Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Рассмотренная выше схема «крест» не является консервативной разностной схемой, так как она аппроксимирует одно из уравнений газовой динамики (уравнение (2)) в недивергентной форме. При наличии вязкости это, конечно, допустимо. Однако можно построить консервативные разнсстные схемы, аппроксимирующие законы сохранения для вязкого газа как в лагранжевых, так и в эйлеровых координатах. Одно из преимуществ таких схем состоит также в том, что они более точно передают интегральные характеристики течения при достаточно грубых сетках, чем неконсервативные схемы.
Ю. П. Попов и А. А. Самарский (1969, 1970] рассмотрели неявную разностную схему с весами, которую мы выпишем в случае лагранжевых переменных: и4»+1 — и»4 , "' + — „~(а1р"1+(1 — а1) р". )— — (а1р 1+(1 — а,) р™ 1)~=0, (24) 4«+1 4» = а,и'„"+' + (1 — а,) и',", (25) ,4«+1 Р»4 1-1 — 1+— 2 2 — а Наги,++1+ (1 — ае) и1.41)— — (а,и, +' + (1 — а,) и,. ) ) = О, (26) Е»4+1 — Е»4 2 2 + а [аер„'+ +(1 — ае) р,'„(Х 2 "гЛ Х (а4 (и!++14 — и, +') + (1 — а ) (и~+, — й,") ) = О. (27) Уравнения (24), (25) могут рассматриваться как аппроксимация законов сохранения импульса и объема на разностной ячейке, поэтому они консервативны. Распоряжаясь параметрами а; (1'= 1, ..., 5), можно добиться, чтобы уравнение (27) в сочетании с (24) — (26) было эквивалентно аппроксимации на ячейке разиостной схемы интегрального закона сохранения энергии.
458 Гл. а РАзностныв мятоды ГА30ВОЙ динАмикн Это достигается при а4=а4=а, аз=0,5, (28) и+! -т т + Р4 4.4 — Р~ — О, 2И т+1 -т 4 т т и4+4 — и4 — О, т т-4.! -т Р4 Р4 + т т 444+> — и4 где а — свободный параметр, Распоряжаясь свободными параметрами, можно менять характер интерполяции по времени. Прн аь — — аь = 0,5 уравнение (27) можно преобразовать к такому виду, что оно будет иметь вид аппроксимации уравнения е4+' + ро4 — — О. При выполнении этих условий (я4 — — а4 = я; аз = = аз — — 0,5) авторы называют схему (24) — (27) полностью консервативной; при этом имеется в виду, что, помимо дивергентной аппроксимации дивергентного уравнения сохранения полной энергии, схема аппроксимирует с хорошей точностью и другие (недивергентные) формы уравнений газовой динамики.
При а» =0,5 (й =1...,, 5) схема (24) — (27) имеет порядок аппроксимации 0(т»)+ 0(й»), Все остальные схемы этого класса имеют порядок аппроксимации 0(т)+ 0(й'), При я ) 0,5 разностная схема абсолютно устойчива (в смысле локальной устойчивости), при а < 0,5 — условно устойчива. В. Я. Гольдин, Н. И. Ионкин и Н. Н. Калиткин 11969) также построили полностью консервативную разностную схему с аппроксимацией 0(т')+ 0(й») для уравнений в лагранжевых координатах с учетом вязкости и теплопроводности, исходя из других соображений.
В. Е. Трощиев [1970) построил полностью консервативную разностную схему с аппроксимацией второго порядка, которая является явной. В случае плоской симметрии (т = 0) схема В. Е. Трощиева совпадает со схемой «крест» (3) — (5) . Псевдовязкость Неймана — Рихтмайера вводилась в уравнения и разностную схему по аналогии с физической вязкостью в уравнениях газовой динамики. Возникает вопрос: можно ли построить схему, не опирающуюся на аналогию с физической вязкостью, но обеспечивающую затухание гармоник и связанное с ней сглаживание профилей? Пример такой схемы был дан П. Лаксом (1954). 3.
Разиостные схемы Лакса, Лакса — Вендрофа, предикторкорректор. Для системы уравнений (8.2.1), которую запишем в виде (8.2.13) и положим 44= 0, р = р, а= а, аппроксимация Лакса имеет вид $8 Однородные РАзностные схемы 459 где через 1," обозначены величины нп Г+ +1 Н Уравнения (1) могут быть апи а~ д рп1 Т + (а-"1 представлены в виде +а ~,п а,а-, 2а Ьп Р =|А — И + а-~ „, а~а — ~ 26 Ьп и =|А — 0 (2) -|- а <, Л|~-~ |п и =|А — „, Р, где «т |А = 2Т Т счете критерий Куранта — а„,„(1 в точках, в которых а « Ь ~п „, уводит аппроксимацию (1) от уравнений (8.2.13) к уравнениям (3).
Установим условие устойчивости схемы Лакса. Напишем днс- персионное уравнение для схемы (2), «замораживая» величину а'. Корнями рь е т этого уравнения являются р~= 1 — 4Ьг, р, А=1 — 4ЬЕ-~- |мз|пйИ, нт АЬ ат Г=— Ьп ° Ь=е|па —, н= —, 2 ' Ь Устойчивость схемы имеет место прн х ~ 1. д21 Члены в правых частяхаппроксимируют выражения вида |А —, ддп ' поэтому схемы (1), (2) абсолютно аппроксимируют систему уравнений (3) — + а' — = |А —.
д| да дд' ' Отсюда следует, что аппроксимация (1) системы (8.2.13) а' является условной: при — = р = соне| схема (1) аппрокснми- 2Т руст параболическую систему (3), при — =сонэ( схема (1) а аппроксимирует исходную гиперболическую систему (8.2.13).
Для уравнений газовой динамики типичным является предель- 2 ный переход — =сопз1. Однако при — ","'" »1 в практическом 6 п~1п 460 гл. а РАзностные методы ГАзовои динАмики Из (4) следует, что все гармоники затухают. Отметим, что в схеме (2) вязкие члены входят во все три уравнения, в частности в уравнение для О. Отсюда следует, что разностная схема (2), в отличие от системы уравнений газовой динамики и в отличие от схемы Неймана — Рихтмайера, не допускает контактной границы.
Это означает, что разрыв плотности будет «размазываться». Эффект размазывания становится еще более заметным при малом т, так как коэффициент р аппроксимационной вязкости растет с уменьшением т. П. Лаке и Б. Вендроф [19601 построили схему, в которой вязкость аппроксимации не приводит к размазыванию контактных грачиц. Схема, построенная ими, аналогична симметричной схеме второго порядка точности с дополнительно введенной искусственной вязкостью. Пусть ди дф (и) — — — =О д! дх (5) есть консервативная система квазилинейных уравнений, которой соответствует недивергентная форма записи (6) Применим к системе (5) аппроксимацию типа предиктор — корректор.
Формулы вспомогательного шага (предиктор) имеют вид и — и'и ! ! и; — й! — с —, ! ! и~ !+и ! й!и — (у) Вспомогательные величины й! относятся к моменту времени 1'= г„+ т" Последующий шаг (корректор) и+! !и !+! !+! ф(и!+,) — ф!!и,) Ь вЂ” О (8) есть аппроксимация законов сохранения системы (5) для ячейки сетки (! — ~)йе х~((1+-)Ь, тт(1(»(и+1)т. Нетрудно видеть, что при т'= т схема (7), (8) эквивалентна с точностью до членов второго порядка малости следующей 2 8. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ схеме: и"'+' — и'" — 2+ ш 1 ы 2 2 2 .~.
! (9) где вектор д,. задан равенством е ( и'и, ) + ф ~и'и, 1 2-- 2+— 2+ — 2- — / 2 2Г Схема (9), (10) обладает точностью порядка 0(т')+ 0(й'), корни ее локального дисперсионного уравнения лежат на единичной окружности, и гармонические решения локальной системы не затухают. Для затухания гармоник и сглаживания осцилляций в функцию я,'" вводится дополнительный член вида и ) и 2+- (1 1) где В ~ = В(и,+„и,. ) — некоторая неотрицательная симметричная матрица, удовлетворяющая условию В(и, и) = О. Величина 82 из (11) является псевдовязким членом и обуславливает аппроксимационную вязкость схемы (9), (10). В применении к уравнениям гидродинамики в лагранжевых координатах при р = О, когда в качестве неизвестной векторной ие т функции и выбрана совокупность величин ~и, о, Е=е+ — ~, имеем др др др и— де де де 1 0 0 (12) 2 дР дР дР и — — и — ц — — ив де де де Матрица В определяется следующим образом: В(й2 йе) =р ', ' А', где а — массовая скорость звука, р — коэффициент вязкости.
Заметим, что тот же эффект затухания гармоник, означающий наличие аппроксимационной вязкости, можно получить иным способом, не вводя дополнительного члена, а меняя уро. вень промежуточного слоя г'. 462 ГЛ. К РАЗИОСТИЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Проведем соответствующий анализ в акустическом приближении. Пусть ди ди ди — =А — =— д1 дх дх Формулы предиктора запишем в виде "(.+Я-и-(х-Ц и'и (х+ — ) — и'и (х — — ) =А Л и'и (х — — ) + и'и (х+ — ) й (х)— (14) Формулы корректора примут вид и* (х+Я вЂ” о" ( — ~ ) и й (х+ —,) — й (х — — ) и ' (16) и'и+'(х) — и (х) Подставляя в (15) выражения и (х+ —,), и (х — — ), пол).
и . и чающиеся из (14) при х=х+ —, х=х — —, находим 2' 2' и +'(х) — и'и(х) ( 2) ( 2) + и (х + а) — 2и (х) + и~ (х — И) и'и (х + а) — и'и (х Ь) А' — А + +ТА ,Аа и~(х+ ь) — 2и (х)+ и (х — а) (16) Определим теперь структуру аппроксимационной вязкости в первом дифференциальном приближении (см. и. 3 й 2), Первое дифференциальное приближение схемы (16) имеет вид ди ди Г „1 А хд'и — =А — + (т" — — т) А— дг дх ~ 2 ) дх' (17) о=Аи, и=(и1, ..., и„), о=(оь .. о„) (13) есть гиперболическая система с постоянной матрицей А = (а1!), 1, ! = 1, ..., И. Ф к одногодныг. иизностныа схимы 4бз Система (17) — параболического типа при т* > — т.
Сопоставляя 1 2 (16), (11), (13), нетрудно убедиться, что в акустическом приближении схема Лакса — Вендрофа будет аналогична схеме (16). Сравним теперь схему (16) предиктор — корректор со схемой Лакса (х) и (х) 1 и (х + И) и (» — и) т — 2И и (х+ И) — 2и'и (х) + и'и (х — И) — )х И' )х = — . (18) Первое дифференциальное приближение схемы Лакса имеет вид ди ди г 1 зх д~и ~и — =А — +' Š— — Рз) —,, = —.
(12) д( дх (, 2 ) дх' ' 2т ' Выясним различие в дисперсии гармоник между схемой Лакса и схемой предиктор — корректор. Для простоты проведем этот анализ в первом дифференциальном приближении. Нетрудно видеть, что если Ц вЂ собственн числа матрицы А, г, — инварианты Римана системы (6) с постоянной матрицей А, то после перехода к инвариантам г; уравнения (17), (19) принимают следующий вид: — ' — Л,— '=-1 * — — )И',— ', д! ' дх ~ 2 ! дх' (20) соответственно И~ — — Х~ — — — 1)х — — тХ~ 1 — ', д1 ' дх ~ 2 ) дх' ' 2т ' (21) Теперь видно существенное различие между схемой Лакса и схемой предиктор — корректор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
