Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Для того чтобы убедиться в этом, преобразуем уравнение (61) к аиду лс + д, [ф(~, х, с)[=0, (65) где --* (с-[с с.сс.~. о ф(о, х, 1)= с с =.* (с-1с,с сс Ц ('.* (с(с,осс.~. *, ) — с*, с~ К уравнению (65) применим метод построения обобщенного решения задачи Коши, изложенный выше, и, в частности, здесь справедливы формулы (14) и (54). Возврашаясь вновь к переменному и= о ехр ~ ),(т) с(т, получаем, что последнее опредео ляется формулами (14), Это решение удовлетворяет интегральному закону сохранения $ис(х — ср(и, х, с) ссс+ ~ [[с(х, с)+ 1,(1)и) ссхссс = О, с ус вытекающему нз уравнения (61) прн условии (62). 4. Задача Коши для неоднородного закона сохранения.
Задачу Коши для неоднородного закона сохранения — + ~~' ' 1=1(и, х,1) (р„"„(и, х, ()>О) (1) с начальным условием и (х, О) = ио (х) (2) впервые рассмотрели А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [1954), предполагая функции ф, 1 дважды непрерывно дифференцируе- $ Ь ОДНО КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ мыми, а начальную функцию ио(х) — кусочно-непрерывной и кусочно-дифференцируемой.
Их метод можно назвать методом интегрирования условия Г!Огонио. Решение характеристической системы ~~ = ф' (и, х, !), !и = 7 (и, х, !) — ф'(и, х, !), (3) удовлетворяющее начальным условиям х(0) = хо, и(0) =ио как и прежде, обозначим через х = Х (1, х„и,), и = (7(г, хо, и,). (4) Проведем через точку (О, 0) две характеристики х = х-(!) и х= х+(!), заданные уравнениями х (!)=Х(1, О, ио( — 0)), х+(г)=Х(г, О, ио(+0)). (7) Из условия (6) вытекает, что по крайней мере для достаточно малых значений переменного ! ) 0 будет выполняться условие х (!) < х+ (!), (8) а если предположить, как и раньше, что для характеристической системы (3) однозначно разрешима краевая задача (2.3.8), то неравенства (8) будут выполнены при всех ! ) О.
На рис. 4.20 изображены область определенности отрезка ~х~ ( а и характеристики (7). Согласно главе 1 в зонах 7 и П (рпс. 4.20) при достаточно малом !о ) 0 существует единствен- Мы будем считать, что функции Х, (7 остаются ограниченными в рассматриваемой области изменения переменных 1, хо, ио. Достаточно рассмотреть случай, когда начальная функция ио(х) задана на конечном отрезке (х~ < а, и решить задачу (1), (2) в области определенности для этого отрезка. Выберем величину а столь малой, чтобы начальная функция ио(х) имела на отрезке ~ х~ < а единственную точку разрыва первого рода, а х которую без ограничения общности можно считать точкой х = О.
Рассмотрим два возможных случая. !) Пусть и ( — 0) < и (+ 0). Так как !р'„', ) О, то отсюда следует, что ф'„(ио( — 0), О, 0) < ср', (и (+ 0), О, 0). (6) БЗЯ ГЛ. 4, ОБОБШЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ ное классическое решение уравнения (1), принимающее начальные значения (2). Это решение задается формулой и(Х(О хо, ио(х,)), 1) =(4'(4, хо, ио(хо)) . (9) неявно с помощью параметра хо либо, если нам удалось разрешить зависимость х = Х ((, хо, ио (хо)) хо — — хо(х, 1), (10) относительно х,: то и явной формулой и(х, 1) = (7 (1, х,(х, 1), и (х, (х, 1))).
(12) Формулы (9), (12) определяют решение задачи Коши (1), (2) в зонах 7 и 7!. Остается определить решение в зоне (П. Через точку (О, 0) проведем характеристики х = Х", заданные условиями «= Х'= Х(1, О, аио(-0)+ (1 — а) ио(+ 0)) Хо= х+(4), Х'=х (1). Уравнение х= Х' (14) однозначно разрешимо в зоне Пй относительно параметра а: а= а(х, 1).
(15) Поэтому решение и(х, 1) задается в зоне Пй формулой и(Х', 1) =(7(1, О, аио( — 0) + (1 — а) ио(+ 0)) (16) либо, если зависимость (16) известна, — формулой и(х, 1)=(7(4, О, а(х, 4)ио( — 0)+ [! — а(х, ~)[ио(+ 0)), (17) Совокупность формул (9) и (16) определяет решение задачи Коши (1), (2) в зонах 7, П, ПХ, которое непрерывно при (.о О, обладает разрывами первых производных, расположеннымн на линиях х = х-(1), х = х+(1), и имеет особенность в точке (О, 0). Для выяснения характера этой особенности заметим, что 1!ши(Х'(1), 1) ио =аи ( — 0)+(1 — а)ио(+0), (18) 4.+О !!ш — "( =1!гп ф„(и(Х', 1), Х', 1) = ф„(ио, О, 0).
(19) 4 +о о4 4 +о Отсюда следует, что в зоне 7П решение (17) имеет особенность вида и(х, 1)=д( — 1+0(1), д'= „. (20) ~. 4 l ф„„(и, О, О) % в одно квлзилннепное уРАВнвнив Особенность подобного типа называют в газовой динамике центрированной волной разрежения. Итак, в случае выполнения неравенства (б) существует ие.
прерывное решение, которое задается формулами (9) и (16). 2) Рассмотрим теперь второй случай, когда ио( — 0) ) ио(+О) т. е. ф'„(ио( — 0), О, 0) ) ф„'(и,(+ 0), О, 0). (21) В этом случае неравенство (8) изменяется на противоположное и зоны ! и П перекрываются друг с другом (рис. 4.21). Пересечение зон! и П обозначим зоной П! (рис. 4.21). В этом случае формула (9) определяет функцию и(х, !) в зоне П! дважды: одна функция, которую мы обозначим через и-(х, !), определяется по значениям хо ( О, другая, и+(х, !),— по значениям хо) О.
Решение и(х,() в этом случае разрывно. Будем считать, что через точку 0(0, 0) в зоне П! проходит линия разрыва Рис. 4.21. Рис. 4.22. 00 (рис. 4.22), уравнение которой будем считать записанным в виде х = х(!), х(0) = 0; слева от линии разрыва 00 и(х, () = = и- (х,(); справа от 00 и(х, () =и+(х,(). На линии разрыва х = х(() должны в таком случае выполняться условия Гюгонио ($ 1), которые записываются в виде ЛхР) 0 (и+(х, О, х,й — ф(и-(х, О,х, О А( !) (22) д( и+(х, 0 — и-(х, 0 Согласно теоремам существования, установленным в главе 1, функции и-(х, () и ио(х, !) при достаточно малом (о обладают ограниченными первыми производными.
Поэтому функция А(х, !), входящая в уравнение (22), обладает ограниченной первой производной. Рассмотрим какую-либо точку У на линии ОВ. Пусть через 0 „ обозначен наклон линии ОВ к оси ( = 0 в точке У, т. е. йх+ (() ) л( 1-х„' ЗЗ4 ГЛ С ОБОБШЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Через У проходит одна характеристика х = Х(й хс, ис(хс) ), отвечающая значению хс ( О. Отсюда заключаем, что ф„'(и (хг, ~,), х„, 4,,)=Х,'(4., хс ис(хс)) > >фс(и+(хз, 44„), хд„, 4Р)=0Р=Х,'(Га, О, ис(+О)).
(23) На рис. 4.23 изобразим график зависимости ф=ф(и, х „, 4а,), учитывая, что ф„"„> О. Из условия (23) заключаем, что и-(х, ~„) > и+(х, 4 ). Величина А(х „~, ) есть, очевидно, наклон хорды, соединяющей точки (и+(х, 4 ), ф(и+(х, 4 ), х, 4 )), (и-(х, 1 ), ф(и (х, г ), х, 4 )). Как явствует из рис. 4.23, следствием неравенств (23) является неравенство А (х, 4,„) > ф„'(и+ (х, ~, ), х, ~ ) = 0 .
(24) Итак на линии ОВ А(х „~ ) > О, т. е. скорость интегральных кривых дифференциального уравнения (22) иа ли- нии ОВ больше скорости линии ОВ. сг(и, х,, (,) Короче говоря, поле направлений на линии ОВ для уравнения (22) имеет (, 42) вид, изображенный на рис. 4,22, Аналогично заключаем, что и на д(ху линии ОА поле направлений имеет вид, изображенный на рис.
4.22. Так как в зоне 1П, как мы уже говорили выше, А(х, г) непрерывно и'1хг,т ) и 1 г М " дифференцируема по своим переменРис. 4.23. ным, то, следовательно, существует единственная интегральная кривая 00 обыкновенного дифференциального уравнения (22), целиком лежагдая в зоне П1. Определив линию 00, определяем решение в зонах 1, П, П!: ~ и-(х, г) слева от линии 00, и(х, ~)= (25) 4 и+ (х, !) справа от линии 00. Решение (25) непрерывно всюду, кроме линии 00, и обладает ограниченной первой производной. На линии 00 и(х — О, Г) > и(х+ О, 4), т. е. это решение удовлетворяет условию устойчивости. На линии разрыва 00 вследствие уравнения (22) выполнено условие Гюгонио; поэтому формула (25) определяет устойчивое обобщенное решение задачи Коши ((), (2).
Итак, в случае, когда начальная функция имеет изолпровап- пый разрыв первого рода, указанным выше способом мы строим $ в ОДНО КВАЗНЛИПЕИНОГ УРАВНЕННЕ 655 ди так как производная р= — удовлетворяет уравнению дх — «+ р„'(и, х, 1) — « = — Чо„"„«о+ Р; — ор'„'„] р+,1„' (27) и остается ограниченной сверху: р(х, 1) < А (ор'„'„> 0), если ограничена производная функции ио(х).
Итак, предположим, что при]х]<а выполнено условие (26) и дио(х) дх — — ао при х- О. (28) В этом случае мы ограничимся лишь замечаниями, так как построение решения в основных чертах схоже с проведенным в случае (21). Основное отличие этого случая от предыдущего состоит в том, что задача Коши для уравнения (1), рассматриваемая отдельно для отрезков ( — а,О] и (О,а], имеет решение, обладающее неограниченной производной при любом 14 > О, Поэтому под линией 0Л (рис. 4.22) теперь следует понимать обобщенное решение задачи Коши в некоторой окрестности точки разрыва.
Если начальная функция имеет несколько точек разрыва, то, разбивая начальный отрезок на части, мы сводим задачу к рассмотренному случаю. Наконец, отметим еще одно обстоятельство. Величина го, которой мы ограничивали выше область определенности, ограничивалась сверху тем, что решения и-(х, 1), ио-(х, 1) в зонах 7, П должны иметь ограниченные первые производные, Однако, как мы видели в главе 1, производные решения квазнлинейных уравнений не остаются ограниченными и могут возрастать по абсолютной величине до бесконечности. Существенно, что наиболее характерным случаем в поведении решений квазилииейных уравнений ихйр является такой, когда производные решения в какой-либо точке становятся бесконечными, а само решение еще остается непрерывным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
