Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Из соотношений (16) — (18) находится р +а, после чего е 2 ю-~— 2 определяется из (14). Соотношения (17), (18) являются условиями Гюгонио (см. гл. 2, В 4, п. 1), если считать, что величины и, „р а, о Иа' а+ ' 2+- характеризуют течение по одну сторону фронта, и2, р, б 1 — по другую сторону фронта. 2 471 4 з олнооодныв олзностныв схимы Определим теперь вязкий доб этого р"~! находим по формуле г где 0 — массовая скорость ударной волны„вычисляемая по формуле Р ! Р с+ — с+- г г ио! — ио! !с-! (20) Оос+' — оос ! ! се— г г иос — ио! сс.! с Отсюда +г +г/ В случае идеального газа из соотношений (17), (18) имеем !о+! о! с= г тр 4осо г с+— г с; — ' г (22) Из формулы (22) следует, что полученная вязкость со является линейной: тр г ! если МР— Ли « и квадратичной: ос!.! г т х т+! с+ — 1.
Ь / 2осо с+- т+! р г Р -осси!+Р'" са, сот г г с+— г г г осреднения (см. рис, 3.16) ро!+! гст+ (л — Сзт)р~ (19) ГЛ. К РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ 472 если Таким образом, вязкий член в является линейным в случае слабых волн и квадратичным в случае сильных. Это свойство вязкости обеспечивает достаточную монотонность профиля разностной ударной волны, так как осцилляции сильно затухают как на самой ударной волне, так и при удалении от нее. Свойство монотонности разностного ударного фронта и затухание осцилляций позволяют применить так называемый «дифференциальный анализатор», предложенный В. Ф.
Куропатенко (частное сообщение). Поскольку действие вязкого члена е всего сильнее в центре фронта ударной волны и ослабевает прн удалении от него, за центр разностной ударной волны удобно принять точку, где а достигает максимума. За границы разностного перехода можно, например, принять ближайшие к центру точки, где а = О (переход волны сжатия в волну разрежения). Тогда по значениям в крайних точках ударного перехода можно определить все параметры ударной волны: ее скорость и скачки величин, Дифференциальный анализатор был успешно применен в расчетах и позволил достаточно точно локализовать ударные волны.
В работах Н. Н. Яненко, Е. В. Ворожцова, В. М. Фомина [1976 а, б, в) построена теория дифференциальных анализаторов ударных волн, в основу которой положено понятие центра сглаженных ударных волн, получающихся при численном решении задач газовой динамики. Под центром понимается координата х(й) точки, в которой разностное решение и, о, р слабо зависит от т, й (или вообще не зависит).
Поэтому для определения центра волны следует произвести два расчета с разными шагами т,л. Несмотря на то, что из такого понимания центра ударной волны вовсе не следует, что он существует и определен однозначно, развитая теория на базе первого дифференциального приближения подтверждает существование и единственность центра.
Многочисленные расчеты задач с ударными волнами также подтвердили эффективность такого понятия центра. Практический критерий определения центра ударной волны состоит, так же как и выше, в нахождении шах)гв~, а ди для ряда схем центр совпадает с точкой, где ~ — ~ достигает дх максимума. 4 к Одноиодные РАзностные схемы 473 Определение центра ударной волны позволяет существенно повысить точность разностного решения, а также облегчить интерпретацию результатов. На рис. 3.17 изображены графики плотности и скорости в окрестности ударной волны, полученные по двухшаговой схеме Лакса — Вендрофа с искусственной вязкостью 4Г2 д=ЗЬ'р[ш(п( — „", 00, введенной аддитивно в давление, на трех различных сетках: Ь1 = 1/40, Ьи = 2Ь н Ьз = 0 5ЬН когда ударная волна уже прошла расстояние ж 23ЬО Из рис.
3.17 видно, что центр конечно-разностной ударной волны существует и инвариантен относительно Ь, несмотря на наличие в численном решении Ю паразитических осцилляций за 74 Яд 37 3с тй ф~г фронтом размазанной ударной Рис. 3.17. волны. Абсцисса точки пересечения кривых и(х,1) или р(х,() для различных Ь совпадает с точным положением ударного фронта. Бг сс г/Л Рис.
3.!8. На рис. 3.18 приведены результаты расчетов по модифицированному методу частиц в ячейках (см. Ф. Х. Харлоу (1967], В. Е. Петренко и Е. В. Ворожцов 119731) при различных значе ниях числа Куранта. Эти результаты подтверждают факт отсут- 474 Гл 3 РАзиостиые методы ГАзовои диихмики ствия центра конечно-разностной ударной волны при различных х = т/й (т — временной шаг). Кривой 1 соответствуют Ь = О, 1 и число Куранта х = ОД для кривой 2 й = О, 2; к = 0,25, а для кривой 3 6 = 0,2; х = 0,375. На рис.
3.19 изображены профили скорости, полученные по указанному методу на тот же момент времени, что и на рис. 3.18, при фиксированном х на трех различных сетках (й, = 1~10). Схемы, получаемые методом элементарных решений, также обладают аппроксимационной вязкостью, как и схемы с искусственной вязкостью, рассмотренные в пп.
2, 3. Они обладают рядом особенностей по сравнению с последними. та Ы Рис. зл9. Р а/И~ Коэффициент искусственной вязкости в схеме Неймана— Рихтмайера содержит произвольную константу рм которая определяет ширину фронта и в то же время сильно влияет на качественный характер решения. Поэтому интерпретация результатов зависит от нормировки произвольного коэффициента пю В методе распада разрыва и цуга волн аппроксимационная вязкость нормирована схемой и не содержит произвольных параметров, что облегчает интерпретацию результатов. Аппроксимационная вязкость в схеме Лакса также не содержит при фиксированной сетке произвольных параметров. Однако схема Лакса не абсолютно аппроксимирует уравнения и вводит вязкость в уравнение неразрывности.
При малых т это дает сильное размазывание контактных границ. В области, где течение содержит ударные волны, схемы, основанные на методе элементарных решений, по-видимому, являются предпочтительными, так как они обеспечивают наилучшую аппроксимацию условий Гюгонио. $ к ОдноРОдные РАзностные схемы 475 будем искать решение щ +' с помощью представления г-1 ю1 В'"+' = Ю'" + т ~ а„дх ХЮ (2) Схема распада разрыва, особенно хорошо учитывающая взаимодействие разрывов, обладает точностью первого порядка во всех уравнениях, в том числе и в уравнении энергии, что приводит к искусственному изменению энтропии — искусственному нагреву или охлаждению газа.
Схема цуга волн обладает точностью второго порядка на волнах разрежения и в то же время достаточно монотонно сглаживает ударные фронты. 5. Схемы повышенной точности. Читатель, наверное, уже заметил, что понятие точности разностной схемы для расчетов разрывных решений газовой динамики практически не было определено. В самом деле, разумное введение понятия точности в этом классе течений встречает болыпие трудности. Под точностью разностной схемы обычно понимают и в этом случае (разрывных течений) точность, которую она имеет на гладких решениях уравнений газовой динамики. Совершенно неочевидно, а скорее всего это даже и неверно, что повышение точности разностной схемы в этом понимании приведет к повышению точности расчета параметров разрывных течений.
Тем более интересно, что ряд схем повышенной точности показал хорошие результаты и при применении их к расчетам разрывных течений. Первая разностная схема для уравнений газовой динамики третьего порядка точности была построена В. В. Русановым [19681. Затем этот метод был применен С. Бурштейном и А. Мириным (1970) для построения однопараметрического семейства разностных схем третьего порядка точности. В работе В. Б. Балакина 119701 указанный метод был распространен для получения схем более высоких, чем третий, порядков точности. В частности, в этой работе построена новая разностная схема третьего порядка точности, не принадлежащая указанному выше однопараметрическому семейству. Алгоритм построения разностных схем высокого порядка точности аналогичен итерационному методу Рунге — Кутта, применяемому для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Записав систему уравнений газовой динамики в лагранжевых координатах в виде д = —, ш=[и, О,Е=Е+ — 1, г(ю)=( — Р и — мд) (1) дв дР(в) Г и8 1 дг дх 476 ГЛ 3.
ЕАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГЛЗОВОП ДИНЛМИКИ т+— Величины гэ ' при я=1, 2, ..., г — 1 определяются последовательно по формулам Л т+, т+ ~,' дР ( т+,) Коэффициенты а„определяются из требования, чтобы разложение шт.н по степеням т совпадало с разложением дтт Т2 дттт гпт+! Тат +,г + + + О (тя ы) (4) дГ 2! дР где р — желаемый порядок точности. Таким образом, при г = 2, р = 3 строится разностная схема В. В. Русанова и семейство разностных схем Бурштейна н Мирина. Эти схемы строятся для обычной прямоугольной сетки; пространственная аппроксимация связывает пять точек на каждом слое.
Между каждыми двумя слоями гт, 1 ~' вводится два вспомогательных слоя с шахматным расположением узлов по отношению друг к другу. Можно ввести параметр а — расстояние между слоем 1 = 1 и первым вспомогательным слоем ! т .~-— г=г ', причем т/3(и(2т/3. При и=т/3 получаем схему В, В. Русанова. При решении задач с разрывами в правую часть системы (1) вводится искусственная вязкость. Схемы высокого порядка точности развивались далее в работах В, Уорминга и Р.
Катлера [1973], С. Абарбанеля, Д. Готлиба 119731. Этот метод в случае, когда система уравнений (1) лииейна и имеет постоянные коэффициенты, приводит к схемам Г. Стрэнга [1962) — разностным схемам максимального порядка аппроксимации при заданном числе точек, связанных пространственной и временной аппроксимацией. При численном решении уравнений газовой динамики, ввиду их нелинейности, возникают определенные трудности, которые приводят к необходимости введения специальных аппроксимаций. Дело в том, что коэффициенты вязкости, рассматриваемые в газовой динамике, являются малыми параметрами и в решениях уравнений имеются особенности — ударные переходы, ширина которых порядка ч, и пограничные слои толщиной порядка 1/ч, где ч — коэффициент вязкости.
Все течение распадается на части — область, в которой градиенты конечны, и малые области, где онн пропорциональны 1/ч или 1/1Я Эти особенности требуют специальной аппроксимации, поскольку в разностной схеме, помимо малых физических параметров, присутствуют еще малые параметры т, Ь; трудность решения этих Е К ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕЛ1Ы 477 уравнений состоит в том, что необходимо подвергать анализу и сопоставлению порядки малости этих величин, а в оценки обычно входят рациональные выражения от этих параметров, и, следовательно, мы не имеем равномерной оценки сходимости. Поясним сказанное на примере решения одной модельной задачи, где есть пограничный слой и в которой требуется аппроксимация особого типа.
На последнее обстоятельство обратил внимание А. М. Ильин, хотя при интегрировании уравнений Навье — Стокса такие аппроксимации использовались и ранее (Д. Аллен, Р. Саусвелл [1955)). Но наиболее четко идея выражена в работе А. М. Ильина (1959). Для краевой задачи Рй' + й = О, и (О) = О, и (1) = 1, где Р ) Π— малый параметр, точное решение имеет вид -Х/Р и(х) = 1 — е (5) При х-+О производная и'(х) для малых ч имеет порядок 1/А а при Р-э О область больших градиентов будет сужаться. Таким образом, мы имеем иллюстрацию явления пограничного слоя, возникающего в задачах обтекания. Для этой задачи рассмотрим разностную схему У Т,— 2Е+Т, Т,— Т а2 и+ — „и=О. 2Ь Точное решение этой разностной задачи таково: -(',:;:;)' и(х)=и(И) = -(',;:;) где й = 1, ..., АГ; Уй = 1; нетрудно видеть, что при т ч," Й оно не имеет ничего общего с решением исходной задачи (а при А = й/2 вообще не существует).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
