к устойчивому приближенному описанию параметров течения лишь в том случае, если возникающая при этом разностная схема вносит диссипацию, «вязкость аппроксимации». Аппроксимируя недиссипативные члены уравнений, разностная аппронсимация вносит малые, а на разрывных решениях — большие добавки, которые могут дестабилизировать или стабилизировать численное решение. Хорошая разностная аппроксимация законов сохранения должна вносить «положительную» вязность, которую затем стремятся минимизировать. Устойчивыми схемами, аппроксимирующими интегральные законы сохранения без явного введения в них псевдовязкости являются схемы Лакса, Лакса — Вендрофа, С. К.
Годунова. Характерной чертой прямой аппроксимации интегральных занонов сохранения является так называемое свойство консервативности или дивергентиоети получающихся при этом разностных схем "). Это свойство состоит в том, что уравнения разностной схемы могут быть интерпретированы как запись интегральных законов сохранения (1), (2), (3) или (4), (б), (6) для ячейки сетки, образованной пересечением прямых 1 = пзт, 1 = (и + 1) т с прямыми х = хн х = х;+, (д = д„д = Гн+з) пРи некотоРой аппРоксимации (или интерполяции) величин, входящих в законы сохранения на границах ячейки.
Эта аппроксимация остается "1 на необходимость применении таких схем длн задач с разрывными козффипиентами и решеиинми указывали еше в !951 г. А. Н, Тихонов н А. А. Самарский (см., например, их работу 1959 г.). 5 а ОднОРОдные РАзностные схемы в которой «вязкость» — правая часть (8) — входит консервативным илн дивергентным образом, как производная от выражения див  — , где  — довольно произвольная матрица. Для системы (8) также имеем похожее свойство. Если при 1А-»О решение и (х„1) имеет предел и(х,1), то этот предел удовлетворяет законам сохранения $ийх — ф(и, х, 1) й!=0, с т.
е. является обобщенным решением системы уравнений ди + дф (и, х, Г) (1О) д1 дх (9) (Подробнее об этом см. главу 4,) Эта схожесть устойчивых аппроксимаций интегральных законов сохранения и «метода ис. чезающей вязкости» построения разрывных решений систем квазилинейных уравнений имеют не только внешний, но и глубо- постоянной на данной границе ячейки,т.е.одинакова при записи законов сохранения в соседних ячейках. Это обеспечивает свойство аддитивности консервативной разностной схемы, которое состоит в том, что при суммировании разностных уравнений по соседним ячейкам, мы получаем новое уравнение, которое также может рассматриваться как запись законов сохранения для внешней границы области, составленной из объединения этих ячеек. Короче говоря, разностные уравнения обладают теми же свойствами, что н криволинейные интегралы (1), (2), (3).
Это свойство дает следующее преимущество консервативным разностным схемам. Для консервативной разностной схемы можно применить произвольные аппроксимации (интерполяцин) величин на границах ячейки. Если при этом разностная схема сходится, т. е. семейство разностных решений имеет предел при т, а(т)-»0 (в некоторой слабой норме), то этот предел удовлетворяет именно нужным законам сохранения (1), (2), (3), а не каким-либо другим. Распоряжаясь правильно имеющимся произволом в интерполяции величин на границах ячейки, можно получить дополнительные преимущества консервативных разностных схем. Указанное свойство консервативных разностных схем схоже со свойством системы дифференциальных уравнений параболического типа дия дф(ия, х, Г) д ди (8) 448 ГЛ, 3 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОЯ ДИНАМИКИ ди ди — ди !х — (1» дк дд дд Р=Р+ю, где р — коэффициент вязкости.
Обратим внимание, что введение вязкости повышает порядок дифференциальных уравнений по х(д); это требует постановки дополнительных условий на внутренних и внешних границах. На внутренних (контактных) границах это условие вытекает из требования непрерывности векторов потока импульса и энергии (ю]=ю(х+О, У) — в(х — О, г)= — [р д 1 — — [рр д 1 — О, (12) На внешних границах обычно ставится условие ю = О. «Физическая» вязкость (!1) допускает контактные разрывы, она их «не размазывает».
Это достоинство физической вязкости всегда стремятся сохранить, вводя другие виды «вязкости», так называемую «псевдовязкость». Как было показано в п. 6 $5 главы 2, в случае постоянного коэффициента вязкости р и политропного газа для эффективной ширины ! ударного перехода в лагранжевых координатах получается выражение (=АД= 8р (! 3) где Ли — скачок скорости на ударной волне. Для реальных газов коэффициент вязкости довольно мал, соответствующая реальной физической вязкости ширина ! ударной ') Как, впрочем, и в большиистве других методов. Исключеиие состав. лает метод характеристик, ввио выделяющий все разрывы.
кий характер. Мы уже говорили выше, что для обеспечения устойчивости разностного метода в случае разрывных решений схема обязательно должна вносить «вязкость аппроксимации». Перейдем теперь ко второму, наиболее распространенному методу единообразного описания газодинамических течений— методу вязкости или «псевдовязкости». В этом методе мы сразу отказываемся от детального рассмотрения ударных волн *) и рассматриваем течения газов, обладающих некоторой вязкостью (и теплопроводностью), иногда, довольно непохожей на физическую вязкость. В этом случае ее называют «псевдовязкостью». Вводя в уравнения газовой динамики эту вязкость, мы приближенно описываем ударные волны как плавный ударный переход, который был довольно подробно рассмотрен в $ 5 главы 2.
Введение вязкости в законы сохранения газовой динамики достигается заменой давления р в уравнениях (1) — (3) или (4) — (6) величиной Р: 449 4 к ОднОРОдные РАзностные схемы волны имеет порядок длины свободного пробега молекулы. Столь малая реальная вязкость недостаточна для численного расчета, поэтому обычно полагают (14) где величина ц, подбирается так, чтобы ширина 1, вычисленная по формуле (13) для характерных условий )Ьи~ — с(с — скорость звука), была приемлемой. Формула (13) правильно передает ширину ударной волны в разностном счете лишь при условии, что !.э й; практически достигаются случаи 1 — 5Ь вЂ”:10)!.
Недостатком вязкости (14) является то, что она действует во всем течении, так что сильное сглаживание ударной волны, соответствующее большому рм всегда связано с уменьшением д точности расчета в областях гладкости течения. Исходя из этих соображений, Дж. Нейман и Р. Рихтмайер [1950] предложили нелинейную вязкость р = рой'р ~ — ( (15) В и. 6 $5 главы 2 изуча- л лись стационарные решения уравнений газовой динамики с вязкостью (15). Согласно этому исследованию, ширина ударного перехода для вязкости (15) равна 1 = п Ач! — й т. е.
имеет порядок еяо 'Ч т+! 0(й) и не зависит от силы ударной волны. Вязкий член гэ имеет в гладкой части течения порядок 0(й') и, следовательно, не влияет сильно на точность расчета. Таковы плюсы искусственной вязкости (псевдовязкости), введенной Нейманом и Рихтмайером. Отметим еще одну особенность вязкости Неймана — Рихтмайера. В отличие от линейной вязкости, когда примыкание пе. реходного профиля о(д) к асимптотическим значениям оо, О! происходит аналитически, в случае вязкости Неймана — Рихтмайера примыкание происходит не аналитически, в точках сопряжения до, д! терпит разрыв вторая производная.
Так как в области ударной волны градиенты велики, этот разрыв производных приводит к постоянному источнику возмущений, вызывающих сильные осцилляции гидродинамических величин в окрестности фронта. 450 гл. х »А»постные методы ГАзовоп дннхмики Профиль ударной волны в разностном расчете имеет прн.
мерно следующий вид (рис. 3,14). При атом амплитуда осцилляций возрастает при уменьшении коэффициента вязкости. Сильная зависимость профиля разностной ударной волнь1 от пи составляет характерную особенность схемы Неймана— Рихтмайера, которая в некоторых случаях затрудняет интерпретацию результатов. 2. Разностиая схема «крест» для системы уравнений с вязкостью. При наличии вязкости единственным видом разрывов, допускаемых законами сохранения, является контактный раз. рыв, Поэтому с учетом наших замечаний о лагран>кевом способе описания течение описывается системой дифференциальных уравнений (т = О) ди др ди ди — + — =О, — — — =О, д1 дд ' д~ дд ди Р=Р+'» ы= рр дд ' де ди — + р — =О, д1 д1 (2) «»зывающем только термодинамические величины.
где р задано формулой (8.1.14) или (8.1.15) в зависимости от выбора вида вязкости. В случае течений без ударных волн преимущества и достоинства консервативных разностных схем становятся менее очевидными. Если, однако, учесть, что ударный переход «размазывается» всего на несколько счетных интервалов, то можно понять, что это свойство остается полезным. Первой опубликованной в печати разностной схемой, использующей псевдовязкость, была схема Неймана — Рихтмайера из цитированной нами работы 1949 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
