Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Если !р'„'„(и, х, Е) ~ О, то, согласно формуле (9), величина Р отлична как от ф„'(и„(Е), х(Е), Е), так и от ф'„(и,(Е), х(Е), Е), если только и,(Е) „-ь и,(Е). Таким образом, для нелинейного уравнения линия разрыва х=х(Е) уже не является характеристикой. Отметим, что различным интегральным законам сохранения, отвечающим одной и той же системе квазилинейных уравнений, соответствуют различные условия Гюгонио. Так, из интегрального закона (1.1.9) следует условие Гюгонио 2[и] 2 (10) 510 ГЛ. С ОБОБЩЕНИЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ а из (1 1.10) 2 (й) 2 и~ + и„и„+ йи = 3 (и!1 = 3 ии + ии (11) Нетрудно привести пример разрывных функций и(х,1), удовлетворяющих одному из условий Гюгонио (10), (11) и не удовлетворяющих другому.
3. Устойчивые и неустойчивые разрывы. Условия устойчивости. Решение (классическое) системы квазилннейных уравненений, как мы видели в главе 1, однозначно определяется в области определенности своими начальными значениями прп ~ = О. Оказывается, однако, что выполнение интегральных законов сохранения и начальных условий вовсе не гарантируют единственности разрывного решения; напротив, можно указать множество существенно различных разрывных функций и(х,1), удовлетворяющих как интегральным законам сохранения, так и начальным условиям.
Подтвердим это простейшим примером, Для уравнения поставлено начальное условие 1' и при х<0, и(х, 0)=и,(х)= ~ + ~. и+ при х) О. (2) Будем искать ограниченную кусочно-непрерывную функцию и(х, 1), удовлетворяющую интегральному закону сохранения (1.1.9) и начальному условию (2). На линиях разрыва должно выполняться условие Гюгонио (1,2,10), поэтому функция НРИ х(А!!1, и +и+ и,(х, 1)= и+ при х).0!1, ' 2 о,= является искомым решением. Эта функция постоянна слева и справа от линии разрыва х = О!1, на которой выполняется условие Гюгонио (!.2.10), и принимает начальные значения (2). Пусть и-( иь.
Построим другое решение поставленной задачи (1), (2): и при х(1и, и,(х, !) = — при 1и (х((1и+, (4) и+ при х' а!и+, Решение и = из(х,1) непрерывно при 1 > О, непрерывно дифференцируемо всюду, кроме линий х = 1и-, х = 1и+„и удовлетворяет в широком смысле уравнению (1) в полуплоскости 1) О. 5 ь постАнОВкА ВАдАчи коши В клАссе РА3РыВных Функций 511 ') Если отказаться от требования !", то задача Коши для уравнения (1) с начальным условием и(х, 0) ~ О имеет бесчисленное множество разрывных решений.
Например, 0 при — 2 при 2 при 0 при х+ )СО, — )си<о, 0<х<К х — Г>0 и(х, )) будет решением этой задачи. Мы указали два решения и = и1(х, Г), и= и,(х,() задачи Коши (1), (2). Каждое из этих решений удовлетворяет интегральному закону сохранения (1.1.9) и начальному условию (2). Итак, мы встречаемся здесь с фактом неедпнственности решения. Однако представляется естественным, что разумная постановка задачи Коши в классе разрывных функций должна привести к единственности решения. Для того чтобы выделить единственное решение нашей задачи, сделаем следующие предположения: 1' Всякое (классическое) решение системы квазилннейных уравнений, когда оно существует, является «истннным> решением этой системы и в классе обобщенных (разрывных) ре.
шеи ий. 2' Пределы (класснческих) рец|ений системы квазилинейных уравнений являются «истинными» решениями интегральных законов сохранения в классе разрывных функций. Поясним это несколько подробнее. Требование 1' является естественным предположением о том, что класс обобщенных решений задачи Коши для системы квазилинейных уравнений является расширением класса классических решений. Если бы мы от него отказались, то классические решения не имели бы никакого практического значения при рассмотрении задачи Коши в классе разрывных функций ").
Требование 2' является естественным следствием требования 1' и предположения о непрерывной зависимости обобщенных решений от входных данных задачи Коши. Непрерывная же зависимость решений от входных данных задачи Коши есть одно нз условий корректности задачи Коши. Таким образом, обычное представление о корректной постановке задачи Коши приводит нас к требованиям 1', 2'. Более полная формулировка требований, предъявляемых к обобщенному решению, будет приведена ниже. Пока же мы лишь качественно применим требования 1', 2' для дальнейшего изучения свойств разрывных решений систем квазилинейных уравнений и, в частности, для выделения единственного («истин.
ного») решения и = и(х, Г) задачи Коши (1), (2). 512 Гл. е оБВБщенные Решения кВАзилинеиных уРАВнении На рис. 4,2 и 4,3 изображено поведение характеристик х = = хе+ и(х, 1) 1 для решений и = и1(х, 1) и и = из(х, 1). Рассмотрим решение и = ис(х,г) уравнения (1), удовлетворяющее условию и (х, О) =исс(х), (5) где и'(х) — монотонно возрастающая непрерывная функция переменного х, совпадающая вне отрезка (х) ( 6 с ис(х) (рис. 4 4). Л' и-<и+с и=и.,сигу и-<и+т и=в бх,ф Рис. 4.2. Рис.
4.3, На рис. 4.5 изобразим картину характеристик для решения и (х, 1). Сравнивая рис. 4.3 и 4.5, замечаем, что !Ипис(х, 1)=ис(х, 1), (6) с-ис причем равенство (6) имеет место для любых х, 1, кроме точки (О, О), где предел ис(х, 1) при 6-ь0 не существует. Поэтому, Рис. 4.4. Рис. 4.5, согласно требованию 2', «истинным» решением задачи Коши (1), (2) следует признать и = ис(х, 1). Решение и = и1 (х, 1) мы будем называть неустойчивым разрывным решением, так как сглаживание начальной функции на сколь угодно малом участке приводит к классическому решению (истинному), далекому от и1(х, г), 4 1.
ПОСТАНОВКА ЗАЛА~и! КОШИ В КЛАССЕ РАЗРЫВНЫХ ФУ11КЦИИ 5!3 Рис 46 Для более общего квазилинейного уравнения ди + дф(и, х, 1) д! дх (8) скорость характеристик есть ф'„(и, х, Г), поэтому условие пересечения на линии х =х(!) приходящих характеристик записывается аналогично (?): ф„' (и, (Г), х (Г), Г) > Р > ф„' (и„ (!); х (Г), Г); Р = х' (1).
(9) Для полулинейного уравнения (8) (ф'„'„(и, х, !) ~0) линиями разрыва решений являются характеристики. Таким образом, если искать более общие условия устойчивости, справедливые также и для линейных уравнений, то их следует записывать в виде ф (и (1), х(!), !))Р:»ф (и (Г), х(!), 1). (10) Как мы убедимся ниже, условия (10) обеспечивают единственность и допускают существование обобщенного решения уравне- Из сравнения рис. 4.2 и 4.3 заключаем, что причина неустойчивости решения и!(х, Г) состоит в том, что на линии разрыва х = Р!1 решения и1(х,() пересекаются не характеристики, выходящие из точек начальной оси 1' = 0 (и, следовательно, несущие начальные данные), а характеристики, выходящие нз точек линии разрыва х = Р!б В этом смысле можно сказать, что разрыв решения, изображенный на рис. 4.2, «придуман», а не вызван пересечением характеристик, несущих начальные значения. Такой разрыв мы называем иеустой швыл! разрывом, Если же в условиях задачи Коши (1), (2) и — > и+, то решение и,(х,(), заданное формулой (3), будет иметь характеристики, изображенные на рис.
4.6, В этом случае на линии разрыва и-. и+ х = Р,( пересекаются характеристики, несущие начальные значения (1!риходяи(ие характеристики). В этом случае не существует непрерывного решения этой задачи Коши, а сглаженное решение ис(х, !) также разрывио. Поэтому решение и = и1(х,г) и разрыв на линии х = Р1! при и — > и+ будем называть устойчивыми. Для уравнения (1) условие пересечения на линии разрыва приходящих характеристик записывается неравенствами и,(() > Р > и„(Г), Р=х'(!).
(7) 5!4 ГЛ. С ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИИСЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ния (8) для случая, когда ф" (и, х, !) не меняет свой знак, т, е, для случая функции ф(и, х, !), выпуклой по переменному и. Условия (10) мы будем называть условиями устойчивости обобщенного решения в случае знакопостоянства <р" . Если же <р'„'„(и, х, !) — знакопеременная функция, то усло. вия (10) не гарантируют ни единственности, ни непрерывной зависимости решения от начальных данных, т. е.
являются неправильными условиями. В самом деле, пусть ф = ср(и), ( 0 и для уравнения (8) поставлено начальное условие ( и при х<0. и(х, 0)=и»(х)=~ + ~ и+ при х) О. (1 1) Пусть график функции ф(и) и расположение точек и-, и+ таковы, как зто изображено на рис, 4.7. Функция ( и при х<Р1, и=и,(х, !)=~ + (. и при х) РО ф (и+) — ф (и-) (12) и+ — и- удовлетворяет интегральному закону и сохранения $ис(х — !р(и) Й=О и„'и; иРис.
4,7 уравнения (8), начальному условию и предполагаемому «услоВию устойчивости» (10), Последнее, очевидно, просматривается из рис. 4.7, так какф,'(и ) ) Р) ф„'(и+); Р— наклон хорды АВ к оси и. Построим, однако, второе решение и = из(х, !) нашей задачи Коши. Зададим фуннцию из(х, !) следующим образом: и при х<Р!1, из(х, !)= (( — ) при Р",1<х<Щ, (13) и+ при х) Р'г, где ф(и ) — ф(и ) „ф(и+) — ф(и ) и- и†' и а+ и+ )(й) определяется из уравнения е = ф„'(((е)Ь (15) 4 ь постАновкА зАдАчи косин в клАссе РАзгывиых сункции 518 а точки и+, и- (абсциссы точек С, О) — из условия, что прямая ВС касается графика функции у(и) в точке С, а прямая А0— в точке 0; кроме того, предполагается, что у'„' (и) чьО при и+ =и(и (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
