Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Мы рассмотрим в качестве иллюстрации неявную схему, получающуюся применением приема «предиктор — корректор» к схемам бегущего счета (см. Н. Н. Яненко, И. К. Яушев [1966] ), ограничившись для простоты случаем изотермического газа. В качестве предиктора для вычисления и(1-) может быть 496 ГЛ, Х РЛЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГЛЗОВОИ ДИНЛМИКИ применена явная схема бегущего счета в инвариантах (2,3.!1), (2.3.12) с шагом т' либо, если нарушается критерий устойчиво- сти Куранта, неявная схема (5) бегущего счета в инвариантах, В качестве корректора, восстанавливающего законы сохране- ния уравнений газовой динамики, выбираем дивергентную схему т+! т * Р~+~ Р~-~ + „— О, т+! т * и~~ — и~ и +1 — и — О, р'= ср', (41) $ 1О.
Особенности разиостиого решения 1. Поведение разиостиых решений вблизи разрыва. Наличие разрыва в параметрах течения приводит к ряду особенностей в разностном решении. Исследуем сначала особенности точного решения вблизи контактной границы. Предположим для простоты, что по обе стороны от контактной границы энтропия постоянна. На границе должны иметь место обычные условия непрерывности и, р: и =и+ — — и, р р+ р. Из уравнения Эйлера — + — =О ди др д1 дд н условий (1) имеем (2) где р„и', вычисляются по г', з'. При т*= — схема (41) имеет точность второго порядка и 2 устойчива. При этом все характеристические корни лежат на единичном круге и осцилляции не затухают.
При т* > —, точность 2 схемы уменьшается, но зато имеет место затухание осцилляций, которое становится сильнее с ростом т'. Схема такого рода значительно проще в реализации, так как уравнения на вспомогательном шаге разрешаются не с помощью прогонок, а с помощью двухточечного бегущего счета. Кроме того, применяя явную или неявную схему в зависимости от выполнения критерия Куранта, мы сближаем области зависимости разностного и дифференциального уравнений. Аналогичная схема расчета может быть применена и в эйлеровых координатах. о 1О.
ОСОБВННОСТИ РАЗНОСТНОГО РВП1БНИЯ 497 т. е. функция р(д, () в окрестности границы непрерывна вместе с первыми производными —, —. Из уравнения неразрывдр др дг' дд' ности до 1 др дв дг чо до дЧ ' а = —— др до ди напротив, следует разрыв производной —: до Пусть к границе д = 0 прилегают интервалы сетки ( — йо, 0); (О, 61), характеризуемые средними величинами р А„и ь; Рч„ич,. Принимая во внимание соотношения (2), (3) для граничных значений ио, ро, получаем следующие интерполяционные фор.
мулы (см. рис. 3.26): А~Р 1 + Ао 2 А +А Р1 в,в 1 + Аои 1 1 о ЬЬ 6= 9(А,+А,) ~ (4) Отсюв,а Р1 21 — З — — и1 — — ' — ~~иΠ— — о~ = 0(й). ро Ъ (6) 2 — а, 2 й1 Рассмотрим теперь схему распада разрыва. В п.4 $ 8 было показано, что в однородной среде схема распада разрыва в акустическом приближении эквивалентна схеме бегущего счета. Оказывается, что при наличии контактной границы эквивалентность схем имеет место только при выполнении определенного ограничения на сетку. Покажем сначала, как изменяются формулы бегущего счета при размещении величин в соответствии со схемой распада разрыва. Если в обычной схеме бегущего счета рассматриваемые величины относились к контактной границе (более точно, к ее левой и правой сторонам, см. $ 7), то в схеме распада разрыва контактная граница находится между рассчитываемыми точками.
В соответствии с этим формулы примыкания левых и правых величин на контактной границе усложняются. В полуцелых точках будем определять Г, з; граница располагается в целой точке о) = 0 (рис. 3.26). Будем предполагать, что уравнения состояния имеют вид р= — а'о, д<0, р= — аоои, д>0, а1> ао (6) 49з ГЛ, 3. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ Величины р, и, о связаны с г, з соотношениями а=и+ ао=и — —, ) а р=-(г-з). 2 г=и — ао=и+ —, Р а (7) г+3 и= —, 2 я — г 2а Для простоты мы полагаем, что слева от границы соблюдается условие (8) Прямые ЛВ, ЕС суть г-характеристики с наклоном аи! ВС, 0г" — з-характеристики, первая с наклоном ( †), вторая— Рис.
3.26. т.г ! ~и ги+ ! г з~ з ! зс. 2 2 2 (9) Для определения величины зс воспользуемся соотношениями на контактной границе, выражающими непрерывность и, р; г,+з,=г,+ „Е(гс — з,)=г,— з„В= — „" < !. ((9) Из (!0) имеем 0 †! 2 0 — ! !и 2 зс= — го+ зв= г !+ КР Е+! В+! в В+! , Е+! ( — а!). Точки С, 6 границы относятся к ее левой стороне, точки В, О в к правой. 1 Для точки — — формулы бегущего счета имеют вид 2 $ !0, Осовенности Рхзносто!ОГО Решения 499 Величина зр определяется, как обычно, интерполированием между зн и з!! а!2 и =— '= а! зр =(1 и!) Ен+ и!з! 2 (12) Отсюда те! Š— ! т 9 и! 2(! — и!) г т з ! =во=9 !!' !+Е ! з! — 94 ! М21 — зн2 (И) 2 п.
4,98)! т+! т о ! — о 2 2 ит+! — ит и ! — и ро! ро! 2+ О ло (го ('-! Л =О Р! + 2 р т 2 и, +— — ао 2 т т ! ! 2 2 и т а! ! — '+— ао а, о— — +— а, а, р ! — р! +аои !+а и, о! т т т г т 2 2 2 йо— аоГ ! + а!2 ! 2 2 ао + а, +а! ао з+ 2 2 2 т 3 т 2 Р ! — — Оо т — о 2 , и!= Переходя к инвариантам гтш з ! и учитывая (10), (11), по- лучаем т+! т т+! 9 — ! т 2 т =г з, з != — г !+ — з!. 2 Е+! Т Е+! (14) Сравнивая (9), (13) с (14) находим, что выражения для г +! 2 т+! совпадают, для з ! отличаются на величину 2(! — и!) Г т !+Е ХЗ! Зн2 ° 2 (15) Как следует из (5), «невязка» (15) имеет порядок 0(22), т.
е. в точке ( — 1/2) аппроксимация нарушается. Аппроксимация имеет место только при условии н! = 1. Определим теперь г !, з ! из формул распада разрыва (см. т-!-! т+! 2 2 500 ГЛ. О. РАЗНОСТНЫГ МЕТОДЫ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ Аналогичный анализ показывает, что при произвольном хо условие аппроксимации имеет внд и!=ко, — ' — — — '=9.
(16) и,'=й.'= . Этот критерий, полученный С. К. Годуновым 11959), можно истолковать как условие одновременности прихода акустических сигналов из точек ( — 1/2), (1/2) в точку О. В нелинейном случае критерий (16) не выполняется тождественно, так как отношение — ' меняется со временем. Это ознай( чает, что в практическом счете на границе всегда имеет место потеря точности. Акустический критерий (16) легко получается из соображе. ний размерности. Действительно, для уравнения колебаний дор о дор (17) с разрывной скоростью звука ао, д>О, ао д- О, можно применить преобразование а=ай, После этого уравнение (17) принимает вид дор д'р ди дйо ' (18) Ясно, что для уравнения (18) равномерная сетка является оптимальной: Ьо - А1 йо= —, й! — — —, йо ' й! и мы приходим к критерию (16).
Рассмотрим теперь поведение разностного решения в окрестности ударного фронта. Как показывает анализ п.3 62, фронт акустической ударной волны в схеме явного бегущего счета сглаживается монотонно (см. рис. 3.3). Это объясняется свойством монотонности схемы бегущего счета, которая является схемой с положительными коэффициентами. Схема распада разрыва, которая в акустическом приближении совпадает с монотонной схемой бегущего счета, не является уже схемой с положительными коэффициентами и не обладает, строго говоря, свойствами монотонности.
Поэтому достаточно сильные ударные волны воспроизводятся в схеме распада разрыва немонотонными профилями. 4 и. осоввпности гхзпостиого гешгния 501 Схема Лакса, которая, аналогично схеме бегущего счета, является схемой с симметричной вязкостью, не обладает уже свойством монотонности, Тем не менее по своим асимптотическим свойствам она приближается к схеме бегущего счета, поэтому немонотонность ударного фронта в схеме Лакса не носит столь ярко выраженного характера, как в схеме Неймана — Рихт.
майера. Эффекты разностной схемы, которые находят свое выражение в немонотонности профиля ударного перехода, особенно проявляются при взаимодействии разрывов: ударных волн между собой нли ударных волн с контактными разрывами. В области взаимодействия возникают большие отклонения от истинных профилей. Эти отклонения ведут себя по-разному в зависимости от свойств схемы и параметров схемы и сетки.
Разностные схемы здесь распадаются на два основных класса в зависимости от их дисперсионных свойств (см. п. 3 $ 2, пп. 2, 3, 9 8) К первому классу относятся схемы, допускающие контактные разрывы (как, например, схема Неймана — Рихтмайера). В этом случае существует семейство стоячих гармонических волн, на которые не действует аппроксимационная вязкость и которые, следовательно, не затухают.
Этим стоячим волнам отвечает «энтропийный след», остающийся в окрестности границы и имеющий характер сильного немонотонного отклонения от истинных профилей р(д,1), з(д, 1). Ко второму классу относятся схемы, не допускающие контактных разрывов (как, например, схема Лакса). В этом случае аппроксимационная вязкость действует на всех семействах решений дисперсионных уравнений. Разрыв в р, 5 н любой немонотонный профиль р, Я сглаживаются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
