Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Н. Н Кузнецов, Б. Л. Рождественский [1959а], Б. Л. Рождественский [1961], А. Дуглис [1961, 1972]). Рял работ посвящен более общим и наглядным определениям обобщенных решений одного закона сохранения и их $ а одно квлзилииеииое уРлвыеиие свойств, понятию «энтропии» для одного квазилинейного урав пения (см. А. Дуглис [1959], А. И. Вольперт [1967], Э. Хопф [1969], П. Лакс [1971]). Расширение этой задачи на случай нескольких пространственных переменных привело к построению в 1960 †19 гг.
сравнительно законченной теории обобщенных решений одного квазилинейного уравнения (закона сохранения) и ! (см. работы Н. Н, Кузнецова, С. Н. Кружкова, А. И. Вольпергь, Дж, Смоллера, Дж. Джонсона и др.). Таким образом, мы видим, что хотя основные контуры теории обобщенных решений одно~о квазилинейного закона сохранения уже созданы, тем не менее сама эта задача еще далеко не исчерпана.
Несколько слов о характере изложения в $ 2. Здесь мы рассматриваем почти исключительно случай выпуклой функции ср(и, х,1) (!р„"„ ) 0); случай невыпуклой <р(и) разбирается лишь с целью демонстрации возникающих осложнений. Для простоты изложения результатов мы будем ограничиваться, как правило, классом решений и(х,1) ~ К, хотя большинство результатов переносится без заметных осложнений и на класс ограниченных измеримых решений. 2.
Построение Э. Хопфа. Э. Хопф рассматривает решение и(х, 1) уравнения ди д и' — + — — =0 д! дх 2 с начальным условием и(х, 0)=и,(х) (2) как предел при 1»- О решений и„(х, О другой задачи Коши: дии д и'„' д ии (3) и„ (х, 0) = ио(х). (4) Будем считать функцию иа(х) ограниченной на всей оси [х[ ( со, обладающей кусочно-непрерывной первой производной и имеющей точки разрыва первого рода. Предположим, что нам известно решение и„(х,1) задачи Коши (3), (4), непрерывно дифференцируемое при 1 > О. Тогда, сва гл.
р, ОБОБшенные Решп!ия квАзилинелных УРАвнении согласно уравнению (3), криволинейный интеграл !и. М! ди„из 1 Фи(х, !) = ~ ии!(х+ ~!А д" — ~" 1!(! не зависит от пути интегрирования; при этом дФР дФР дии ий — "=и дх и' д! ' дх 2 (6) (9) сводит задачу Коши (7), (8) к задаче Коши для уравнения теплопроводности дЧРи д'ЧРи (12) с начальным условием и. и, рр - чр. р*! = р ( †, — с, р*! 1 = *р (†, — ! , рс рр~ . ! р зр ! ( ! Г с Согласно формуле (10) Ч'й(х) = о(ези) при х-+ д-сс, (14) Исключая из (6) функцию и„, получим уравнение, которому удовлетворяет Ф„(х, !) ! (7) Формулы (4) и (5) приводят к начальному условию для Ф„: Фи (х, О) = Фс (х) = ~ ио ($) !ГВ.
с Согласно нашим предположениям, ис(х) = о((х ~) при х-+ ~ сс. Отсюда следует, что Фо(х)=о(х') при х-+ ~сс, (10) Очевидно, что Фс(х) — непрерывная функция переменного х, имеющая кусочно-непрерывную первую производную. Мы решим сейчас задачу Коши (7), (8) для Ф„: по формуле (6) найдем и„(х, !), а затем, устремляя р-и0, получим в пре- деле функцию и(х, !), которую назовем обобщенным решением задачи Коши (1), (2). Подстановка Фи (х, !) = — 2р 1и Ч'„(х, !) (11) з а одно квхзилннвинок кивнвнив Чв(х~ 1) — ~ ехр( 4 1 ~ РРВ)~Ф ~ ехр ( 2 ~'эо(з) + з1 ] ~ о(й. (16) Теперь из формул (11) и (6) получаем выражение для и„(х, 1): (к — $) ( х(й х, ,$) ~ „ и„(х, 1)— 1 Х(1,х,й) 1 (16) где (17) Из формулы (17) следует, что функция Х(1, х, $) — непрерывная функция всех своих аргументов при 1 ( О.
На основании усло- вия (10) мы можем утверждать, что при любых фиксированных х,1~0 Х(1, х, $)- + оо при й- ~со. (18) Значит, непрерывная функция Х(1, х, $) принимает при фиксированных х, 1) 0 свое наименьшее значение Х„ы(х,1) на некотором ограниченном множестве значений переменного $. Обозначим это множество через т(х,1). Введем в рассмотрение функцию т(1, х, $): т(1, х, $) — Х(1, х, $) — й.я. (х 1) — Фо(й)+ ~, — йпяп(х, 1) (19) Согласно определению величины Л м(х,1) как абсолютного минимума по переменному $ функции Х(1,х, $), мы с очевидностью заключаем, что ч(1, х, $) ~)0; (20) при этом знак равенства в (20) имеет место лишь в случае, когда $ принадлежит множеству т(х, 1), Умножая числитель и знаменатель формулы (16) на ехр (+ '" * ~, придадим ей 2н поэтому задача Коши (12), (13) имеет единственное решение, которое задается формулой вяа Гл.
А ОБОБщенные Реп!енщя квАанлингнных уРАвненин следующий вид: Ряс. 4.15 ( — )екр~ — ' ' ' ~кй и„(х, 1)- " „. (21) у(1, к, $) ~„ Пусть»-(х,1) и $+(х,1) — соответственно точная нижняя и точная верхняя грани множества т(х,1): В (х, 1)=)п1пг(х, 1), Б+(х, 1)= вирт(х, 1), ф (х, 1)(ф+(х, 1). (22) Поясним графически определение множества т(х, 1) и его граней Е-, $+. Для этого введем новую функцию»)(1, х, $): «) (1, х, й) = Л(1, х, 5) — —,=»1 (1, О, й) — й —. (23) Функции Л(1,х, й), у(1,х, Е), П(1,х, $) принимают наименьшее значение при фиксированных х, 1) О в одних и тех же точках $ я т(х, 1).
На рис. 4.15 в плоскости переменных $, г изображены кривая г=г) (1, О, $) и некоторая прямая г= — $+ с. Для к фикснрованных х, 1) О наклон этой пряной задан. Подберем такое число с, чтобы эта прямая коснулась снизу кривой г = т)(1, О, $), нигде г с(14«) Й ее не пересекая. Тогда множество .Ь точек «, в которых Š— '+ с=») (1, О, 9, ГГЛ11 с н состав ткет множество т (х, 1). В самом деле, если кривая г = =т)(1, О, $) «опирается» на прямую к г= — Б+ с, то это значит, что ») (1, О, $) — — $ = т) (1, х, «) в точках, в которых Б — + с =») (1, О, «) принимает наименьшее значение.
Заметим, что число с совпадает с т) ы(х, 1), На рис. 4.15 множество т(х, 1) кроме граней $ (х, 1), Б (х 1) содержит еще и отрезок а($(5. Установим теперь следующие свойства величин $, Б+: й+(х, 1)-"~ (х', 1) при х(х', (24) $ (х — О, 1)=» (х, 1), $" (х+О, 1)=»+(х, 1), (25) й (+ «о, 1) =+ ао, ~+( — ао, 1) = — оо. (26) % к Одно квхзилинеи!юе угявнецие Для доказательства свойства (24) рассмотрим разность т!(г', х+ Лх, $) — т! (т, х+ Лх, З+(х, 1))= = т! (1, х, $) — т! (т, х, $+(х, 1)) — — 1$ — $ (х, !)1. (27) В силу определения верхней грани +, 1»~0 при 3 <5+(х, 1), т! (1, х, $) — т! (1, х, $ (х, 1)) ~ + (28) >0 при $>$+(х, 1).
Пусть Лх > О. Из формул (27) и (28) следует, что ( >О при 3<$+(х, 1), Ч (1, х+ Лх, $) — т) (т, х+ Лх, $+ (х, !)) т~ =0 при 3 =5~(х, 1). (29) Согласно определению $ (х, !) т! (т', х+ Лх, $ (х+ Лх, !)) — т! (т', х+ Лх, $+(х, 1)) <О (30) (Лх > 0).
Сопоставляя формулу (30) с (29), видим, что $-(х+ Лх, ()» » $+(х, !). Это и доказывает неравенство (24), Доказательство неравенства (24) иллюстрируется геометрически. В самом деле, если х' » х, то наклон опорной прямой х= $ х + с' больше наклона прямой г=$ — "+ с и из рис. 415 сразу следует неравенство (24). Подобным же образом легко устанавливаются свойства (25) и (26). Отметим, что, так как функция Х(1,х, в) является непрерывной функцией всех своих переменных при !» О, то и ее абсолютный минимум !о ы(х, !) по переменному $ является непрерывной функцией переменных х, й Вернемся к формуле (21) и покажем, что для любых х, !» 0 + <!!щ тп1и„(х', т') < !!ш зпри„(х', !') < ч.оо о-оо (31) Из формул (31), в частности, следует, что если в точке х, г(!» 0) выполнено условие $-(х, !) = $+(х, !), то в этой точке существует предел о „о ~~ я:е 2 о .*.:.л ы ~~ (32) Р то БЗО ГЛ.
Б ОБОБЩЕННЫЕ РЕ!ИЕНИЯ КВАЗИЛИНЕГН!ЫХ УРАВНЕНИИ Переходя к доказательству формул (31), для краткости обозначим $+(х,1)= $+, $ (х,1)= Б-. Пусть Б 0 — произвольно малое положительное число. Выберем положительные числа а, Ь столь малыми, чтобы для всех значений й, х', !', удовлетворяющих условиям ! х — х !+ (!' — 1! < а, Б — 2Ь < Б < $++ 2Ь, О < а < 1, (33) выполнялись неравенства х — $+ = — — Б« — ", х +в=1.. (34) функции $-(х, 1) и $+(х, 1) полунепрерывны соответственно слева и справа, поэтому, если величина а достаточно мала, то при выполнении неравенств (33) и (34) можно считать выполненными также следующие:  — Ь < $ (х', !') < $+ (х', !') < $+ + Ь. (35) Запишем формулу (21) в применении к точке х', !'. (36) иР(х 1)— ( у (!', х', $) ~ „ Оценим в формуле (36) числителщ ~ —,~ ехр ( — ( ' ' ~~ ~ пй =1 $ ехр ( — — ~сф+ $ [ — ", — 11ехр~ — ~~ ~Гф) ! -и ~ ехР '( 2 1ь(6+ ~ [ Ь, — 1)ехр ( 2 (па+ + ~ [ — ",, ~ — 11ехр( — У ~Щ !++!А ехр ( — ~ ~ Г(с — ~ [ —,, — 1) ехр ( — — ~ ь(й.
(37) 5 2. ОЛИО КВАЗИЛИНЕИИОГ УРАВНЕНИЕ вз1 При получении (37) мы пользовались условием (34). Совершенно аналогично получаем для числителя оценку сверху — ,и~„ $ -Ю < 1. ~ ехр ( — — ~ ЬЦ+ ~ ~ — '", — 1.~ехр ( — — ~ 25+ + ~ [ — ", — 1.~ ехр ( — — ~ де. (38) 2++2Ь Разделив оценку, полученную в (37), на знаменатель в формуле (Зб), очевидно, получим 2 -2Ь вЂ” — 1~ехр( — ' ' ~Ый и„(х', 1') >1+ „+ ( «(2', х', $)~ — — 2 ~ ехр ( — — ~ 22й ~ ехр( — ( ' '~)~лй Покажем, что последние два слагаемых в неравенстве (39) стремятся к нулю прн 22-~0 равномерно по х', 1', если последние удовлетворяют ограничению (ЗЗ).
Замечая, что линейная функ- Гх' — $ ция ~ †, — 1~ на полуинтервалах ( †, $- — 2Ь] и [е+ + + 2Ь, +во) оценивается по модулю соответственно величинами ЬЬ(е- — $) и ВЬЯ вЂ” $+), а величина ЬЬ может быть выбрана независимо от х', 1', если последние удовлетворяют (ЗЗ), запишем: 2 -2Ь ЬЬ($ — й) ехр ~ — — ы$ 2в з 2-<,еч ~ ехр ( — — ~ 22й (40) ГЛ 1 ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛ)И)ЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ ( е)) 1 а++ее — — 1~ ехр ~ — — ~ ее Е++ 22 ехр ( — — ~ Ий Е+ )х', 1') ~ екр ( — — ())е (41) Для всех х', 1', удовлетворяющих (33), У()', х', е) > 0 при $ < <е — 2Ь и у(1'„х', е)=о( —,,",) при е- — оо. Поэтому существует число А > 0 такое, что А)(1', х', $) > А($ — $ ) при $<$ — 2Ь, Используя эту оценку, напишем для числителя в формуле (40) Е--22 ы($ — д)ехр~ — ( ' 'Г)~щ< причем эта оценка имеет место равномерно для всех х', г', удовлетворяющих (33).
Так как аналогичная оценка легко получается и для второго члена в (39), то можно записать: и (х', 1') > Г+ О (р). (44) 2"-2Ь <ы ~ ($ — 5)ехр~ — — (е — е )~(~5= +ехр ( — — ~. (42) С другой стороны, так как У (1', х', $ (г', х')) = О, то существует б > 0 такое, что т(1', х', $) < 4АЬ' при всех $ из интервала $ (х'„1') — б ~ ($ «» е (х', г'). Поэтому знаменатель в формуле (40) может быть оценен следующим образом: Е )',Н) 1 (х', 1') ехр ( 2 1)Г~ > ~ ехр ( ~ 6$ ее Г1, Г)-Е = б ехр ( — — ~ . (43) Г!равая часть неравенства (40) не превосходит отношения правой части (42) к (43), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
