Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 90
Текст из файла (страница 90)
не превосходит величины З Ь ОДНО КВАЯПЛИНЕЛНОЕ УРАВНЕНИЕ Аналогичные выкладки для (38) приводят к неравенству и„(х', 1') < А+ 0(1А). (45) Оценки (44), (45) имеют место равномерно для х', (', удовлетворяющих (33). Из определения чисел ( н Ь (34) и произвольности величины е следует, что оценни (44), (45) доказывают формулы (31) и (32), Ойределим обобщенное решенне задачи Коши (1), (2) с помощью формулы и (х, 1) = 1нп и„ (х, 1) (46) о +о Во всех точках х, й в которых существует этот предел, т. е. $-(х,1)= $+(х,1).
Функция и(х,1) в этих точках непрерывна по совокупности аргументов х, б В точках, в которых $+(х,1) ~ ~+(х,1), для определенности положим и(х, 1)=и(х — О, 1)=" Пусть е-(х, 1) Ф $+(х, 1) в какой-либо точке (х, 1). Тогда из формул (31) а (24) следует, что и(х — О, () > и(х+ О, (), (47) так как + !1 и(х — О, 1)= ', и(х+О, 1)= ' .
(48) Неравенство (47) показывает, что обобщенное решение и(х,1), заданное формулой (46), удовлетворяет условию устойчивости, которое было введено в 3 1. Пусть теперь $-(х,1)= $+(х, 1) = $(х,1). Если ~ = э(х,1)— точка непрерывности начальной функции ио($), то так как Х(1, х, $) принимает в этой точке минимальное значение, то ио(е(х, !)) = (49) ио (Э (х 1) 0) ~) ' ио (Э (х 1) + 0) ~~ (50) (мы считаем, что точна $ = $(х, () может быть точкой разрыва производной функции ио($)). Если же точка $ = $(х, 1) = = $-(х, () = $+(х, 1) — точка разрыва начальной функции ио(Э), то ио($(х, 1) — О) < ио(Э(х, 1) + 0). (51) Пусть теперь $ (х, 1) чь $+ (х, 1).
Тогда ио(е (х, () — 0)=и(х — О, Ц(ио(й (х, !)+ 0), ио($+(х, 1) — 0) <и(х+ О, г) =ив($+(х, 1)+ 0). $3Е ГЛ. е, ОБОГЩШН!ЫЕ РГН!ЕНИЯ КВАЗНЛИНЕР/НЫХ УРАВНГШеи Наконец, отметим еше одно свойство решения и(х, !). Пусть х = х(!) — линия разрыва и(х, !). Тогда !» 1ип " „, = — (и(х(!) — О, !)+и(х(!)+О, !)). (54) м-ес+е Это свойство показывает, что кусочно-гладкие решения и(х, !) задачи Коши (1), (2) удовлетворяют условию Гюгонио для уравнения (1).
Теперь персйдем к выяснению вопроса о том, в каком смысле функция и(х, !)= Иши„(х, !) удовлетворяет уравнению (1) и и-«е начальному условию (2). Рассмотрим функцию !и ~ ехр ( — ~ие Ф(х, !) = ИшФ„(х, !) =!Нп "' — Игп Р.+е " Р-ее !12р и-ее 1(2р Применяя в этом равенстве правило Лопиталя, получим ~ Л(1, х,$)ехр ( — ' ' ~дй Ф(х, !) — !Нп (55) ~ ехр ( — — (-' — ' — — ~ 01 Из формулы (55) следует, что Ф (х> !) = Ле!!е (х, !) = Х (1, х, $ (х, ()) = Х (1, х, $+ (х, Е)) = !Н(~Фа($)+ 2! 1= !п(У(1, х, Рэ (56) У (1, х, В) = Фе(В) + з-" 2!— Доказательство (56) аналогично доказательству нераненств (31).
Отсюда следует, что Ф(х, !) — непрерывная в полуплоскости ! ~ О функция переменных х, 5 Так каи при Г-«О $-(х,1)-«х, $+(х, !) — «х, то из (56) следует, что Ф(х, !) непрерывна также и при Г = О, т. е. непрерывна при ! ~ О. Рассмотрим произвольную точку (х, 1) полуплоскости 1> О, в которой В-(х, !) = $+(х, !). Очевидно, что существует окрестность точки (х,!), в которой Е-(х',~ ) = $+(х',!') для всех ее точек (х', г'). Согласно (6) дФР дФР дии иие ! и и 1„! !' дх "' д! дх 2 (57) $2. ОДНО КВАЗНЛИНЕИНОЕ УРАВНЕНИЕ Дифференцируя формулу (16) по переменному х, находим — = —,~ъ — 1+ —,, диИ ! 2 2 (59) где через и„обозначена величина 2 ~ ( — ) ехР( — 'Е ' (ай их— [ Х(а х, Е)~ В точках (х, 1), в которых $ (х, 1) =5~(х, 1), имеем 11 ш и2 = йгп и' = [ (61) Р.ЕО Р +Е Поэтому в рассматриваемой окрестности точки (х, !), согласно дФР (57), последовательность — равномерно сходится при )е-ь 0; д) !1ш — "= !нп~ — —" !=в Р.+е д) ..+о~ Следовательно, функция Ф(х,1) дифференцируема в рассмат- риваемой точке (х,1) по переменному 1, при этом дФ (х, 2) ае !х, 2) (63) д) 2 итак, во Всех точках (х, 1), для которых Й-(х,))= е+(х, 1), функция Ф(х,)) непрерывно дифференцируема и удовлетворяет уравнению (64) Согласно формулам (25) функции $-(х,1), $+(х,)) — монотонно возрастающие функции переменного х — полунепрерывны по переменному х и ограничены при конечных х, П Отсюда следует, что на любом отрезке прямой 1= сопз1 множество точек, в ко- торых $-(х,))~ $+(х, 1), не более чем счетно.
Отсюда, далее, следует, что в любой области ех переменных (х, 1) существует не более счетного числа линий, вне которых Ф(х,1) непрерывно дифференцируема и удовлетворяет уравнению (64). (60) (62) Так как последовательность ин равномерно сходится в этой окрестности к и (х, 1), а Ф„(х, 1) Ф Ф (х, 1) по доказанному выше, то, очевидно, Ф(х,1) дифференцируема в точке (х, !); при этом — и(х, !). (58) ЗЗБ ГЛ !. ОБОБШЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ Так как $-(х, !)-~х, $х(х, !)-к х при 1-ьО, то х Ф(х, О) =Фо(х) = ~ ио($) !1$.
о В силу непрерывности Ф(х, !) заключаем, что к к $и(5, !)оЦ- био(е)о($ при 1- О, о о Соотношения (64), (65) показывают, что функция и(х, !), за- данная формулой (46), является обобщенным решением задачи Коши (!), (2). Покажем еще одним способом, что заданная формулой (46) функция и(х, !) является обобщенным решением задачи Коши (1), (2). Интегрируя уравнение (3) по области 6 полуплосности ! ) О, ограниченной замкнутым контуром С, очевидно, получим = т 2 ии Х. дии и !1х — — Й= — !~2 р — Ш, 2 5 дх (66) с с дии Согласно (59) 1А — — 0 в точках, в которых $-(х, !) = $+(х, !).
Поэтому, если мы предполо2кик2, что на контуре С мера множе- ства точек (х, !), в которых $-(х, !) Ф $+(х, !), равна нулю, то дии при 1А-ь 0 интеграл ~у !А — о(1, стоящий в правой части (66), дк с $ и(х, !) 2Ь вЂ” с(! — О. (67) с Итак, для произвольного замкнутого контура С, на котором мера множества точек разрыва и(х, !) равна нулю, функция и(х,г) удовлетворяет интегральному закону сохранения (67) для уравнения (1). Так как функция и(х, !) принвмает в смысле (65) начальные значения (2), то и(х, !) является устойчивым обобщенным решением задачи Коши (1), (2) также и в смысле интегрального закона сохранения (67).
Теперь заметим, что если в точках разрыва функции и(х,!) приписано определенное значение, например и(х, !)=и(х — О, ! ), (68) стремится к нулю. При этом же предположении интеграл в левой части (66) при р-+0 сохраняет смысл, так нак на нонтуре С почти всюду ии(х, !)- и(х, 1). Поэтому, переходя в (66) к пределу при 12- О, получим $ х одно квлзилинегиюг уРАВиение то равенство (67) справедливо вообще для любого замкнутого контура С, лежашего в полуплоскости ! > О.
В самом деле, контур С можно рассматривать наи предел контуров С', на которых мера множества точен разрыва функции и(х, !) равна нулю. Для каждого такого контура С' равенство (67) выполнено согласно предыдущему. Если к каждой точке разрыва (х, !) функции и(х, !) соответствующая точка (х', !') контура С' стремится слева, т. е. х'(х, х'- х, то и(х', !')-ии(х, !) согласно (68) и, переходя к пределу в равенстве (67), мы приходим к выводу, что оно выполнено для произвольного контура С. Умножая уравнение (3) на произвольную гладкую финитную функцию й(х, !) и интегрируя результат ио полунлосиости ! ) О, получим ,.
Л Гдд дд из 1 ~ ~ —,и„+ — — и ) с(хс(с+ ~ д(х, 0)ио(х) с(х= с>о ) ) 1с дх сх с(хссп (69) с>о Так как почти всюду и„- и(х, !), и'„— иио(х, !) и, согласно (64), дии 1х — — О, то, переходя в (69) к пределу при р — О, получаем дх ')') ~ — и(х, !)+ — ' )с(хЖ+ ~ д(х, 0)ио(х)Ых=О. (70) с>о Равенство (70) показывает, что построенная функция и(х, !) является обобшенным решением задачи Коши (1), (2) также н в смысле последнего из трех определений, которые вводились в $ 1.
Впервые подобное определение обобщенного решения квазилинейных уравнений было предложено Э. Хопфом. 3. Задача Коши для уравнения и, +сГ,=О при условии ср„"„> О. Пусть функция ср(и, х, !) обладает двумя первыми непрерывными производными по всем своим переменным при ! ) О, — оо (х( оо и любых ограниченных и. Будем считать, что ср" (и, х, !) > 0 в этой области переменных х, С и (случай ср'„'„(и, х, !) < 0 рассматривается совершенно аналогично). Для уравнения ди 1 дсР(и, х, 0 дС дх поставим начальное условие и (х, 0) = ио(х), (2) Бза гл, !.
ОБОБше!н!ые Рев!ения КВАзилинейных уРАВнений (4) предполагая функцшо иа(х) кусочно-непрерывной и обладающей кусочно-непрерывной первой производной при любых ограниченных значениях переменного х. Задача Коши (1), (2) была рассмотрена и решена впервые О. А. Олейник, причем даже в более широком классе начальных функций — ограниченных и измеримых функций ио(х). Наше рассмотрение задачи Коши (1), (2) будет менее детальным и несколько отличным от рассмотрения О. А. Олейник. Для характеристической системы уравнения (1) —, = ф'„(и, х, !), — „" = — 1р,'(и, х, !) (3) рассмотрим задачу Коши с начальными условиями х(0)=хо, и(0)=ио. Решение этой задачи Коши обозначим буквами х (!) = Х (г, х„ ио) и (1) = (! ((, хо и,).
(5) Эти функции, согласно пх определению, удовлетворя!от условиям (4), которые мы перепишем теперь в виде Х(0, хо, ио)=хм У(0 хь иа)= — ио. (6) Будем предполагать, что функции Х, (!' оста!отея ограниченными при любых конечных ха, ио и.! О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
